Theorem minmax 11727

Description: Minimum expressed in terms of maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
minmax	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )

Proof of Theorem minmax

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8395	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. RR -> -u z e. RR )
2		elprg 3686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u z e. RR -> ( -u z e. { A , B } <-> ( -u z = A \/ -u z = B ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. RR -> ( -u z e. { A , B } <-> ( -u z = A \/ -u z = B ) ) )
4	3	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( -u z e. { A , B } <-> ( -u z = A \/ -u z = B ) ) )
5		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> z e. RR )
6	5	recnd 8163	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> z e. CC )
7		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> A e. RR )
8	7	recnd 8163	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> A e. CC )
9	6, 8	negcon1d 8439	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( -u z = A <-> -u A = z ) )
10		eqcom 2231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u A = z <-> z = -u A )
11	9, 10	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( -u z = A <-> z = -u A ) )
12		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> B e. RR )
13	12	recnd 8163	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> B e. CC )
14	6, 13	negcon1d 8439	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( -u z = B <-> -u B = z ) )
15		eqcom 2231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u B = z <-> z = -u B )
16	14, 15	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( -u z = B <-> z = -u B ) )
17	11, 16	orbi12d 798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( ( -u z = A \/ -u z = B ) <-> ( z = -u A \/ z = -u B ) ) )
18	4, 17	bitrd 188	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( -u z e. { A , B } <-> ( z = -u A \/ z = -u B ) ) )
19	18	rabbidva 2787	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> { z e. RR | -u z e. { A , B } } = { z e. RR | ( z = -u A \/ z = -u B ) } )
20		dfrab2 3479	. . . . . . . . . 10 |- { z e. RR | ( z = -u A \/ z = -u B ) } = ( { z | ( z = -u A \/ z = -u B ) } i^i RR )
21		dfpr2 3685	. . . . . . . . . . 11 |- { -u A , -u B } = { z | ( z = -u A \/ z = -u B ) }
22	21	ineq1i 3401	. . . . . . . . . 10 |- ( { -u A , -u B } i^i RR ) = ( { z | ( z = -u A \/ z = -u B ) } i^i RR )
23	20, 22	eqtr4i 2253	. . . . . . . . 9 |- { z e. RR | ( z = -u A \/ z = -u B ) } = ( { -u A , -u B } i^i RR )
24		renegcl 8395	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
25		renegcl 8395	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
26		prssi 3825	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) -> { -u A , -u B } C_ RR )
27	24, 25, 26	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> { -u A , -u B } C_ RR )
28		df-ss 3210	. . . . . . . . . 10 |- ( { -u A , -u B } C_ RR <-> ( { -u A , -u B } i^i RR ) = { -u A , -u B } )
29	27, 28	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( { -u A , -u B } i^i RR ) = { -u A , -u B } )
30	23, 29	eqtrid 2274	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> { z e. RR | ( z = -u A \/ z = -u B ) } = { -u A , -u B } )
31	19, 30	eqtrd 2262	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> { z e. RR | -u z e. { A , B } } = { -u A , -u B } )
32	31	supeq1d 7142	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) = sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
33		maxcl 11707	. . . . . . 7 |- ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) -> sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR )
34	24, 25, 33	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR )
35	32, 34	eqeltrd 2306	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) e. RR )
36	35	renegcld 8514	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) e. RR )
37		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> y = A )
38	37	negeqd 8329	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -u y = -u A )
39		maxle1 11708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) -> -u A <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
40	24, 25, 39	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u A <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
41	40	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -u A <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
42	38, 41	eqbrtrd 4104	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
43		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
44		simplll 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> A e. RR )
45	37, 44	eqeltrd 2306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> y e. RR )
46	32	negeqd 8329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) = -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
47	46	breq2d 4094	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) <-> y < -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
48	47	notbid 671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) <-> -. y < -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
49	48	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) <-> -. y < -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
50	34	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR )
51	50	renegcld 8514	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR )
52		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> y e. RR )
53	51, 52	lenltd 8252	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) <_ y <-> -. y < -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
54		lenegcon1 8601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR /\ y e. RR ) -> ( -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) <_ y <-> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
55	34, 54	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) <_ y <-> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
56	49, 53, 55	3bitr2d 216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) <-> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
57	43, 45, 56	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> ( -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) <-> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
58	42, 57	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) )
59		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> y = B )
60	59	negeqd 8329	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -u y = -u B )
61		maxle2 11709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) -> -u B <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
62	24, 25, 61	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u B <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
63	62	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -u B <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
64	60, 63	eqbrtrd 4104	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
65		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
66		simpllr 534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> B e. RR )
67	59, 66	eqeltrd 2306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> y e. RR )
68	65, 67, 56	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> ( -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) <-> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
69	64, 68	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) )
70		elpri 3689	. . . . . . 7 |- ( y e. { A , B } -> ( y = A \/ y = B ) )
71	70	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) -> ( y = A \/ y = B ) )
72	58, 69, 71	mpjaodan 803	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) -> -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) )
73	72	ralrimiva 2603	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A. y e. { A , B } -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) )
74	24	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> -u A e. RR )
75	25	ad3antlr 493	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> -u B e. RR )
76		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> y e. RR )
77	76	renegcld 8514	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> -u y e. RR )
78	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR )
79		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y )
80	46	breq1d 4092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y <-> -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) < y ) )
81	80	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y <-> -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) < y ) )
82	79, 81	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) < y )
83	78, 76, 82	ltnegcon1d 8660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> -u y < sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
84		maxleastlt 11712	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) /\ ( -u y e. RR /\ -u y < sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) ) -> ( -u y < -u A \/ -u y < -u B ) )
85	74, 75, 77, 83, 84	syl22anc 1272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( -u y < -u A \/ -u y < -u B ) )
86		simplll 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> A e. RR )
87	86, 76	ltnegd 8658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( A < y <-> -u y < -u A ) )
88		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> B e. RR )
89	88, 76	ltnegd 8658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( B < y <-> -u y < -u B ) )
90	87, 89	orbi12d 798	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( ( A < y \/ B < y ) <-> ( -u y < -u A \/ -u y < -u B ) ) )
91	85, 90	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( A < y \/ B < y ) )
92		breq1 4085	. . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( z < y <-> A < y ) )
93		breq1 4085	. . . . . . . . 9 |- ( z = B -> ( z < y <-> B < y ) )
94	92, 93	rexprg 3718	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( E. z e. { A , B } z < y <-> ( A < y \/ B < y ) ) )
95	94	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( E. z e. { A , B } z < y <-> ( A < y \/ B < y ) ) )
96	91, 95	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> E. z e. { A , B } z < y )
97	96	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) )
98	97	ralrimiva 2603	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A. y e. RR ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) )
99		breq2 4086	. . . . . . . 8 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( y < x <-> y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) ) )
100	99	notbid 671	. . . . . . 7 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( -. y < x <-> -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) ) )
101	100	ralbidv 2530	. . . . . 6 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( A. y e. { A , B } -. y < x <-> A. y e. { A , B } -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) ) )
102		breq1 4085	. . . . . . . 8 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( x < y <-> -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) )
103	102	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) <-> ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
104	103	ralbidv 2530	. . . . . 6 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) <-> A. y e. RR ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
105	101, 104	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) <-> ( A. y e. { A , B } -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) /\ A. y e. RR ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) ) )
106	105	rspcev 2907	. . . 4 |- ( ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) e. RR /\ ( A. y e. { A , B } -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) /\ A. y e. RR ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
107	36, 73, 98, 106	syl12anc 1269	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> E. x e. RR ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
108		prssi 3825	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> { A , B } C_ RR )
109	107, 108	infrenegsupex 9777	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) )
110	109, 46	eqtrd 2262	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   A.wral 2508   E.wrex 2509   {crab 2512   i^i cin 3196   C_ wss 3197   {cpr 3667   class class class wbr 4082   supcsup 7137  infcinf 7138   RRcr 7986   < clt 8169   <_ cle 8170   -ucneg 8306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-isom 5323  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-sup 7139  df-inf 7140  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-rp 9838  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496

This theorem is referenced by:  mincl  11728  min1inf  11729  min2inf  11730  lemininf  11731  ltmininf  11732  minabs  11733  minclpr  11734  mingeb  11739  xrminrecl  11770