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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > minmax | Unicode version |
Description: Minimum expressed in terms of maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2021.) |
Ref | Expression |
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minmax |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | renegcl 8247 |
. . . . . . . . . . . 12
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2 | elprg 3627 |
. . . . . . . . . . . 12
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3 | 1, 2 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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4 | 3 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
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5 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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6 | 5 | recnd 8015 |
. . . . . . . . . . . . 13
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7 | simpll 527 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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8 | 7 | recnd 8015 |
. . . . . . . . . . . . 13
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9 | 6, 8 | negcon1d 8291 |
. . . . . . . . . . . 12
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10 | eqcom 2191 |
. . . . . . . . . . . 12
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11 | 9, 10 | bitrdi 196 |
. . . . . . . . . . 11
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12 | simplr 528 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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13 | 12 | recnd 8015 |
. . . . . . . . . . . . 13
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14 | 6, 13 | negcon1d 8291 |
. . . . . . . . . . . 12
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15 | eqcom 2191 |
. . . . . . . . . . . 12
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16 | 14, 15 | bitrdi 196 |
. . . . . . . . . . 11
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17 | 11, 16 | orbi12d 794 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 4, 17 | bitrd 188 |
. . . . . . . . 9
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19 | 18 | rabbidva 2740 |
. . . . . . . 8
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20 | dfrab2 3425 |
. . . . . . . . . 10
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21 | dfpr2 3626 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | 21 | ineq1i 3347 |
. . . . . . . . . 10
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23 | 20, 22 | eqtr4i 2213 |
. . . . . . . . 9
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24 | renegcl 8247 |
. . . . . . . . . . 11
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25 | renegcl 8247 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | prssi 3765 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | 24, 25, 26 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . 10
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28 | df-ss 3157 |
. . . . . . . . . 10
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29 | 27, 28 | sylib 122 |
. . . . . . . . 9
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30 | 23, 29 | eqtrid 2234 |
. . . . . . . 8
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31 | 19, 30 | eqtrd 2222 |
. . . . . . 7
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32 | 31 | supeq1d 7015 |
. . . . . 6
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33 | maxcl 11250 |
. . . . . . 7
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34 | 24, 25, 33 | syl2an 289 |
. . . . . 6
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35 | 32, 34 | eqeltrd 2266 |
. . . . 5
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36 | 35 | renegcld 8366 |
. . . 4
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37 | simpr 110 |
. . . . . . . . 9
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38 | 37 | negeqd 8181 |
. . . . . . . 8
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39 | maxle1 11251 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 24, 25, 39 | syl2an 289 |
. . . . . . . . 9
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41 | 40 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . 8
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42 | 38, 41 | eqbrtrd 4040 |
. . . . . . 7
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43 | simpll 527 |
. . . . . . . 8
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44 | simplll 533 |
. . . . . . . . 9
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45 | 37, 44 | eqeltrd 2266 |
. . . . . . . 8
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46 | 32 | negeqd 8181 |
. . . . . . . . . . . 12
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47 | 46 | breq2d 4030 |
. . . . . . . . . . 11
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48 | 47 | notbid 668 |
. . . . . . . . . 10
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49 | 48 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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50 | 34 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . 11
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51 | 50 | renegcld 8366 |
. . . . . . . . . 10
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52 | simpr 110 |
. . . . . . . . . 10
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53 | 51, 52 | lenltd 8104 |
. . . . . . . . 9
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54 | lenegcon1 8452 |
. . . . . . . . . 10
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55 | 34, 54 | sylan 283 |
. . . . . . . . 9
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56 | 49, 53, 55 | 3bitr2d 216 |
. . . . . . . 8
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57 | 43, 45, 56 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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58 | 42, 57 | mpbird 167 |
. . . . . 6
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59 | simpr 110 |
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60 | 59 | negeqd 8181 |
. . . . . . . 8
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61 | maxle2 11252 |
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62 | 24, 25, 61 | syl2an 289 |
. . . . . . . . 9
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63 | 62 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . 8
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64 | 60, 63 | eqbrtrd 4040 |
. . . . . . 7
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65 | simpll 527 |
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66 | simpllr 534 |
. . . . . . . . 9
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67 | 59, 66 | eqeltrd 2266 |
. . . . . . . 8
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. . . . . . 7
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69 | 64, 68 | mpbird 167 |
. . . . . 6
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70 | elpri 3630 |
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71 | 70 | adantl 277 |
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72 | 58, 69, 71 | mpjaodan 799 |
. . . . 5
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73 | 72 | ralrimiva 2563 |
. . . 4
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74 | 24 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . 9
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75 | 25 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . . 9
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76 | simplr 528 |
. . . . . . . . . 10
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77 | 76 | renegcld 8366 |
. . . . . . . . 9
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78 | 34 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . 10
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79 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . 11
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80 | 46 | breq1d 4028 |
. . . . . . . . . . . 12
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81 | 80 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . 11
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82 | 79, 81 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . 10
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83 | 78, 76, 82 | ltnegcon1d 8511 |
. . . . . . . . 9
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84 | maxleastlt 11255 |
. . . . . . . . 9
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85 | 74, 75, 77, 83, 84 | syl22anc 1250 |
. . . . . . . 8
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86 | simplll 533 |
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87 | 86, 76 | ltnegd 8509 |
. . . . . . . . 9
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88 | simpllr 534 |
. . . . . . . . . 10
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89 | 88, 76 | ltnegd 8509 |
. . . . . . . . 9
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90 | 87, 89 | orbi12d 794 |
. . . . . . . 8
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91 | 85, 90 | mpbird 167 |
. . . . . . 7
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92 | breq1 4021 |
. . . . . . . . 9
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. . . . . . . . 9
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94 | 92, 93 | rexprg 3659 |
. . . . . . . 8
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96 | 91, 95 | mpbird 167 |
. . . . . 6
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97 | 96 | ex 115 |
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98 | 97 | ralrimiva 2563 |
. . . 4
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99 | breq2 4022 |
. . . . . . . 8
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100 | 99 | notbid 668 |
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101 | 100 | ralbidv 2490 |
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102 | breq1 4021 |
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103 | 102 | imbi1d 231 |
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104 | 103 | ralbidv 2490 |
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105 | 101, 104 | anbi12d 473 |
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106 | 105 | rspcev 2856 |
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107 | 36, 73, 98, 106 | syl12anc 1247 |
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108 | prssi 3765 |
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109 | 107, 108 | infrenegsupex 9623 |
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110 | 109, 46 | eqtrd 2222 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 ax-cnex 7931 ax-resscn 7932 ax-1cn 7933 ax-1re 7934 ax-icn 7935 ax-addcl 7936 ax-addrcl 7937 ax-mulcl 7938 ax-mulrcl 7939 ax-addcom 7940 ax-mulcom 7941 ax-addass 7942 ax-mulass 7943 ax-distr 7944 ax-i2m1 7945 ax-0lt1 7946 ax-1rid 7947 ax-0id 7948 ax-rnegex 7949 ax-precex 7950 ax-cnre 7951 ax-pre-ltirr 7952 ax-pre-ltwlin 7953 ax-pre-lttrn 7954 ax-pre-apti 7955 ax-pre-ltadd 7956 ax-pre-mulgt0 7957 ax-pre-mulext 7958 ax-arch 7959 ax-caucvg 7960 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-iord 4384 df-on 4386 df-ilim 4387 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-isom 5244 df-riota 5851 df-ov 5898 df-oprab 5899 df-mpo 5900 df-1st 6164 df-2nd 6165 df-recs 6329 df-frec 6415 df-sup 7012 df-inf 7013 df-pnf 8023 df-mnf 8024 df-xr 8025 df-ltxr 8026 df-le 8027 df-sub 8159 df-neg 8160 df-reap 8561 df-ap 8568 df-div 8659 df-inn 8949 df-2 9007 df-3 9008 df-4 9009 df-n0 9206 df-z 9283 df-uz 9558 df-rp 9683 df-seqfrec 10476 df-exp 10550 df-cj 10882 df-re 10883 df-im 10884 df-rsqrt 11038 df-abs 11039 |
This theorem is referenced by: mincl 11270 min1inf 11271 min2inf 11272 lemininf 11273 ltmininf 11274 minabs 11275 minclpr 11276 mingeb 11281 xrminrecl 11312 |
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