Theorem minmax 11762

Description: Minimum expressed in terms of maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
minmax	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )

Proof of Theorem minmax

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. RR -> -u z e. RR )
2		elprg 3686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u z e. RR -> ( -u z e. { A , B } <-> ( -u z = A \/ -u z = B ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. RR -> ( -u z e. { A , B } <-> ( -u z = A \/ -u z = B ) ) )
4	3	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( -u z e. { A , B } <-> ( -u z = A \/ -u z = B ) ) )
5		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> z e. RR )
6	5	recnd 8191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> z e. CC )
7		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> A e. RR )
8	7	recnd 8191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> A e. CC )
9	6, 8	negcon1d 8467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( -u z = A <-> -u A = z ) )
10		eqcom 2231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u A = z <-> z = -u A )
11	9, 10	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( -u z = A <-> z = -u A ) )
12		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> B e. RR )
13	12	recnd 8191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> B e. CC )
14	6, 13	negcon1d 8467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( -u z = B <-> -u B = z ) )
15		eqcom 2231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u B = z <-> z = -u B )
16	14, 15	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( -u z = B <-> z = -u B ) )
17	11, 16	orbi12d 798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( ( -u z = A \/ -u z = B ) <-> ( z = -u A \/ z = -u B ) ) )
18	4, 17	bitrd 188	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( -u z e. { A , B } <-> ( z = -u A \/ z = -u B ) ) )
19	18	rabbidva 2787	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> { z e. RR | -u z e. { A , B } } = { z e. RR | ( z = -u A \/ z = -u B ) } )
20		dfrab2 3479	. . . . . . . . . 10 |- { z e. RR | ( z = -u A \/ z = -u B ) } = ( { z | ( z = -u A \/ z = -u B ) } i^i RR )
21		dfpr2 3685	. . . . . . . . . . 11 |- { -u A , -u B } = { z | ( z = -u A \/ z = -u B ) }
22	21	ineq1i 3401	. . . . . . . . . 10 |- ( { -u A , -u B } i^i RR ) = ( { z | ( z = -u A \/ z = -u B ) } i^i RR )
23	20, 22	eqtr4i 2253	. . . . . . . . 9 |- { z e. RR | ( z = -u A \/ z = -u B ) } = ( { -u A , -u B } i^i RR )
24		renegcl 8423	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
25		renegcl 8423	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
26		prssi 3826	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) -> { -u A , -u B } C_ RR )
27	24, 25, 26	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> { -u A , -u B } C_ RR )
28		df-ss 3210	. . . . . . . . . 10 |- ( { -u A , -u B } C_ RR <-> ( { -u A , -u B } i^i RR ) = { -u A , -u B } )
29	27, 28	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( { -u A , -u B } i^i RR ) = { -u A , -u B } )
30	23, 29	eqtrid 2274	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> { z e. RR | ( z = -u A \/ z = -u B ) } = { -u A , -u B } )
31	19, 30	eqtrd 2262	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> { z e. RR | -u z e. { A , B } } = { -u A , -u B } )
32	31	supeq1d 7170	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) = sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
33		maxcl 11742	. . . . . . 7 |- ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) -> sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR )
34	24, 25, 33	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR )
35	32, 34	eqeltrd 2306	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) e. RR )
36	35	renegcld 8542	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) e. RR )
37		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> y = A )
38	37	negeqd 8357	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -u y = -u A )
39		maxle1 11743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) -> -u A <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
40	24, 25, 39	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u A <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
41	40	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -u A <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
42	38, 41	eqbrtrd 4105	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
43		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
44		simplll 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> A e. RR )
45	37, 44	eqeltrd 2306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> y e. RR )
46	32	negeqd 8357	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) = -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
47	46	breq2d 4095	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) <-> y < -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
48	47	notbid 671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) <-> -. y < -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
49	48	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) <-> -. y < -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
50	34	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR )
51	50	renegcld 8542	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR )
52		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> y e. RR )
53	51, 52	lenltd 8280	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) <_ y <-> -. y < -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
54		lenegcon1 8629	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR /\ y e. RR ) -> ( -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) <_ y <-> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
55	34, 54	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) <_ y <-> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
56	49, 53, 55	3bitr2d 216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) <-> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
57	43, 45, 56	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> ( -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) <-> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
58	42, 57	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) )
59		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> y = B )
60	59	negeqd 8357	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -u y = -u B )
61		maxle2 11744	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) -> -u B <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
62	24, 25, 61	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u B <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
63	62	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -u B <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
64	60, 63	eqbrtrd 4105	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
65		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
66		simpllr 534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> B e. RR )
67	59, 66	eqeltrd 2306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> y e. RR )
68	65, 67, 56	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> ( -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) <-> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
69	64, 68	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) )
70		elpri 3689	. . . . . . 7 |- ( y e. { A , B } -> ( y = A \/ y = B ) )
71	70	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) -> ( y = A \/ y = B ) )
72	58, 69, 71	mpjaodan 803	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) -> -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) )
73	72	ralrimiva 2603	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A. y e. { A , B } -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) )
74	24	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> -u A e. RR )
75	25	ad3antlr 493	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> -u B e. RR )
76		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> y e. RR )
77	76	renegcld 8542	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> -u y e. RR )
78	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR )
79		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y )
80	46	breq1d 4093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y <-> -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) < y ) )
81	80	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y <-> -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) < y ) )
82	79, 81	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) < y )
83	78, 76, 82	ltnegcon1d 8688	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> -u y < sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
84		maxleastlt 11747	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) /\ ( -u y e. RR /\ -u y < sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) ) -> ( -u y < -u A \/ -u y < -u B ) )
85	74, 75, 77, 83, 84	syl22anc 1272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( -u y < -u A \/ -u y < -u B ) )
86		simplll 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> A e. RR )
87	86, 76	ltnegd 8686	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( A < y <-> -u y < -u A ) )
88		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> B e. RR )
89	88, 76	ltnegd 8686	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( B < y <-> -u y < -u B ) )
90	87, 89	orbi12d 798	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( ( A < y \/ B < y ) <-> ( -u y < -u A \/ -u y < -u B ) ) )
91	85, 90	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( A < y \/ B < y ) )
92		breq1 4086	. . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( z < y <-> A < y ) )
93		breq1 4086	. . . . . . . . 9 |- ( z = B -> ( z < y <-> B < y ) )
94	92, 93	rexprg 3718	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( E. z e. { A , B } z < y <-> ( A < y \/ B < y ) ) )
95	94	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( E. z e. { A , B } z < y <-> ( A < y \/ B < y ) ) )
96	91, 95	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> E. z e. { A , B } z < y )
97	96	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) )
98	97	ralrimiva 2603	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A. y e. RR ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) )
99		breq2 4087	. . . . . . . 8 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( y < x <-> y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) ) )
100	99	notbid 671	. . . . . . 7 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( -. y < x <-> -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) ) )
101	100	ralbidv 2530	. . . . . 6 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( A. y e. { A , B } -. y < x <-> A. y e. { A , B } -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) ) )
102		breq1 4086	. . . . . . . 8 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( x < y <-> -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) )
103	102	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) <-> ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
104	103	ralbidv 2530	. . . . . 6 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) <-> A. y e. RR ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
105	101, 104	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) <-> ( A. y e. { A , B } -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) /\ A. y e. RR ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) ) )
106	105	rspcev 2907	. . . 4 |- ( ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) e. RR /\ ( A. y e. { A , B } -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) /\ A. y e. RR ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
107	36, 73, 98, 106	syl12anc 1269	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> E. x e. RR ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
108		prssi 3826	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> { A , B } C_ RR )
109	107, 108	infrenegsupex 9806	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) )
110	109, 46	eqtrd 2262	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   A.wral 2508   E.wrex 2509   {crab 2512   i^i cin 3196   C_ wss 3197   {cpr 3667   class class class wbr 4083   supcsup 7165  infcinf 7166   RRcr 8014   < clt 8197   <_ cle 8198   -ucneg 8334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-sup 7167  df-inf 7168  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-rp 9867  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531

This theorem is referenced by:  mincl  11763  min1inf  11764  min2inf  11765  lemininf  11766  ltmininf  11767  minabs  11768  minclpr  11769  mingeb  11774  xrminrecl  11805