minmax - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem minmax 11033

Description: Minimum expressed in terms of maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
minmax	$/\$ inf

Proof of Theorem minmax Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8047	. . . . . . . . . . . 12
2		elprg 3552	. . . . . . . . . . . 12 $\/$
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $\/$
4	3	adantl 275	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$
5		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
6	5	recnd 7818	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
7		simpll 519	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
8	7	recnd 7818	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
9	6, 8	negcon1d 8091	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
10		eqcom 2142	. . . . . . . . . . . 12
11	9, 10	syl6bb 195	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
12		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
13	12	recnd 7818	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
14	6, 13	negcon1d 8091	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
15		eqcom 2142	. . . . . . . . . . . 12
16	14, 15	syl6bb 195	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
17	11, 16	orbi12d 783	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
18	4, 17	bitrd 187	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$
19	18	rabbidva 2677	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
20		dfrab2 3356	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
21		dfpr2 3551	. . . . . . . . . . 11 $\/$
22	21	ineq1i 3278	. . . . . . . . . 10 $\/$
23	20, 22	eqtr4i 2164	. . . . . . . . 9 $\/$
24		renegcl 8047	. . . . . . . . . . 11
25		renegcl 8047	. . . . . . . . . . 11
26		prssi 3686	. . . . . . . . . . 11 $/\$
27	24, 25, 26	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 $/\$
28		df-ss 3089	. . . . . . . . . 10
29	27, 28	sylib 121	. . . . . . . . 9 $/\$
30	23, 29	syl5eq 2185	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
31	19, 30	eqtrd 2173	. . . . . . 7 $/\$
32	31	supeq1d 6882	. . . . . 6 $/\$
33		maxcl 11014	. . . . . . 7 $/\$
34	24, 25, 33	syl2an 287	. . . . . 6 $/\$
35	32, 34	eqeltrd 2217	. . . . 5 $/\$
36	35	renegcld 8166	. . . 4 $/\$
37		simpr 109	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
38	37	negeqd 7981	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
39		maxle1 11015	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	24, 25, 39	syl2an 287	. . . . . . . . 9 $/\$
41	40	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
42	38, 41	eqbrtrd 3958	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
43		simpll 519	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		simplll 523	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
45	37, 44	eqeltrd 2217	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
46	32	negeqd 7981	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
47	46	breq2d 3949	. . . . . . . . . . 11 $/\$
48	47	notbid 657	. . . . . . . . . 10 $/\$
49	48	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
50	34	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
51	50	renegcld 8166	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
52		simpr 109	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
53	51, 52	lenltd 7904	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
54		lenegcon1 8252	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	34, 54	sylan 281	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
56	49, 53, 55	3bitr2d 215	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
57	43, 45, 56	syl2anc 409	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
58	42, 57	mpbird 166	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
59		simpr 109	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
60	59	negeqd 7981	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
61		maxle2 11016	. . . . . . . . . 10 $/\$
62	24, 25, 61	syl2an 287	. . . . . . . . 9 $/\$
63	62	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
64	60, 63	eqbrtrd 3958	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
65		simpll 519	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		simpllr 524	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
67	59, 66	eqeltrd 2217	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
68	65, 67, 56	syl2anc 409	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
69	64, 68	mpbird 166	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
70		elpri 3555	. . . . . . 7 $\/$
71	70	adantl 275	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$
72	58, 69, 71	mpjaodan 788	. . . . 5 $/\$ $/\$
73	72	ralrimiva 2508	. . . 4 $/\$
74	24	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
75	25	ad3antlr 485	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
76		simplr 520	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	renegcld 8166	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
78	34	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
79		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
80	46	breq1d 3947	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81	80	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
82	79, 81	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
83	78, 76, 82	ltnegcon1d 8311	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
84		maxleastlt 11019	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
85	74, 75, 77, 83, 84	syl22anc 1218	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
86		simplll 523	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
87	86, 76	ltnegd 8309	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
88		simpllr 524	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
89	88, 76	ltnegd 8309	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
90	87, 89	orbi12d 783	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
91	85, 90	mpbird 166	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
92		breq1 3940	. . . . . . . . 9
93		breq1 3940	. . . . . . . . 9
94	92, 93	rexprg 3583	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
95	94	ad2antrr 480	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
96	91, 95	mpbird 166	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
97	96	ex 114	. . . . 5 $/\$ $/\$
98	97	ralrimiva 2508	. . . 4 $/\$
99		breq2 3941	. . . . . . . 8
100	99	notbid 657	. . . . . . 7
101	100	ralbidv 2438	. . . . . 6
102		breq1 3940	. . . . . . . 8
103	102	imbi1d 230	. . . . . . 7
104	103	ralbidv 2438	. . . . . 6
105	101, 104	anbi12d 465	. . . . 5 $/\$ $/\$
106	105	rspcev 2793	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
107	36, 73, 98, 106	syl12anc 1215	. . 3 $/\$ $/\$
108		prssi 3686	. . 3 $/\$
109	107, 108	infrenegsupex 9416	. 2 $/\$ inf
110	109, 46	eqtrd 2173	1 $/\$ inf

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 698

wceq 1332

wcel 1481

cab 2126

wral 2417

wrex 2418

crab 2421

cin 3075

wss 3076

cpr 3533 class class class wbr 3937

csup 6877 infcinf 6878

cr 7643

clt 7824

cle 7825

cneg 7958

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 ax-arch 7763 ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-isom 5140 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-frec 6296 df-sup 6879 df-inf 6880 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-2 8803 df-3 8804 df-4 8805 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-rp 9471 df-seqfrec 10250 df-exp 10324 df-cj 10646 df-re 10647 df-im 10648 df-rsqrt 10802 df-abs 10803

This theorem is referenced by: mincl 11034 min1inf 11035 min2inf 11036 lemininf 11037 ltmininf 11038 minabs 11039 minclpr 11040 xrminrecl 11074

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