Theorem minmax 11269

Description: Minimum expressed in terms of maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
minmax	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )

Proof of Theorem minmax

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. RR -> -u z e. RR )
2		elprg 3627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u z e. RR -> ( -u z e. { A , B } <-> ( -u z = A \/ -u z = B ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. RR -> ( -u z e. { A , B } <-> ( -u z = A \/ -u z = B ) ) )
4	3	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( -u z e. { A , B } <-> ( -u z = A \/ -u z = B ) ) )
5		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> z e. RR )
6	5	recnd 8015	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> z e. CC )
7		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> A e. RR )
8	7	recnd 8015	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> A e. CC )
9	6, 8	negcon1d 8291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( -u z = A <-> -u A = z ) )
10		eqcom 2191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u A = z <-> z = -u A )
11	9, 10	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( -u z = A <-> z = -u A ) )
12		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> B e. RR )
13	12	recnd 8015	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> B e. CC )
14	6, 13	negcon1d 8291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( -u z = B <-> -u B = z ) )
15		eqcom 2191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u B = z <-> z = -u B )
16	14, 15	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( -u z = B <-> z = -u B ) )
17	11, 16	orbi12d 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( ( -u z = A \/ -u z = B ) <-> ( z = -u A \/ z = -u B ) ) )
18	4, 17	bitrd 188	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( -u z e. { A , B } <-> ( z = -u A \/ z = -u B ) ) )
19	18	rabbidva 2740	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> { z e. RR | -u z e. { A , B } } = { z e. RR | ( z = -u A \/ z = -u B ) } )
20		dfrab2 3425	. . . . . . . . . 10 |- { z e. RR | ( z = -u A \/ z = -u B ) } = ( { z | ( z = -u A \/ z = -u B ) } i^i RR )
21		dfpr2 3626	. . . . . . . . . . 11 |- { -u A , -u B } = { z | ( z = -u A \/ z = -u B ) }
22	21	ineq1i 3347	. . . . . . . . . 10 |- ( { -u A , -u B } i^i RR ) = ( { z | ( z = -u A \/ z = -u B ) } i^i RR )
23	20, 22	eqtr4i 2213	. . . . . . . . 9 |- { z e. RR | ( z = -u A \/ z = -u B ) } = ( { -u A , -u B } i^i RR )
24		renegcl 8247	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
25		renegcl 8247	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
26		prssi 3765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) -> { -u A , -u B } C_ RR )
27	24, 25, 26	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> { -u A , -u B } C_ RR )
28		df-ss 3157	. . . . . . . . . 10 |- ( { -u A , -u B } C_ RR <-> ( { -u A , -u B } i^i RR ) = { -u A , -u B } )
29	27, 28	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( { -u A , -u B } i^i RR ) = { -u A , -u B } )
30	23, 29	eqtrid 2234	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> { z e. RR | ( z = -u A \/ z = -u B ) } = { -u A , -u B } )
31	19, 30	eqtrd 2222	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> { z e. RR | -u z e. { A , B } } = { -u A , -u B } )
32	31	supeq1d 7015	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) = sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
33		maxcl 11250	. . . . . . 7 |- ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) -> sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR )
34	24, 25, 33	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR )
35	32, 34	eqeltrd 2266	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) e. RR )
36	35	renegcld 8366	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) e. RR )
37		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> y = A )
38	37	negeqd 8181	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -u y = -u A )
39		maxle1 11251	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) -> -u A <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
40	24, 25, 39	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u A <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
41	40	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -u A <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
42	38, 41	eqbrtrd 4040	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
43		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
44		simplll 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> A e. RR )
45	37, 44	eqeltrd 2266	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> y e. RR )
46	32	negeqd 8181	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) = -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
47	46	breq2d 4030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) <-> y < -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
48	47	notbid 668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) <-> -. y < -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
49	48	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) <-> -. y < -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
50	34	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR )
51	50	renegcld 8366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR )
52		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> y e. RR )
53	51, 52	lenltd 8104	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) <_ y <-> -. y < -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
54		lenegcon1 8452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR /\ y e. RR ) -> ( -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) <_ y <-> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
55	34, 54	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) <_ y <-> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
56	49, 53, 55	3bitr2d 216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) <-> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
57	43, 45, 56	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> ( -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) <-> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
58	42, 57	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) )
59		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> y = B )
60	59	negeqd 8181	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -u y = -u B )
61		maxle2 11252	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) -> -u B <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
62	24, 25, 61	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u B <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
63	62	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -u B <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
64	60, 63	eqbrtrd 4040	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
65		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
66		simpllr 534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> B e. RR )
67	59, 66	eqeltrd 2266	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> y e. RR )
68	65, 67, 56	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> ( -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) <-> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
69	64, 68	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) )
70		elpri 3630	. . . . . . 7 |- ( y e. { A , B } -> ( y = A \/ y = B ) )
71	70	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) -> ( y = A \/ y = B ) )
72	58, 69, 71	mpjaodan 799	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) -> -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) )
73	72	ralrimiva 2563	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A. y e. { A , B } -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) )
74	24	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> -u A e. RR )
75	25	ad3antlr 493	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> -u B e. RR )
76		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> y e. RR )
77	76	renegcld 8366	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> -u y e. RR )
78	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR )
79		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y )
80	46	breq1d 4028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y <-> -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) < y ) )
81	80	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y <-> -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) < y ) )
82	79, 81	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) < y )
83	78, 76, 82	ltnegcon1d 8511	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> -u y < sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
84		maxleastlt 11255	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) /\ ( -u y e. RR /\ -u y < sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) ) -> ( -u y < -u A \/ -u y < -u B ) )
85	74, 75, 77, 83, 84	syl22anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( -u y < -u A \/ -u y < -u B ) )
86		simplll 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> A e. RR )
87	86, 76	ltnegd 8509	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( A < y <-> -u y < -u A ) )
88		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> B e. RR )
89	88, 76	ltnegd 8509	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( B < y <-> -u y < -u B ) )
90	87, 89	orbi12d 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( ( A < y \/ B < y ) <-> ( -u y < -u A \/ -u y < -u B ) ) )
91	85, 90	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( A < y \/ B < y ) )
92		breq1 4021	. . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( z < y <-> A < y ) )
93		breq1 4021	. . . . . . . . 9 |- ( z = B -> ( z < y <-> B < y ) )
94	92, 93	rexprg 3659	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( E. z e. { A , B } z < y <-> ( A < y \/ B < y ) ) )
95	94	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( E. z e. { A , B } z < y <-> ( A < y \/ B < y ) ) )
96	91, 95	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> E. z e. { A , B } z < y )
97	96	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) )
98	97	ralrimiva 2563	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A. y e. RR ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) )
99		breq2 4022	. . . . . . . 8 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( y < x <-> y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) ) )
100	99	notbid 668	. . . . . . 7 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( -. y < x <-> -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) ) )
101	100	ralbidv 2490	. . . . . 6 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( A. y e. { A , B } -. y < x <-> A. y e. { A , B } -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) ) )
102		breq1 4021	. . . . . . . 8 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( x < y <-> -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) )
103	102	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) <-> ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
104	103	ralbidv 2490	. . . . . 6 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) <-> A. y e. RR ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
105	101, 104	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) <-> ( A. y e. { A , B } -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) /\ A. y e. RR ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) ) )
106	105	rspcev 2856	. . . 4 |- ( ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) e. RR /\ ( A. y e. { A , B } -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) /\ A. y e. RR ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
107	36, 73, 98, 106	syl12anc 1247	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> E. x e. RR ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
108		prssi 3765	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> { A , B } C_ RR )
109	107, 108	infrenegsupex 9623	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) )
110	109, 46	eqtrd 2222	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2160   {cab 2175   A.wral 2468   E.wrex 2469   {crab 2472   i^i cin 3143   C_ wss 3144   {cpr 3608   class class class wbr 4018   supcsup 7010  infcinf 7011   RRcr 7839   < clt 8021   <_ cle 8022   -ucneg 8158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958  ax-arch 7959  ax-caucvg 7960

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-frec 6415  df-sup 7012  df-inf 7013  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-4 9009  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558  df-rp 9683  df-seqfrec 10476  df-exp 10550  df-cj 10882  df-re 10883  df-im 10884  df-rsqrt 11038  df-abs 11039

This theorem is referenced by:  mincl  11270  min1inf  11271  min2inf  11272  lemininf  11273  ltmininf  11274  minabs  11275  minclpr  11276  mingeb  11281  xrminrecl  11312