Theorem minmax 11412

Description: Minimum expressed in terms of maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
minmax	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )

Proof of Theorem minmax

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. RR -> -u z e. RR )
2		elprg 3643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u z e. RR -> ( -u z e. { A , B } <-> ( -u z = A \/ -u z = B ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. RR -> ( -u z e. { A , B } <-> ( -u z = A \/ -u z = B ) ) )
4	3	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( -u z e. { A , B } <-> ( -u z = A \/ -u z = B ) ) )
5		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> z e. RR )
6	5	recnd 8072	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> z e. CC )
7		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> A e. RR )
8	7	recnd 8072	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> A e. CC )
9	6, 8	negcon1d 8348	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( -u z = A <-> -u A = z ) )
10		eqcom 2198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u A = z <-> z = -u A )
11	9, 10	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( -u z = A <-> z = -u A ) )
12		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> B e. RR )
13	12	recnd 8072	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> B e. CC )
14	6, 13	negcon1d 8348	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( -u z = B <-> -u B = z ) )
15		eqcom 2198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u B = z <-> z = -u B )
16	14, 15	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( -u z = B <-> z = -u B ) )
17	11, 16	orbi12d 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( ( -u z = A \/ -u z = B ) <-> ( z = -u A \/ z = -u B ) ) )
18	4, 17	bitrd 188	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( -u z e. { A , B } <-> ( z = -u A \/ z = -u B ) ) )
19	18	rabbidva 2751	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> { z e. RR | -u z e. { A , B } } = { z e. RR | ( z = -u A \/ z = -u B ) } )
20		dfrab2 3439	. . . . . . . . . 10 |- { z e. RR | ( z = -u A \/ z = -u B ) } = ( { z | ( z = -u A \/ z = -u B ) } i^i RR )
21		dfpr2 3642	. . . . . . . . . . 11 |- { -u A , -u B } = { z | ( z = -u A \/ z = -u B ) }
22	21	ineq1i 3361	. . . . . . . . . 10 |- ( { -u A , -u B } i^i RR ) = ( { z | ( z = -u A \/ z = -u B ) } i^i RR )
23	20, 22	eqtr4i 2220	. . . . . . . . 9 |- { z e. RR | ( z = -u A \/ z = -u B ) } = ( { -u A , -u B } i^i RR )
24		renegcl 8304	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
25		renegcl 8304	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
26		prssi 3781	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) -> { -u A , -u B } C_ RR )
27	24, 25, 26	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> { -u A , -u B } C_ RR )
28		df-ss 3170	. . . . . . . . . 10 |- ( { -u A , -u B } C_ RR <-> ( { -u A , -u B } i^i RR ) = { -u A , -u B } )
29	27, 28	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( { -u A , -u B } i^i RR ) = { -u A , -u B } )
30	23, 29	eqtrid 2241	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> { z e. RR | ( z = -u A \/ z = -u B ) } = { -u A , -u B } )
31	19, 30	eqtrd 2229	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> { z e. RR | -u z e. { A , B } } = { -u A , -u B } )
32	31	supeq1d 7062	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) = sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
33		maxcl 11392	. . . . . . 7 |- ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) -> sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR )
34	24, 25, 33	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR )
35	32, 34	eqeltrd 2273	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) e. RR )
36	35	renegcld 8423	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) e. RR )
37		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> y = A )
38	37	negeqd 8238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -u y = -u A )
39		maxle1 11393	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) -> -u A <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
40	24, 25, 39	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u A <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
41	40	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -u A <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
42	38, 41	eqbrtrd 4056	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
43		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
44		simplll 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> A e. RR )
45	37, 44	eqeltrd 2273	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> y e. RR )
46	32	negeqd 8238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) = -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
47	46	breq2d 4046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) <-> y < -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
48	47	notbid 668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) <-> -. y < -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
49	48	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) <-> -. y < -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
50	34	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR )
51	50	renegcld 8423	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR )
52		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> y e. RR )
53	51, 52	lenltd 8161	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) <_ y <-> -. y < -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
54		lenegcon1 8510	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR /\ y e. RR ) -> ( -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) <_ y <-> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
55	34, 54	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) <_ y <-> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
56	49, 53, 55	3bitr2d 216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) <-> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
57	43, 45, 56	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> ( -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) <-> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
58	42, 57	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) )
59		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> y = B )
60	59	negeqd 8238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -u y = -u B )
61		maxle2 11394	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) -> -u B <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
62	24, 25, 61	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u B <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
63	62	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -u B <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
64	60, 63	eqbrtrd 4056	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
65		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
66		simpllr 534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> B e. RR )
67	59, 66	eqeltrd 2273	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> y e. RR )
68	65, 67, 56	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> ( -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) <-> -u y <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) )
69	64, 68	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) )
70		elpri 3646	. . . . . . 7 |- ( y e. { A , B } -> ( y = A \/ y = B ) )
71	70	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) -> ( y = A \/ y = B ) )
72	58, 69, 71	mpjaodan 799	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. { A , B } ) -> -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) )
73	72	ralrimiva 2570	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A. y e. { A , B } -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) )
74	24	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> -u A e. RR )
75	25	ad3antlr 493	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> -u B e. RR )
76		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> y e. RR )
77	76	renegcld 8423	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> -u y e. RR )
78	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR )
79		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y )
80	46	breq1d 4044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y <-> -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) < y ) )
81	80	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y <-> -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) < y ) )
82	79, 81	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) < y )
83	78, 76, 82	ltnegcon1d 8569	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> -u y < sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
84		maxleastlt 11397	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) /\ ( -u y e. RR /\ -u y < sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) ) ) -> ( -u y < -u A \/ -u y < -u B ) )
85	74, 75, 77, 83, 84	syl22anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( -u y < -u A \/ -u y < -u B ) )
86		simplll 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> A e. RR )
87	86, 76	ltnegd 8567	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( A < y <-> -u y < -u A ) )
88		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> B e. RR )
89	88, 76	ltnegd 8567	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( B < y <-> -u y < -u B ) )
90	87, 89	orbi12d 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( ( A < y \/ B < y ) <-> ( -u y < -u A \/ -u y < -u B ) ) )
91	85, 90	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( A < y \/ B < y ) )
92		breq1 4037	. . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( z < y <-> A < y ) )
93		breq1 4037	. . . . . . . . 9 |- ( z = B -> ( z < y <-> B < y ) )
94	92, 93	rexprg 3675	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( E. z e. { A , B } z < y <-> ( A < y \/ B < y ) ) )
95	94	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> ( E. z e. { A , B } z < y <-> ( A < y \/ B < y ) ) )
96	91, 95	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) /\ -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) -> E. z e. { A , B } z < y )
97	96	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) )
98	97	ralrimiva 2570	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A. y e. RR ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) )
99		breq2 4038	. . . . . . . 8 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( y < x <-> y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) ) )
100	99	notbid 668	. . . . . . 7 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( -. y < x <-> -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) ) )
101	100	ralbidv 2497	. . . . . 6 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( A. y e. { A , B } -. y < x <-> A. y e. { A , B } -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) ) )
102		breq1 4037	. . . . . . . 8 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( x < y <-> -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y ) )
103	102	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) <-> ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
104	103	ralbidv 2497	. . . . . 6 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) <-> A. y e. RR ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
105	101, 104	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( x = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) -> ( ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) <-> ( A. y e. { A , B } -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) /\ A. y e. RR ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) ) )
106	105	rspcev 2868	. . . 4 |- ( ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) e. RR /\ ( A. y e. { A , B } -. y < -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) /\ A. y e. RR ( -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
107	36, 73, 98, 106	syl12anc 1247	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> E. x e. RR ( A. y e. { A , B } -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. { A , B } z < y ) ) )
108		prssi 3781	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> { A , B } C_ RR )
109	107, 108	infrenegsupex 9685	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = -u sup ( { z e. RR | -u z e. { A , B } } , RR , < ) )
110	109, 46	eqtrd 2229	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cab 2182   A.wral 2475   E.wrex 2476   {crab 2479   i^i cin 3156   C_ wss 3157   {cpr 3624   class class class wbr 4034   supcsup 7057  infcinf 7058   RRcr 7895   < clt 8078   <_ cle 8079   -ucneg 8215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-rp 9746  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181

This theorem is referenced by:  mincl  11413  min1inf  11414  min2inf  11415  lemininf  11416  ltmininf  11417  minabs  11418  minclpr  11419  mingeb  11424  xrminrecl  11455