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Theorem suplubti 6880
Description: A supremum is the least upper bound. See also supclti 6878 and supubti 6879. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
supmoti.ti  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
supclti.2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Assertion
Ref Expression
suplubti  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  C R sup ( B ,  A ,  R )
)  ->  E. z  e.  B  C R
z ) )
Distinct variable groups:    u, A, v, x    y, A, x, z    x, B, y, z    u, R, v, x    y, R, z    ph, u, v, x    z, C
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    B( v, u)    C( x, y, v, u)

Proof of Theorem suplubti
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )
2 breq1 3927 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  (
y R x  <->  w R x ) )
3 breq1 3927 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  (
y R z  <->  w R
z ) )
43rexbidv 2436 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  ( E. z  e.  B  y R z  <->  E. z  e.  B  w R
z ) )
52, 4imbi12d 233 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  (
( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R
z ) ) )
65cbvralv 2652 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  A. w  e.  A  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R
z ) )
71, 6sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  A. w  e.  A  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R z ) )
87a1i 9 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  ->  A. w  e.  A  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R z ) ) )
98ss2rabi 3174 . . 3  |-  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  C_  { x  e.  A  |  A. w  e.  A  (
w R x  ->  E. z  e.  B  w R z ) }
10 supmoti.ti . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
11 supclti.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
1210, 11supval2ti 6875 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
1310, 11supeuti 6874 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
14 riotacl2 5736 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  e.  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
1513, 14syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  e.  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
1612, 15eqeltrd 2214 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
179, 16sseldi 3090 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  { x  e.  A  |  A. w  e.  A  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R z ) } )
18 breq2 3928 . . . . . 6  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( w R x  <->  w R sup ( B ,  A ,  R ) ) )
1918imbi1d 230 . . . . 5  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( (
w R x  ->  E. z  e.  B  w R z )  <->  ( w R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  w R z ) ) )
2019ralbidv 2435 . . . 4  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( A. w  e.  A  (
w R x  ->  E. z  e.  B  w R z )  <->  A. w  e.  A  ( w R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  w R z ) ) )
2120elrab 2835 . . 3  |-  ( sup ( B ,  A ,  R )  e.  {
x  e.  A  |  A. w  e.  A  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R z ) }  <-> 
( sup ( B ,  A ,  R
)  e.  A  /\  A. w  e.  A  ( w R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  w R
z ) ) )
2221simprbi 273 . 2  |-  ( sup ( B ,  A ,  R )  e.  {
x  e.  A  |  A. w  e.  A  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R z ) }  ->  A. w  e.  A  ( w R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  w R
z ) )
23 breq1 3927 . . . . 5  |-  ( w  =  C  ->  (
w R sup ( B ,  A ,  R )  <->  C R sup ( B ,  A ,  R ) ) )
24 breq1 3927 . . . . . 6  |-  ( w  =  C  ->  (
w R z  <->  C R
z ) )
2524rexbidv 2436 . . . . 5  |-  ( w  =  C  ->  ( E. z  e.  B  w R z  <->  E. z  e.  B  C R
z ) )
2623, 25imbi12d 233 . . . 4  |-  ( w  =  C  ->  (
( w R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  w R
z )  <->  ( C R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  C R z ) ) )
2726rspccv 2781 . . 3  |-  ( A. w  e.  A  (
w R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  w R
z )  ->  ( C  e.  A  ->  ( C R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  C R
z ) ) )
2827impd 252 . 2  |-  ( A. w  e.  A  (
w R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  w R
z )  ->  (
( C  e.  A  /\  C R sup ( B ,  A ,  R ) )  ->  E. z  e.  B  C R z ) )
2917, 22, 283syl 17 1  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  C R sup ( B ,  A ,  R )
)  ->  E. z  e.  B  C R
z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   E!wreu 2416   {crab 2418   class class class wbr 3924   iota_crio 5722   supcsup 6862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-iota 5083  df-riota 5723  df-sup 6864
This theorem is referenced by:  suplub2ti  6881  supisoti  6890  infglbti  6905  sup3exmid  8708  maxleast  10978
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