Theorem suplubti 7059

Description: A supremum is the least upper bound. See also supclti 7057 and supubti 7058. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
supclti.2	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplubti	|- ( ph -> ( ( C e. A /\ C R sup ( B , A , R ) ) -> E. z e. B C R z ) )

Distinct variable groups:   u, A, v, x   y, A, x, z   x, B, y, z   u, R, v, x   y, R, z   ph, u, v, x   z, C

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( v, u)   C( x, y, v, u)

Proof of Theorem suplubti

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) )
2		breq1 4032	. . . . . . . 8 |- ( y = w -> ( y R x <-> w R x ) )
3		breq1 4032	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( y R z <-> w R z ) )
4	3	rexbidv 2495	. . . . . . . 8 |- ( y = w -> ( E. z e. B y R z <-> E. z e. B w R z ) )
5	2, 4	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( y = w -> ( ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> ( w R x -> E. z e. B w R z ) ) )
6	5	cbvralv 2726	. . . . . 6 |- ( A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> A. w e. A ( w R x -> E. z e. B w R z ) )
7	1, 6	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> A. w e. A ( w R x -> E. z e. B w R z ) )
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. A -> ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> A. w e. A ( w R x -> E. z e. B w R z ) ) )
9	8	ss2rabi 3261	. . 3 |- { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } C_ { x e. A | A. w e. A ( w R x -> E. z e. B w R z ) }
10		supmoti.ti	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
11		supclti.2	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
12	10, 11	supval2ti 7054	. . . 4 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
13	10, 11	supeuti 7053	. . . . 5 |- ( ph -> E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
14		riotacl2 5887	. . . . 5 |- ( E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) e. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } )
15	13, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) e. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } )
16	12, 15	eqeltrd 2270	. . 3 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } )
17	9, 16	sselid 3177	. 2 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. { x e. A | A. w e. A ( w R x -> E. z e. B w R z ) } )
18		breq2 4033	. . . . . 6 |- ( x = sup ( B , A , R ) -> ( w R x <-> w R sup ( B , A , R ) ) )
19	18	imbi1d 231	. . . . 5 |- ( x = sup ( B , A , R ) -> ( ( w R x -> E. z e. B w R z ) <-> ( w R sup ( B , A , R ) -> E. z e. B w R z ) ) )
20	19	ralbidv 2494	. . . 4 |- ( x = sup ( B , A , R ) -> ( A. w e. A ( w R x -> E. z e. B w R z ) <-> A. w e. A ( w R sup ( B , A , R ) -> E. z e. B w R z ) ) )
21	20	elrab 2916	. . 3 |- ( sup ( B , A , R ) e. { x e. A | A. w e. A ( w R x -> E. z e. B w R z ) } <-> ( sup ( B , A , R ) e. A /\ A. w e. A ( w R sup ( B , A , R ) -> E. z e. B w R z ) ) )
22	21	simprbi 275	. 2 |- ( sup ( B , A , R ) e. { x e. A | A. w e. A ( w R x -> E. z e. B w R z ) } -> A. w e. A ( w R sup ( B , A , R ) -> E. z e. B w R z ) )
23		breq1 4032	. . . . 5 |- ( w = C -> ( w R sup ( B , A , R ) <-> C R sup ( B , A , R ) ) )
24		breq1 4032	. . . . . 6 |- ( w = C -> ( w R z <-> C R z ) )
25	24	rexbidv 2495	. . . . 5 |- ( w = C -> ( E. z e. B w R z <-> E. z e. B C R z ) )
26	23, 25	imbi12d 234	. . . 4 |- ( w = C -> ( ( w R sup ( B , A , R ) -> E. z e. B w R z ) <-> ( C R sup ( B , A , R ) -> E. z e. B C R z ) ) )
27	26	rspccv 2861	. . 3 |- ( A. w e. A ( w R sup ( B , A , R ) -> E. z e. B w R z ) -> ( C e. A -> ( C R sup ( B , A , R ) -> E. z e. B C R z ) ) )
28	27	impd 254	. 2 |- ( A. w e. A ( w R sup ( B , A , R ) -> E. z e. B w R z ) -> ( ( C e. A /\ C R sup ( B , A , R ) ) -> E. z e. B C R z ) )
29	17, 22, 28	3syl 17	1 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ C R sup ( B , A , R ) ) -> E. z e. B C R z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   E!wreu 2474   {crab 2476   class class class wbr 4029   iota_crio 5872   supcsup 7041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-iota 5215  df-riota 5873  df-sup 7043

This theorem is referenced by:  suplub2ti  7060  supisoti  7069  infglbti  7084  sup3exmid  8976  maxleast  11357