ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  topcld GIF version

Theorem topcld 14086
Description: The underlying set of a topology is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 3-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
topcld (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem topcld
StepHypRef Expression
1 difid 3506 . . . 4 (𝑋𝑋) = ∅
2 0opn 13983 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
31, 2eqeltrid 2276 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑋𝑋) ∈ 𝐽)
4 ssid 3190 . . 3 𝑋𝑋
53, 4jctil 312 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑋𝑋 ∧ (𝑋𝑋) ∈ 𝐽))
6 iscld.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
76iscld 14080 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑋𝑋 ∧ (𝑋𝑋) ∈ 𝐽)))
85, 7mpbird 167 1 (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  cdif 3141  wss 3144  c0 3437   cuni 3824  cfv 5235  Topctop 13974  Clsdccld 14069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-top 13975  df-cld 14072
This theorem is referenced by:  clsval  14088  clstop  14104  clsss3  14107
  Copyright terms: Public domain W3C validator