ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  topcld GIF version

Theorem topcld 12315
Description: The underlying set of a topology is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 3-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
topcld (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem topcld
StepHypRef Expression
1 difid 3435 . . . 4 (𝑋𝑋) = ∅
2 0opn 12210 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
31, 2eqeltrid 2227 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑋𝑋) ∈ 𝐽)
4 ssid 3121 . . 3 𝑋𝑋
53, 4jctil 310 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑋𝑋 ∧ (𝑋𝑋) ∈ 𝐽))
6 iscld.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
76iscld 12309 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑋𝑋 ∧ (𝑋𝑋) ∈ 𝐽)))
85, 7mpbird 166 1 (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481  cdif 3072  wss 3075  c0 3367   cuni 3743  cfv 5130  Topctop 12201  Clsdccld 12298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-top 12202  df-cld 12301
This theorem is referenced by:  clsval  12317  clstop  12333  clsss3  12336
  Copyright terms: Public domain W3C validator