Theorem topcld 15193

Description: The underlying set of a topology is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 3-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
topcld	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem topcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difid 3594	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∖ 𝑋) = ∅
2		0opn 15090	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
3	1, 2	eqeltrid 2325	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∖ 𝑋) ∈ 𝐽)
4		ssid 3268	. . 3 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
5	3, 4	jctil 312	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑋) ∈ 𝐽))
6		iscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
7	6	iscld 15187	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑋) ∈ 𝐽)))
8	5, 7	mpbird 167	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∖ cdif 3217   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  ∪ cuni 3933  ‘cfv 5375  Topctop 15081  Clsdccld 15176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-top 15082  df-cld 15179

This theorem is referenced by:  clsval  15195  clstop  15211  clsss3  15214