Theorem topcld 15103

Description: The underlying set of a topology is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 3-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
topcld	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem topcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difid 3581	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∖ 𝑋) = ∅
2		0opn 15000	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
3	1, 2	eqeltrid 2321	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∖ 𝑋) ∈ 𝐽)
4		ssid 3262	. . 3 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
5	3, 4	jctil 312	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑋) ∈ 𝐽))
6		iscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
7	6	iscld 15097	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑋) ∈ 𝐽)))
8	5, 7	mpbird 167	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∖ cdif 3211   ⊆ wss 3214  ∅c0 3512  ∪ cuni 3919  ‘cfv 5357  Topctop 14991  Clsdccld 15086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-top 14992  df-cld 15089

This theorem is referenced by:  clsval  15105  clstop  15121  clsss3  15124