Theorem topcld 12267

Description: The underlying set of a topology is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 3-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
topcld	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem topcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difid 3426	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∖ 𝑋) = ∅
2		0opn 12162	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
3	1, 2	eqeltrid 2224	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∖ 𝑋) ∈ 𝐽)
4		ssid 3112	. . 3 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
5	3, 4	jctil 310	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑋) ∈ 𝐽))
6		iscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
7	6	iscld 12261	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑋) ∈ 𝐽)))
8	5, 7	mpbird 166	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ∖ cdif 3063   ⊆ wss 3066  ∅c0 3358  ∪ cuni 3731  ‘cfv 5118  Topctop 12153  Clsdccld 12250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-top 12154  df-cld 12253

This theorem is referenced by:  clsval  12269  clstop  12285  clsss3  12288