ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  topcld GIF version

Theorem topcld 11977
Description: The underlying set of a topology is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 3-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
topcld (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem topcld
StepHypRef Expression
1 difid 3370 . . . 4 (𝑋𝑋) = ∅
2 0opn 11873 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
31, 2syl5eqel 2181 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑋𝑋) ∈ 𝐽)
4 ssid 3059 . . 3 𝑋𝑋
53, 4jctil 306 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑋𝑋 ∧ (𝑋𝑋) ∈ 𝐽))
6 iscld.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
76iscld 11971 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑋𝑋 ∧ (𝑋𝑋) ∈ 𝐽)))
85, 7mpbird 166 1 (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1296  wcel 1445  cdif 3010  wss 3013  c0 3302   cuni 3675  cfv 5049  Topctop 11864  Clsdccld 11960
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-top 11865  df-cld 11963
This theorem is referenced by:  clsval  11979  clstop  11995  clsss3  11998
  Copyright terms: Public domain W3C validator