Theorem tposfo 6347

Description: The domain and codomain/range of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposfo	|- ( F : ( A X. B ) -onto-> C -> tpos F : ( B X. A ) -onto-> C )

Proof of Theorem tposfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 4782	. . 3 |- Rel ( A X. B )
2		tposfo2 6343	. . 3 |- ( Rel ( A X. B ) -> ( F : ( A X. B ) -onto-> C -> tpos F : `' ( A X. B ) -onto-> C ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( F : ( A X. B ) -onto-> C -> tpos F : `' ( A X. B ) -onto-> C )
4		cnvxp 5098	. . 3 |- `' ( A X. B ) = ( B X. A )
5		foeq2 5489	. . 3 |- ( `' ( A X. B ) = ( B X. A ) -> (tpos F : `' ( A X. B ) -onto-> C <-> tpos F : ( B X. A ) -onto-> C ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- (tpos F : `' ( A X. B ) -onto-> C <-> tpos F : ( B X. A ) -onto-> C )
7	3, 6	sylib 122	1 |- ( F : ( A X. B ) -onto-> C -> tpos F : ( B X. A ) -onto-> C )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1372   X. cxp 4671   `'ccnv 4672   Rel wrel 4678   -onto->wfo 5266  tpos ctpos 6320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-fo 5274  df-fv 5276  df-tpos 6321

This theorem is referenced by: (None)