ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tposfo GIF version

Theorem tposfo 6036
Description: The domain and range of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposfo (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto𝐶)

Proof of Theorem tposfo
StepHypRef Expression
1 relxp 4547 . . 3 Rel (𝐴 × 𝐵)
2 tposfo2 6032 . . 3 (Rel (𝐴 × 𝐵) → (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto𝐶 → tpos 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto𝐶))
31, 2ax-mp 7 . 2 (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto𝐶 → tpos 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto𝐶)
4 cnvxp 4850 . . 3 (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
5 foeq2 5230 . . 3 ((𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴) → (tpos 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto𝐶))
64, 5ax-mp 7 . 2 (tpos 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto𝐶)
73, 6sylib 120 1 (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 103   = wceq 1289   × cxp 4436  ccnv 4437  Rel wrel 4443  ontowfo 5013  tpos ctpos 6009
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-fo 5021  df-fv 5023  df-tpos 6010
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator