ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpsnen2g Unicode version

Theorem xpsnen2g 6535
Description: A set is equinumerous to its Cartesian product with a singleton on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
xpsnen2g  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { A }  X.  B )  ~~  B
)

Proof of Theorem xpsnen2g
StepHypRef Expression
1 snexg 4017 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  e.  _V )
2 xpcomeng 6534 . . 3  |-  ( ( { A }  e.  _V  /\  B  e.  W
)  ->  ( { A }  X.  B
)  ~~  ( B  X.  { A } ) )
31, 2sylan 277 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { A }  X.  B )  ~~  ( B  X.  { A }
) )
4 xpsneng 6528 . . 3  |-  ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  ( B  X.  { A } )  ~~  B
)
54ancoms 264 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( B  X.  { A } )  ~~  B
)
6 entr 6491 . 2  |-  ( ( ( { A }  X.  B )  ~~  ( B  X.  { A }
)  /\  ( B  X.  { A } ) 
~~  B )  -> 
( { A }  X.  B )  ~~  B
)
73, 5, 6syl2anc 403 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { A }  X.  B )  ~~  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   {csn 3444   class class class wbr 3843    X. cxp 4434    ~~ cen 6445
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2841  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-id 4118  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-er 6282  df-en 6448
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator