Theorem xpsnen2g 6731

Description: A set is equinumerous to its Cartesian product with a singleton on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xpsnen2g	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { A } X. B ) ~~ B )

Proof of Theorem xpsnen2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snexg 4116	. . 3 |- ( A e. V -> { A } e. _V )
2		xpcomeng 6730	. . 3 |- ( ( { A } e. _V /\ B e. W ) -> ( { A } X. B ) ~~ ( B X. { A } ) )
3	1, 2	sylan 281	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { A } X. B ) ~~ ( B X. { A } ) )
4		xpsneng 6724	. . 3 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> ( B X. { A } ) ~~ B )
5	4	ancoms 266	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( B X. { A } ) ~~ B )
6		entr 6686	. 2 |- ( ( ( { A } X. B ) ~~ ( B X. { A } ) /\ ( B X. { A } ) ~~ B ) -> ( { A } X. B ) ~~ B )
7	3, 5, 6	syl2anc 409	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { A } X. B ) ~~ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   {csn 3532   class class class wbr 3937   X. cxp 4545   ~~ cen 6640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-er 6437  df-en 6643

This theorem is referenced by:  djucomen  7089  djuassen  7090  xpdjuen  7091