Theorem xpsnen2g 6829

Description: A set is equinumerous to its Cartesian product with a singleton on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xpsnen2g	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { A } X. B ) ~~ B )

Proof of Theorem xpsnen2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snexg 4185	. . 3 |- ( A e. V -> { A } e. _V )
2		xpcomeng 6828	. . 3 |- ( ( { A } e. _V /\ B e. W ) -> ( { A } X. B ) ~~ ( B X. { A } ) )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { A } X. B ) ~~ ( B X. { A } ) )
4		xpsneng 6822	. . 3 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> ( B X. { A } ) ~~ B )
5	4	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( B X. { A } ) ~~ B )
6		entr 6784	. 2 |- ( ( ( { A } X. B ) ~~ ( B X. { A } ) /\ ( B X. { A } ) ~~ B ) -> ( { A } X. B ) ~~ B )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { A } X. B ) ~~ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   _Vcvv 2738   {csn 3593   class class class wbr 4004   X. cxp 4625   ~~ cen 6738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-sbc 2964  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-er 6535  df-en 6741

This theorem is referenced by:  djucomen  7215  djuassen  7216  xpdjuen  7217