Theorem xpsnen2g 6938

Description: A set is equinumerous to its Cartesian product with a singleton on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xpsnen2g	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { A } X. B ) ~~ B )

Proof of Theorem xpsnen2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snexg 4235	. . 3 |- ( A e. V -> { A } e. _V )
2		xpcomeng 6937	. . 3 |- ( ( { A } e. _V /\ B e. W ) -> ( { A } X. B ) ~~ ( B X. { A } ) )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { A } X. B ) ~~ ( B X. { A } ) )
4		xpsneng 6931	. . 3 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> ( B X. { A } ) ~~ B )
5	4	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( B X. { A } ) ~~ B )
6		entr 6888	. 2 |- ( ( ( { A } X. B ) ~~ ( B X. { A } ) /\ ( B X. { A } ) ~~ B ) -> ( { A } X. B ) ~~ B )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { A } X. B ) ~~ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   {csn 3637   class class class wbr 4050   X. cxp 4680   ~~ cen 6837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3003  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-er 6632  df-en 6840

This theorem is referenced by:  djucomen  7343  djuassen  7344  xpdjuen  7345  lgsquadlem1  15624  lgsquadlem2  15625