Theorem xpsnen2g 6883

Description: A set is equinumerous to its Cartesian product with a singleton on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xpsnen2g	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { A } X. B ) ~~ B )

Proof of Theorem xpsnen2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snexg 4213	. . 3 |- ( A e. V -> { A } e. _V )
2		xpcomeng 6882	. . 3 |- ( ( { A } e. _V /\ B e. W ) -> ( { A } X. B ) ~~ ( B X. { A } ) )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { A } X. B ) ~~ ( B X. { A } ) )
4		xpsneng 6876	. . 3 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> ( B X. { A } ) ~~ B )
5	4	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( B X. { A } ) ~~ B )
6		entr 6838	. 2 |- ( ( ( { A } X. B ) ~~ ( B X. { A } ) /\ ( B X. { A } ) ~~ B ) -> ( { A } X. B ) ~~ B )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { A } X. B ) ~~ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   {csn 3618   class class class wbr 4029   X. cxp 4657   ~~ cen 6792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-er 6587  df-en 6795

This theorem is referenced by:  djucomen  7276  djuassen  7277  xpdjuen  7278  lgsquadlem1  15191