Theorem xpsnen2g 6949

Description: A set is equinumerous to its Cartesian product with a singleton on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xpsnen2g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)

Proof of Theorem xpsnen2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snexg 4244	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)
2		xpcomeng 6948	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}))
3	1, 2	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}))
4		xpsneng 6942	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵)
5	4	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵)
6		entr 6899	. 2 ⊢ ((({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}) ∧ (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)
7	3, 5, 6	syl2anc 411	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2178  Vcvv 2776  {csn 3643   class class class wbr 4059   × cxp 4691   ≈ cen 6848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-er 6643  df-en 6851

This theorem is referenced by:  djucomen  7359  djuassen  7360  xpdjuen  7361  lgsquadlem1  15669  lgsquadlem2  15670