ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpsnen2g GIF version

Theorem xpsnen2g 6730
Description: A set is equinumerous to its Cartesian product with a singleton on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
xpsnen2g ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)

Proof of Theorem xpsnen2g
StepHypRef Expression
1 snexg 4115 . . 3 (𝐴𝑉 → {𝐴} ∈ V)
2 xpcomeng 6729 . . 3 (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}))
31, 2sylan 281 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}))
4 xpsneng 6723 . . 3 ((𝐵𝑊𝐴𝑉) → (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵)
54ancoms 266 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵)
6 entr 6685 . 2 ((({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}) ∧ (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)
73, 5, 6syl2anc 409 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1481  Vcvv 2689  {csn 3531   class class class wbr 3936   × cxp 4544  cen 6639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2913  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-er 6436  df-en 6642
This theorem is referenced by:  djucomen  7088  djuassen  7089  xpdjuen  7090
  Copyright terms: Public domain W3C validator