ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpsnen2g GIF version

Theorem xpsnen2g 6807
Description: A set is equinumerous to its Cartesian product with a singleton on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
xpsnen2g ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)

Proof of Theorem xpsnen2g
StepHypRef Expression
1 snexg 4170 . . 3 (𝐴𝑉 → {𝐴} ∈ V)
2 xpcomeng 6806 . . 3 (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}))
31, 2sylan 281 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}))
4 xpsneng 6800 . . 3 ((𝐵𝑊𝐴𝑉) → (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵)
54ancoms 266 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵)
6 entr 6762 . 2 ((({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}) ∧ (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)
73, 5, 6syl2anc 409 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 2141  Vcvv 2730  {csn 3583   class class class wbr 3989   × cxp 4609  cen 6716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-er 6513  df-en 6719
This theorem is referenced by:  djucomen  7193  djuassen  7194  xpdjuen  7195
  Copyright terms: Public domain W3C validator