Theorem xpsnen2g 6625

Description: A set is equinumerous to its Cartesian product with a singleton on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xpsnen2g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)

Proof of Theorem xpsnen2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snexg 4040	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)
2		xpcomeng 6624	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}))
3	1, 2	sylan 278	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}))
4		xpsneng 6618	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵)
5	4	ancoms 265	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵)
6		entr 6581	. 2 ⊢ ((({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}) ∧ (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)
7	3, 5, 6	syl2anc 404	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1445  Vcvv 2633  {csn 3466   class class class wbr 3867   × cxp 4465   ≈ cen 6535

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-sbc 2855  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-er 6332  df-en 6538

This theorem is referenced by: (None)