Theorem djucomen 7089

Description: Commutative law for cardinal addition. Exercise 4.56(c) of [Mendelson] p. 258. (Contributed by NM, 24-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djucomen	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ⊔ B ) ~~ ( B ⊔ A ) )

Proof of Theorem djucomen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6329	. . . 4 |- 1o e. _V
2		xpsnen2g 6731	. . . 4 |- ( ( 1o e. _V /\ A e. V ) -> ( { 1o } X. A ) ~~ A )
3	1, 2	mpan 421	. . 3 |- ( A e. V -> ( { 1o } X. A ) ~~ A )
4		0ex 4063	. . . 4 |- (/) e. _V
5		xpsnen2g 6731	. . . 4 |- ( ( (/) e. _V /\ B e. W ) -> ( { (/) } X. B ) ~~ B )
6	4, 5	mpan 421	. . 3 |- ( B e. W -> ( { (/) } X. B ) ~~ B )
7		ensym 6683	. . . 4 |- ( ( { 1o } X. A ) ~~ A -> A ~~ ( { 1o } X. A ) )
8		ensym 6683	. . . 4 |- ( ( { (/) } X. B ) ~~ B -> B ~~ ( { (/) } X. B ) )
9		incom 3273	. . . . . 6 |- ( ( { 1o } X. A ) i^i ( { (/) } X. B ) ) = ( ( { (/) } X. B ) i^i ( { 1o } X. A ) )
10		xp01disjl 6339	. . . . . 6 |- ( ( { (/) } X. B ) i^i ( { 1o } X. A ) ) = (/)
11	9, 10	eqtri 2161	. . . . 5 |- ( ( { 1o } X. A ) i^i ( { (/) } X. B ) ) = (/)
12		djuenun 7085	. . . . 5 |- ( ( A ~~ ( { 1o } X. A ) /\ B ~~ ( { (/) } X. B ) /\ ( ( { 1o } X. A ) i^i ( { (/) } X. B ) ) = (/) ) -> ( A ⊔ B ) ~~ ( ( { 1o } X. A ) u. ( { (/) } X. B ) ) )
13	11, 12	mp3an3 1305	. . . 4 |- ( ( A ~~ ( { 1o } X. A ) /\ B ~~ ( { (/) } X. B ) ) -> ( A ⊔ B ) ~~ ( ( { 1o } X. A ) u. ( { (/) } X. B ) ) )
14	7, 8, 13	syl2an 287	. . 3 |- ( ( ( { 1o } X. A ) ~~ A /\ ( { (/) } X. B ) ~~ B ) -> ( A ⊔ B ) ~~ ( ( { 1o } X. A ) u. ( { (/) } X. B ) ) )
15	3, 6, 14	syl2an 287	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ⊔ B ) ~~ ( ( { 1o } X. A ) u. ( { (/) } X. B ) ) )
16		df-dju 6931	. . 3 |- ( B ⊔ A ) = ( ( { (/) } X. B ) u. ( { 1o } X. A ) )
17	16	equncomi 3227	. 2 |- ( B ⊔ A ) = ( ( { 1o } X. A ) u. ( { (/) } X. B ) )
18	15, 17	breqtrrdi 3978	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ⊔ B ) ~~ ( B ⊔ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   u. cun 3074   i^i cin 3075   (/)c0 3368   {csn 3532   class class class wbr 3937   X. cxp 4545   1oc1o 6314   ~~ cen 6640   ⊔ cdju 6930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-1o 6321  df-er 6437  df-en 6643  df-dju 6931  df-inl 6940  df-inr 6941

This theorem is referenced by: (None)