Theorem xaddge0 10074

Description: The sum of nonnegative extended reals is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddge0	|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A +e B ) )

Proof of Theorem xaddge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8193	. . 3 |- 0 e. RR*
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 e. RR* )
3		simplr 528	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> B e. RR* )
4		xaddcl 10056	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A +e B ) e. RR* )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> ( A +e B ) e. RR* )
6		simprr 531	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ B )
7		xaddid2 10059	. . . 4 |- ( B e. RR* -> ( 0 +e B ) = B )
8	3, 7	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> ( 0 +e B ) = B )
9		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> A e. RR* )
10		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ A )
11		xleadd1a 10069	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. RR* /\ A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ 0 <_ A ) -> ( 0 +e B ) <_ ( A +e B ) )
12	2, 9, 3, 10, 11	syl31anc 1274	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> ( 0 +e B ) <_ ( A +e B ) )
13	8, 12	eqbrtrrd 4107	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> B <_ ( A +e B ) )
14	2, 3, 5, 6, 13	xrletrd 10008	1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A +e B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   0cc0 7999   RR*cxr 8180   <_ cle 8182   +ecxad 9966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-xadd 9969

This theorem is referenced by:  ge0xaddcl  10179