Theorem xaddge0 9814

Description: The sum of nonnegative extended reals is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddge0	|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A +e B ) )

Proof of Theorem xaddge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 7945	. . 3 |- 0 e. RR*
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 e. RR* )
3		simplr 520	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> B e. RR* )
4		xaddcl 9796	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A +e B ) e. RR* )
5	4	adantr 274	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> ( A +e B ) e. RR* )
6		simprr 522	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ B )
7		xaddid2 9799	. . . 4 |- ( B e. RR* -> ( 0 +e B ) = B )
8	3, 7	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> ( 0 +e B ) = B )
9		simpll 519	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> A e. RR* )
10		simprl 521	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ A )
11		xleadd1a 9809	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. RR* /\ A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ 0 <_ A ) -> ( 0 +e B ) <_ ( A +e B ) )
12	2, 9, 3, 10, 11	syl31anc 1231	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> ( 0 +e B ) <_ ( A +e B ) )
13	8, 12	eqbrtrrd 4006	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> B <_ ( A +e B ) )
14	2, 3, 5, 6, 13	xrletrd 9748	1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A +e B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   0cc0 7753   RR*cxr 7932   <_ cle 7934   +ecxad 9706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-i2m1 7858  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-xadd 9709

This theorem is referenced by:  ge0xaddcl  9919