Theorem xaddge0 10230

Description: The sum of nonnegative extended reals is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddge0	|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A +e B ) )

Proof of Theorem xaddge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8336	. . 3 |- 0 e. RR*
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 e. RR* )
3		simplr 529	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> B e. RR* )
4		xaddcl 10212	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A +e B ) e. RR* )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> ( A +e B ) e. RR* )
6		simprr 533	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ B )
7		xaddid2 10215	. . . 4 |- ( B e. RR* -> ( 0 +e B ) = B )
8	3, 7	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> ( 0 +e B ) = B )
9		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> A e. RR* )
10		simprl 531	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ A )
11		xleadd1a 10225	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. RR* /\ A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ 0 <_ A ) -> ( 0 +e B ) <_ ( A +e B ) )
12	2, 9, 3, 10, 11	syl31anc 1277	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> ( 0 +e B ) <_ ( A +e B ) )
13	8, 12	eqbrtrrd 4138	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> B <_ ( A +e B ) )
14	2, 3, 5, 6, 13	xrletrd 10164	1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A +e B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   0cc0 8143   RR*cxr 8323   <_ cle 8325   +ecxad 10122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-xadd 10125

This theorem is referenced by:  ge0xaddcl  10335