Theorem xaddge0 9896

Description: The sum of nonnegative extended reals is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddge0	|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A +e B ) )

Proof of Theorem xaddge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8022	. . 3 |- 0 e. RR*
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 e. RR* )
3		simplr 528	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> B e. RR* )
4		xaddcl 9878	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A +e B ) e. RR* )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> ( A +e B ) e. RR* )
6		simprr 531	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ B )
7		xaddid2 9881	. . . 4 |- ( B e. RR* -> ( 0 +e B ) = B )
8	3, 7	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> ( 0 +e B ) = B )
9		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> A e. RR* )
10		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ A )
11		xleadd1a 9891	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. RR* /\ A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ 0 <_ A ) -> ( 0 +e B ) <_ ( A +e B ) )
12	2, 9, 3, 10, 11	syl31anc 1252	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> ( 0 +e B ) <_ ( A +e B ) )
13	8, 12	eqbrtrrd 4042	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> B <_ ( A +e B ) )
14	2, 3, 5, 6, 13	xrletrd 9830	1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A +e B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891   0cc0 7829   RR*cxr 8009   <_ cle 8011   +ecxad 9788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-i2m1 7934  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-xadd 9791

This theorem is referenced by:  ge0xaddcl  10001