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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > xblss2ps | Unicode version |
Description: One ball is contained in
another if the center-to-center distance is
less than the difference of the radii. In this version of blss2 13540 for
extended metrics, we have to assume the balls are a finite distance
apart, or else ![]() ![]() |
Ref | Expression |
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xblss2ps.1 |
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xblss2ps.2 |
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xblss2ps.3 |
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xblss2ps.4 |
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xblss2ps.5 |
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xblss2ps.6 |
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xblss2ps.7 |
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Ref | Expression |
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xblss2ps |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | xblss2ps.1 |
. . . . . 6
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2 | xblss2ps.2 |
. . . . . 6
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3 | xblss2ps.4 |
. . . . . 6
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4 | elblps 13523 |
. . . . . 6
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5 | 1, 2, 3, 4 | syl3anc 1238 |
. . . . 5
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6 | 5 | simprbda 383 |
. . . 4
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7 | 1 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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8 | xblss2ps.3 |
. . . . . . . . 9
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9 | 8 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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10 | psmetcl 13459 |
. . . . . . . 8
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11 | 7, 9, 6, 10 | syl3anc 1238 |
. . . . . . 7
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12 | 11 | adantr 276 |
. . . . . 6
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13 | xblss2ps.6 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 13 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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15 | 14 | rexrd 7984 |
. . . . . . . 8
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16 | 3 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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17 | 15, 16 | xaddcld 9858 |
. . . . . . 7
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18 | 17 | adantr 276 |
. . . . . 6
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19 | xblss2ps.5 |
. . . . . . 7
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20 | 19 | ad2antrr 488 |
. . . . . 6
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21 | 2 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
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22 | psmetcl 13459 |
. . . . . . . . . 10
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23 | 7, 21, 6, 22 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . 9
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24 | 15, 23 | xaddcld 9858 |
. . . . . . . 8
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25 | psmettri2 13461 |
. . . . . . . . 9
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26 | 7, 21, 9, 6, 25 | syl13anc 1240 |
. . . . . . . 8
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27 | 5 | simplbda 384 |
. . . . . . . . 9
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28 | xltadd2 9851 |
. . . . . . . . . 10
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29 | 23, 16, 14, 28 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . 9
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30 | 27, 29 | mpbid 147 |
. . . . . . . 8
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31 | 11, 24, 17, 26, 30 | xrlelttrd 9784 |
. . . . . . 7
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32 | 31 | adantr 276 |
. . . . . 6
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33 | 19 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 16 | xnegcld 9829 |
. . . . . . . . . 10
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35 | 33, 34 | xaddcld 9858 |
. . . . . . . . 9
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36 | xblss2ps.7 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 36 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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38 | xleadd1a 9847 |
. . . . . . . . 9
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39 | 15, 35, 16, 37, 38 | syl31anc 1241 |
. . . . . . . 8
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40 | 39 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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41 | xnpcan 9846 |
. . . . . . . 8
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42 | 33, 41 | sylan 283 |
. . . . . . 7
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43 | 40, 42 | breqtrd 4026 |
. . . . . 6
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44 | 12, 18, 20, 32, 43 | xrltletrd 9785 |
. . . . 5
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45 | 11 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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46 | 13 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . 9
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47 | simpll 527 |
. . . . . . . . . 10
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48 | simplr 528 |
. . . . . . . . . . 11
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49 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . 12
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50 | 49 | oveq2d 5884 |
. . . . . . . . . . 11
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51 | 48, 50 | eleqtrd 2256 |
. . . . . . . . . 10
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52 | xblpnfps 13531 |
. . . . . . . . . . . 12
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53 | 1, 2, 52 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . 11
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54 | 53 | simplbda 384 |
. . . . . . . . . 10
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55 | 47, 51, 54 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
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56 | 46, 55 | readdcld 7964 |
. . . . . . . 8
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57 | 56 | rexrd 7984 |
. . . . . . 7
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58 | pnfxr 7987 |
. . . . . . . 8
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59 | 58 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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60 | 1 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . 9
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61 | 2 | ad2antrr 488 |
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64 | 60, 61, 62, 63, 25 | syl13anc 1240 |
. . . . . . . 8
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65 | 46, 55 | rexaddd 9828 |
. . . . . . . 8
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66 | 64, 65 | breqtrd 4026 |
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67 | ltpnf 9754 |
. . . . . . . 8
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68 | 56, 67 | syl 14 |
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69 | 45, 57, 59, 66, 68 | xrlelttrd 9784 |
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70 | 19 | ad2antrr 488 |
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71 | xrpnfdc 9816 |
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72 | 70, 71 | syl 14 |
. . . . . . 7
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73 | 0xr 7981 |
. . . . . . . . . . 11
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74 | 73 | a1i 9 |
. . . . . . . . . 10
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75 | psmetge0 13464 |
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76 | 7, 21, 9, 75 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . . 10
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77 | 74, 15, 35, 76, 37 | xrletrd 9786 |
. . . . . . . . 9
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78 | ge0nemnf 9798 |
. . . . . . . . 9
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79 | 35, 77, 78 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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80 | 79 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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81 | xaddmnf1 9822 |
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82 | 81 | ex 115 |
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83 | 70, 82 | syl 14 |
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84 | xnegeq 9801 |
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85 | 49, 84 | syl 14 |
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86 | xnegpnf 9802 |
. . . . . . . . . . . . 13
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87 | 85, 86 | eqtrdi 2226 |
. . . . . . . . . . . 12
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88 | 87 | oveq2d 5884 |
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89 | 88 | eqeq1d 2186 |
. . . . . . . . . 10
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90 | 83, 89 | sylibrd 169 |
. . . . . . . . 9
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91 | 90 | a1d 22 |
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92 | 91 | necon1ddc 2425 |
. . . . . . 7
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93 | 72, 80, 92 | mp2d 47 |
. . . . . 6
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94 | 69, 93 | breqtrrd 4028 |
. . . . 5
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95 | psmetge0 13464 |
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96 | 7, 21, 6, 95 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . . 10
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97 | 74, 23, 16, 96, 27 | xrlelttrd 9784 |
. . . . . . . . 9
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98 | 74, 16, 97 | xrltled 9773 |
. . . . . . . 8
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99 | ge0nemnf 9798 |
. . . . . . . 8
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100 | 16, 98, 99 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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101 | 16, 100 | jca 306 |
. . . . . 6
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102 | xrnemnf 9751 |
. . . . . 6
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103 | 101, 102 | sylib 122 |
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104 | 44, 94, 103 | mpjaodan 798 |
. . . 4
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105 | elblps 13523 |
. . . . 5
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106 | 7, 9, 33, 105 | syl3anc 1238 |
. . . 4
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107 | 6, 104, 106 | mpbir2and 944 |
. . 3
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108 | 107 | ex 115 |
. 2
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109 | 108 | ssrdv 3161 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4118 ax-pow 4171 ax-pr 4205 ax-un 4429 ax-setind 4532 ax-cnex 7880 ax-resscn 7881 ax-1cn 7882 ax-1re 7883 ax-icn 7884 ax-addcl 7885 ax-addrcl 7886 ax-mulcl 7887 ax-mulrcl 7888 ax-addcom 7889 ax-mulcom 7890 ax-addass 7891 ax-mulass 7892 ax-distr 7893 ax-i2m1 7894 ax-0lt1 7895 ax-1rid 7896 ax-0id 7897 ax-rnegex 7898 ax-precex 7899 ax-cnre 7900 ax-pre-ltirr 7901 ax-pre-ltwlin 7902 ax-pre-lttrn 7903 ax-pre-apti 7904 ax-pre-ltadd 7905 ax-pre-mulgt0 7906 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-id 4289 df-po 4292 df-iso 4293 df-xp 4628 df-rel 4629 df-cnv 4630 df-co 4631 df-dm 4632 df-rn 4633 df-res 4634 df-ima 4635 df-iota 5173 df-fun 5213 df-fn 5214 df-f 5215 df-fv 5219 df-riota 5824 df-ov 5871 df-oprab 5872 df-mpo 5873 df-1st 6134 df-2nd 6135 df-map 6643 df-pnf 7971 df-mnf 7972 df-xr 7973 df-ltxr 7974 df-le 7975 df-sub 8107 df-neg 8108 df-2 8954 df-xneg 9746 df-xadd 9747 df-psmet 13120 df-bl 13123 |
This theorem is referenced by: blss2ps 13539 ssblps 13558 |
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