Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xblss2ps Unicode version

Theorem xblss2ps 12648
 Description: One ball is contained in another if the center-to-center distance is less than the difference of the radii. In this version of blss2 12651 for extended metrics, we have to assume the balls are a finite distance apart, or else will not even be in the infinity ball around . (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
xblss2ps.1 PsMet
xblss2ps.2
xblss2ps.3
xblss2ps.4
xblss2ps.5
xblss2ps.6
xblss2ps.7
Assertion
Ref Expression
xblss2ps

Proof of Theorem xblss2ps
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xblss2ps.1 . . . . . 6 PsMet
2 xblss2ps.2 . . . . . 6
3 xblss2ps.4 . . . . . 6
4 elblps 12634 . . . . . 6 PsMet
51, 2, 3, 4syl3anc 1217 . . . . 5
65simprbda 381 . . . 4
71adantr 274 . . . . . . . 8 PsMet
8 xblss2ps.3 . . . . . . . . 9
98adantr 274 . . . . . . . 8
10 psmetcl 12570 . . . . . . . 8 PsMet
117, 9, 6, 10syl3anc 1217 . . . . . . 7
1211adantr 274 . . . . . 6
13 xblss2ps.6 . . . . . . . . . 10
1413adantr 274 . . . . . . . . 9
1514rexrd 7868 . . . . . . . 8
163adantr 274 . . . . . . . 8
1715, 16xaddcld 9726 . . . . . . 7
1817adantr 274 . . . . . 6
19 xblss2ps.5 . . . . . . 7
2019ad2antrr 480 . . . . . 6
212adantr 274 . . . . . . . . . 10
22 psmetcl 12570 . . . . . . . . . 10 PsMet
237, 21, 6, 22syl3anc 1217 . . . . . . . . 9
2415, 23xaddcld 9726 . . . . . . . 8
25 psmettri2 12572 . . . . . . . . 9 PsMet
267, 21, 9, 6, 25syl13anc 1219 . . . . . . . 8
275simplbda 382 . . . . . . . . 9
28 xltadd2 9719 . . . . . . . . . 10
2923, 16, 14, 28syl3anc 1217 . . . . . . . . 9
3027, 29mpbid 146 . . . . . . . 8
3111, 24, 17, 26, 30xrlelttrd 9652 . . . . . . 7
3231adantr 274 . . . . . 6
3319adantr 274 . . . . . . . . . 10
3416xnegcld 9697 . . . . . . . . . 10
3533, 34xaddcld 9726 . . . . . . . . 9
36 xblss2ps.7 . . . . . . . . . 10
3736adantr 274 . . . . . . . . 9
38 xleadd1a 9715 . . . . . . . . 9
3915, 35, 16, 37, 38syl31anc 1220 . . . . . . . 8
4039adantr 274 . . . . . . 7
41 xnpcan 9714 . . . . . . . 8
4233, 41sylan 281 . . . . . . 7
4340, 42breqtrd 3964 . . . . . 6
4412, 18, 20, 32, 43xrltletrd 9653 . . . . 5
4511adantr 274 . . . . . . 7
4613ad2antrr 480 . . . . . . . . 9
47 simpll 519 . . . . . . . . . 10
48 simplr 520 . . . . . . . . . . 11
49 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12
5049oveq2d 5802 . . . . . . . . . . 11
5148, 50eleqtrd 2220 . . . . . . . . . 10
52 xblpnfps 12642 . . . . . . . . . . . 12 PsMet
531, 2, 52syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11
5453simplbda 382 . . . . . . . . . 10
5547, 51, 54syl2anc 409 . . . . . . . . 9
5646, 55readdcld 7848 . . . . . . . 8
5756rexrd 7868 . . . . . . 7
58 pnfxr 7871 . . . . . . . 8
5958a1i 9 . . . . . . 7
601ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 PsMet
612ad2antrr 480 . . . . . . . . 9
628ad2antrr 480 . . . . . . . . 9
636adantr 274 . . . . . . . . 9
6460, 61, 62, 63, 25syl13anc 1219 . . . . . . . 8
6546, 55rexaddd 9696 . . . . . . . 8
6664, 65breqtrd 3964 . . . . . . 7
67 ltpnf 9626 . . . . . . . 8
6856, 67syl 14 . . . . . . 7
6945, 57, 59, 66, 68xrlelttrd 9652 . . . . . 6
7019ad2antrr 480 . . . . . . . 8
71 xrpnfdc 9684 . . . . . . . 8 DECID
7270, 71syl 14 . . . . . . 7 DECID
73 0xr 7865 . . . . . . . . . . 11
7473a1i 9 . . . . . . . . . 10
75 psmetge0 12575 . . . . . . . . . . 11 PsMet
767, 21, 9, 75syl3anc 1217 . . . . . . . . . 10
7774, 15, 35, 76, 37xrletrd 9654 . . . . . . . . 9
78 ge0nemnf 9666 . . . . . . . . 9
7935, 77, 78syl2anc 409 . . . . . . . 8
8079adantr 274 . . . . . . 7
81 xaddmnf1 9690 . . . . . . . . . . . 12
8281ex 114 . . . . . . . . . . 11
8370, 82syl 14 . . . . . . . . . 10
84 xnegeq 9669 . . . . . . . . . . . . . 14
8549, 84syl 14 . . . . . . . . . . . . 13
86 xnegpnf 9670 . . . . . . . . . . . . 13
8785, 86eqtrdi 2190 . . . . . . . . . . . 12
8887oveq2d 5802 . . . . . . . . . . 11
8988eqeq1d 2150 . . . . . . . . . 10
9083, 89sylibrd 168 . . . . . . . . 9
9190a1d 22 . . . . . . . 8 DECID
9291necon1ddc 2388 . . . . . . 7 DECID
9372, 80, 92mp2d 47 . . . . . 6
9469, 93breqtrrd 3966 . . . . 5
95 psmetge0 12575 . . . . . . . . . . 11 PsMet
967, 21, 6, 95syl3anc 1217 . . . . . . . . . 10
9774, 23, 16, 96, 27xrlelttrd 9652 . . . . . . . . 9
9874, 16, 97xrltled 9644 . . . . . . . 8
99 ge0nemnf 9666 . . . . . . . 8
10016, 98, 99syl2anc 409 . . . . . . 7
10116, 100jca 304 . . . . . 6
102 xrnemnf 9623 . . . . . 6
103101, 102sylib 121 . . . . 5
10444, 94, 103mpjaodan 788 . . . 4
105 elblps 12634 . . . . 5 PsMet
1067, 9, 33, 105syl3anc 1217 . . . 4
1076, 104, 106mpbir2and 929 . . 3
108107ex 114 . 2
109108ssrdv 3110 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wo 698  DECID wdc 820   wceq 1332   wcel 2112   wne 2310   wss 3078   class class class wbr 3939  cfv 5135  (class class class)co 5786  cr 7672  cc0 7673   caddc 7676   cpnf 7850   cmnf 7851  cxr 7852   clt 7853   cle 7854   cxne 9615  cxad 9616  PsMetcpsmet 12223  cbl 12226 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2114  ax-14 2115  ax-ext 2123  ax-sep 4056  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765  ax-1cn 7766  ax-1re 7767  ax-icn 7768  ax-addcl 7769  ax-addrcl 7770  ax-mulcl 7771  ax-mulrcl 7772  ax-addcom 7773  ax-mulcom 7774  ax-addass 7775  ax-mulass 7776  ax-distr 7777  ax-i2m1 7778  ax-0lt1 7779  ax-1rid 7780  ax-0id 7781  ax-rnegex 7782  ax-precex 7783  ax-cnre 7784  ax-pre-ltirr 7785  ax-pre-ltwlin 7786  ax-pre-lttrn 7787  ax-pre-apti 7788  ax-pre-ltadd 7789  ax-pre-mulgt0 7790 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1732  df-eu 1993  df-mo 1994  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-nel 2406  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-csb 3010  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-if 3482  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-iun 3825  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-id 4226  df-po 4229  df-iso 4230  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-fv 5143  df-riota 5742  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-1st 6050  df-2nd 6051  df-map 6556  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-ltxr 7858  df-le 7859  df-sub 7988  df-neg 7989  df-2 8832  df-xneg 9618  df-xadd 9619  df-psmet 12231  df-bl 12234 This theorem is referenced by:  blss2ps  12650  ssblps  12669
 Copyright terms: Public domain W3C validator