Theorem xblss2ps 12573

Description: One ball is contained in another if the center-to-center distance is less than the difference of the radii. In this version of blss2 12576 for extended metrics, we have to assume the balls are a finite distance apart, or else P will not even be in the infinity ball around Q. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
xblss2ps.1	|- ( ph -> D e. (PsMet ` X ) )
xblss2ps.2	|- ( ph -> P e. X )
xblss2ps.3	|- ( ph -> Q e. X )
xblss2ps.4	|- ( ph -> R e. RR* )
xblss2ps.5	|- ( ph -> S e. RR* )
xblss2ps.6	|- ( ph -> ( P D Q ) e. RR )
xblss2ps.7	|- ( ph -> ( P D Q ) <_ ( S +e -e R ) )

Assertion

Ref	Expression
xblss2ps	|- ( ph -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ ( Q ( ball ` D ) S ) )

Proof of Theorem xblss2ps

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xblss2ps.1	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. (PsMet ` X ) )
2		xblss2ps.2	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. X )
3		xblss2ps.4	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. RR* )
4		elblps 12559	. . . . . 6 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1216	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
6	5	simprbda 380	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> x e. X )
7	1	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> D e. (PsMet ` X ) )
8		xblss2ps.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. X )
9	8	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> Q e. X )
10		psmetcl 12495	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ Q e. X /\ x e. X ) -> ( Q D x ) e. RR* )
11	7, 9, 6, 10	syl3anc 1216	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( Q D x ) e. RR* )
12	11	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( Q D x ) e. RR* )
13		xblss2ps.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P D Q ) e. RR )
14	13	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D Q ) e. RR )
15	14	rexrd 7815	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D Q ) e. RR* )
16	3	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> R e. RR* )
17	15, 16	xaddcld 9667	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) +e R ) e. RR* )
18	17	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( ( P D Q ) +e R ) e. RR* )
19		xblss2ps.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. RR* )
20	19	ad2antrr 479	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> S e. RR* )
21	2	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> P e. X )
22		psmetcl 12495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ x e. X ) -> ( P D x ) e. RR* )
23	7, 21, 6, 22	syl3anc 1216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D x ) e. RR* )
24	15, 23	xaddcld 9667	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) e. RR* )
25		psmettri2 12497	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( P e. X /\ Q e. X /\ x e. X ) ) -> ( Q D x ) <_ ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) )
26	7, 21, 9, 6, 25	syl13anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( Q D x ) <_ ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) )
27	5	simplbda 381	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D x ) < R )
28		xltadd2 9660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P D x ) e. RR* /\ R e. RR* /\ ( P D Q ) e. RR ) -> ( ( P D x ) < R <-> ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) < ( ( P D Q ) +e R ) ) )
29	23, 16, 14, 28	syl3anc 1216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D x ) < R <-> ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) < ( ( P D Q ) +e R ) ) )
30	27, 29	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) < ( ( P D Q ) +e R ) )
31	11, 24, 17, 26, 30	xrlelttrd 9593	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( Q D x ) < ( ( P D Q ) +e R ) )
32	31	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( Q D x ) < ( ( P D Q ) +e R ) )
33	19	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> S e. RR* )
34	16	xnegcld 9638	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> -e R e. RR* )
35	33, 34	xaddcld 9667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( S +e -e R ) e. RR* )
36		xblss2ps.7	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P D Q ) <_ ( S +e -e R ) )
37	36	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D Q ) <_ ( S +e -e R ) )
38		xleadd1a 9656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P D Q ) e. RR* /\ ( S +e -e R ) e. RR* /\ R e. RR* ) /\ ( P D Q ) <_ ( S +e -e R ) ) -> ( ( P D Q ) +e R ) <_ ( ( S +e -e R ) +e R ) )
39	15, 35, 16, 37, 38	syl31anc 1219	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) +e R ) <_ ( ( S +e -e R ) +e R ) )
40	39	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( ( P D Q ) +e R ) <_ ( ( S +e -e R ) +e R ) )
41		xnpcan 9655	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. RR* /\ R e. RR ) -> ( ( S +e -e R ) +e R ) = S )
42	33, 41	sylan 281	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( ( S +e -e R ) +e R ) = S )
43	40, 42	breqtrd 3954	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( ( P D Q ) +e R ) <_ S )
44	12, 18, 20, 32, 43	xrltletrd 9594	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( Q D x ) < S )
45	11	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( Q D x ) e. RR* )
46	13	ad2antrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( P D Q ) e. RR )
47		simpll 518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ph )
48		simplr 519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> x e. ( P ( ball ` D ) R ) )
49		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> R = +oo )
50	49	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( P ( ball ` D ) R ) = ( P ( ball ` D ) +oo ) )
51	48, 50	eleqtrd 2218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> x e. ( P ( ball ` D ) +oo ) )
52		xblpnfps 12567	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X ) -> ( x e. ( P ( ball ` D ) +oo ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) ) )
53	1, 2, 52	syl2anc 408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( P ( ball ` D ) +oo ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) ) )
54	53	simplbda 381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) +oo ) ) -> ( P D x ) e. RR )
55	47, 51, 54	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( P D x ) e. RR )
56	46, 55	readdcld 7795	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( ( P D Q ) + ( P D x ) ) e. RR )
57	56	rexrd 7815	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( ( P D Q ) + ( P D x ) ) e. RR* )
58		pnfxr 7818	. . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
59	58	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> +oo e. RR* )
60	1	ad2antrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> D e. (PsMet ` X ) )
61	2	ad2antrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> P e. X )
62	8	ad2antrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> Q e. X )
63	6	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> x e. X )
64	60, 61, 62, 63, 25	syl13anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( Q D x ) <_ ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) )
65	46, 55	rexaddd 9637	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) = ( ( P D Q ) + ( P D x ) ) )
66	64, 65	breqtrd 3954	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( Q D x ) <_ ( ( P D Q ) + ( P D x ) ) )
67		ltpnf 9567	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P D Q ) + ( P D x ) ) e. RR -> ( ( P D Q ) + ( P D x ) ) < +oo )
68	56, 67	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( ( P D Q ) + ( P D x ) ) < +oo )
69	45, 57, 59, 66, 68	xrlelttrd 9593	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( Q D x ) < +oo )
70	19	ad2antrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> S e. RR* )
71		xrpnfdc 9625	. . . . . . . 8 |- ( S e. RR* -> DECID S = +oo )
72	70, 71	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> DECID S = +oo )
73		0xr 7812	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
74	73	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 e. RR* )
75		psmetge0 12500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) -> 0 <_ ( P D Q ) )
76	7, 21, 9, 75	syl3anc 1216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 <_ ( P D Q ) )
77	74, 15, 35, 76, 37	xrletrd 9595	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 <_ ( S +e -e R ) )
78		ge0nemnf 9607	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S +e -e R ) e. RR* /\ 0 <_ ( S +e -e R ) ) -> ( S +e -e R ) =/= -oo )
79	35, 77, 78	syl2anc 408	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( S +e -e R ) =/= -oo )
80	79	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S +e -e R ) =/= -oo )
81		xaddmnf1 9631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. RR* /\ S =/= +oo ) -> ( S +e -oo ) = -oo )
82	81	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. RR* -> ( S =/= +oo -> ( S +e -oo ) = -oo ) )
83	70, 82	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S =/= +oo -> ( S +e -oo ) = -oo ) )
84		xnegeq 9610	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R = +oo -> -e R = -e +oo )
85	49, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> -e R = -e +oo )
86		xnegpnf 9611	. . . . . . . . . . . . 13 |- -e +oo = -oo
87	85, 86	syl6eq 2188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> -e R = -oo )
88	87	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S +e -e R ) = ( S +e -oo ) )
89	88	eqeq1d 2148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( ( S +e -e R ) = -oo <-> ( S +e -oo ) = -oo ) )
90	83, 89	sylibrd 168	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S =/= +oo -> ( S +e -e R ) = -oo ) )
91	90	a1d 22	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> (DECID S = +oo -> ( S =/= +oo -> ( S +e -e R ) = -oo ) ) )
92	91	necon1ddc 2386	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> (DECID S = +oo -> ( ( S +e -e R ) =/= -oo -> S = +oo ) ) )
93	72, 80, 92	mp2d 47	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> S = +oo )
94	69, 93	breqtrrd 3956	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( Q D x ) < S )
95		psmetge0 12500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ x e. X ) -> 0 <_ ( P D x ) )
96	7, 21, 6, 95	syl3anc 1216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 <_ ( P D x ) )
97	74, 23, 16, 96, 27	xrlelttrd 9593	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 < R )
98	74, 16, 97	xrltled 9585	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 <_ R )
99		ge0nemnf 9607	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR* /\ 0 <_ R ) -> R =/= -oo )
100	16, 98, 99	syl2anc 408	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> R =/= -oo )
101	16, 100	jca 304	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( R e. RR* /\ R =/= -oo ) )
102		xrnemnf 9564	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR* /\ R =/= -oo ) <-> ( R e. RR \/ R = +oo ) )
103	101, 102	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( R e. RR \/ R = +oo ) )
104	44, 94, 103	mpjaodan 787	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( Q D x ) < S )
105		elblps 12559	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ Q e. X /\ S e. RR* ) -> ( x e. ( Q ( ball ` D ) S ) <-> ( x e. X /\ ( Q D x ) < S ) ) )
106	7, 9, 33, 105	syl3anc 1216	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( x e. ( Q ( ball ` D ) S ) <-> ( x e. X /\ ( Q D x ) < S ) ) )
107	6, 104, 106	mpbir2and 928	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> x e. ( Q ( ball ` D ) S ) )
108	107	ex 114	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) -> x e. ( Q ( ball ` D ) S ) ) )
109	108	ssrdv 3103	1 |- ( ph -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ ( Q ( ball ` D ) S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   C_ wss 3071   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RRcr 7619   0cc0 7620   + caddc 7623   +oocpnf 7797   -oocmnf 7798   RR*cxr 7799   < clt 7800   <_ cle 7801   -ecxne 9556   +ecxad 9557  PsMetcpsmet 12148   ballcbl 12151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-2 8779  df-xneg 9559  df-xadd 9560  df-psmet 12156  df-bl 12159

This theorem is referenced by:  blss2ps  12575  ssblps  12594