Theorem xblss2ps 15428

Description: One ball is contained in another if the center-to-center distance is less than the difference of the radii. In this version of blss2 15431 for extended metrics, we have to assume the balls are a finite distance apart, or else P will not even be in the infinity ball around Q. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
xblss2ps.1	|- ( ph -> D e. (PsMet ` X ) )
xblss2ps.2	|- ( ph -> P e. X )
xblss2ps.3	|- ( ph -> Q e. X )
xblss2ps.4	|- ( ph -> R e. RR* )
xblss2ps.5	|- ( ph -> S e. RR* )
xblss2ps.6	|- ( ph -> ( P D Q ) e. RR )
xblss2ps.7	|- ( ph -> ( P D Q ) <_ ( S +e -e R ) )

Assertion

Ref	Expression
xblss2ps	|- ( ph -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ ( Q ( ball ` D ) S ) )

Proof of Theorem xblss2ps

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xblss2ps.1	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. (PsMet ` X ) )
2		xblss2ps.2	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. X )
3		xblss2ps.4	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. RR* )
4		elblps 15414	. . . . . 6 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
6	5	simprbda 383	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> x e. X )
7	1	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> D e. (PsMet ` X ) )
8		xblss2ps.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. X )
9	8	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> Q e. X )
10		psmetcl 15350	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ Q e. X /\ x e. X ) -> ( Q D x ) e. RR* )
11	7, 9, 6, 10	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( Q D x ) e. RR* )
12	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( Q D x ) e. RR* )
13		xblss2ps.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P D Q ) e. RR )
14	13	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D Q ) e. RR )
15	14	rexrd 8365	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D Q ) e. RR* )
16	3	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> R e. RR* )
17	15, 16	xaddcld 10265	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) +e R ) e. RR* )
18	17	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( ( P D Q ) +e R ) e. RR* )
19		xblss2ps.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. RR* )
20	19	ad2antrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> S e. RR* )
21	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> P e. X )
22		psmetcl 15350	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ x e. X ) -> ( P D x ) e. RR* )
23	7, 21, 6, 22	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D x ) e. RR* )
24	15, 23	xaddcld 10265	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) e. RR* )
25		psmettri2 15352	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( P e. X /\ Q e. X /\ x e. X ) ) -> ( Q D x ) <_ ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) )
26	7, 21, 9, 6, 25	syl13anc 1280	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( Q D x ) <_ ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) )
27	5	simplbda 384	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D x ) < R )
28		xltadd2 10258	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P D x ) e. RR* /\ R e. RR* /\ ( P D Q ) e. RR ) -> ( ( P D x ) < R <-> ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) < ( ( P D Q ) +e R ) ) )
29	23, 16, 14, 28	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D x ) < R <-> ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) < ( ( P D Q ) +e R ) ) )
30	27, 29	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) < ( ( P D Q ) +e R ) )
31	11, 24, 17, 26, 30	xrlelttrd 10191	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( Q D x ) < ( ( P D Q ) +e R ) )
32	31	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( Q D x ) < ( ( P D Q ) +e R ) )
33	19	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> S e. RR* )
34	16	xnegcld 10236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> -e R e. RR* )
35	33, 34	xaddcld 10265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( S +e -e R ) e. RR* )
36		xblss2ps.7	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P D Q ) <_ ( S +e -e R ) )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D Q ) <_ ( S +e -e R ) )
38		xleadd1a 10254	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P D Q ) e. RR* /\ ( S +e -e R ) e. RR* /\ R e. RR* ) /\ ( P D Q ) <_ ( S +e -e R ) ) -> ( ( P D Q ) +e R ) <_ ( ( S +e -e R ) +e R ) )
39	15, 35, 16, 37, 38	syl31anc 1281	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) +e R ) <_ ( ( S +e -e R ) +e R ) )
40	39	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( ( P D Q ) +e R ) <_ ( ( S +e -e R ) +e R ) )
41		xnpcan 10253	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. RR* /\ R e. RR ) -> ( ( S +e -e R ) +e R ) = S )
42	33, 41	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( ( S +e -e R ) +e R ) = S )
43	40, 42	breqtrd 4151	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( ( P D Q ) +e R ) <_ S )
44	12, 18, 20, 32, 43	xrltletrd 10192	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( Q D x ) < S )
45	11	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( Q D x ) e. RR* )
46	13	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( P D Q ) e. RR )
47		simpll 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ph )
48		simplr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> x e. ( P ( ball ` D ) R ) )
49		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> R = +oo )
50	49	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( P ( ball ` D ) R ) = ( P ( ball ` D ) +oo ) )
51	48, 50	eleqtrd 2317	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> x e. ( P ( ball ` D ) +oo ) )
52		xblpnfps 15422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X ) -> ( x e. ( P ( ball ` D ) +oo ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) ) )
53	1, 2, 52	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( P ( ball ` D ) +oo ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) ) )
54	53	simplbda 384	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) +oo ) ) -> ( P D x ) e. RR )
55	47, 51, 54	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( P D x ) e. RR )
56	46, 55	readdcld 8345	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( ( P D Q ) + ( P D x ) ) e. RR )
57	56	rexrd 8365	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( ( P D Q ) + ( P D x ) ) e. RR* )
58		pnfxr 8368	. . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
59	58	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> +oo e. RR* )
60	1	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> D e. (PsMet ` X ) )
61	2	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> P e. X )
62	8	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> Q e. X )
63	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> x e. X )
64	60, 61, 62, 63, 25	syl13anc 1280	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( Q D x ) <_ ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) )
65	46, 55	rexaddd 10235	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) = ( ( P D Q ) + ( P D x ) ) )
66	64, 65	breqtrd 4151	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( Q D x ) <_ ( ( P D Q ) + ( P D x ) ) )
67		ltpnf 10161	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P D Q ) + ( P D x ) ) e. RR -> ( ( P D Q ) + ( P D x ) ) < +oo )
68	56, 67	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( ( P D Q ) + ( P D x ) ) < +oo )
69	45, 57, 59, 66, 68	xrlelttrd 10191	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( Q D x ) < +oo )
70	19	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> S e. RR* )
71		xrpnfdc 10223	. . . . . . . 8 |- ( S e. RR* -> DECID S = +oo )
72	70, 71	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> DECID S = +oo )
73		0xr 8362	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
74	73	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 e. RR* )
75		psmetge0 15355	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) -> 0 <_ ( P D Q ) )
76	7, 21, 9, 75	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 <_ ( P D Q ) )
77	74, 15, 35, 76, 37	xrletrd 10193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 <_ ( S +e -e R ) )
78		ge0nemnf 10205	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S +e -e R ) e. RR* /\ 0 <_ ( S +e -e R ) ) -> ( S +e -e R ) =/= -oo )
79	35, 77, 78	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( S +e -e R ) =/= -oo )
80	79	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S +e -e R ) =/= -oo )
81		xaddmnf1 10229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. RR* /\ S =/= +oo ) -> ( S +e -oo ) = -oo )
82	81	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. RR* -> ( S =/= +oo -> ( S +e -oo ) = -oo ) )
83	70, 82	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S =/= +oo -> ( S +e -oo ) = -oo ) )
84		xnegeq 10208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R = +oo -> -e R = -e +oo )
85	49, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> -e R = -e +oo )
86		xnegpnf 10209	. . . . . . . . . . . . 13 |- -e +oo = -oo
87	85, 86	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> -e R = -oo )
88	87	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S +e -e R ) = ( S +e -oo ) )
89	88	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( ( S +e -e R ) = -oo <-> ( S +e -oo ) = -oo ) )
90	83, 89	sylibrd 169	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S =/= +oo -> ( S +e -e R ) = -oo ) )
91	90	a1d 22	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> (DECID S = +oo -> ( S =/= +oo -> ( S +e -e R ) = -oo ) ) )
92	91	necon1ddc 2498	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> (DECID S = +oo -> ( ( S +e -e R ) =/= -oo -> S = +oo ) ) )
93	72, 80, 92	mp2d 47	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> S = +oo )
94	69, 93	breqtrrd 4153	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( Q D x ) < S )
95		psmetge0 15355	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ x e. X ) -> 0 <_ ( P D x ) )
96	7, 21, 6, 95	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 <_ ( P D x ) )
97	74, 23, 16, 96, 27	xrlelttrd 10191	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 < R )
98	74, 16, 97	xrltled 10180	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 <_ R )
99		ge0nemnf 10205	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR* /\ 0 <_ R ) -> R =/= -oo )
100	16, 98, 99	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> R =/= -oo )
101	16, 100	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( R e. RR* /\ R =/= -oo ) )
102		xrnemnf 10158	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR* /\ R =/= -oo ) <-> ( R e. RR \/ R = +oo ) )
103	101, 102	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( R e. RR \/ R = +oo ) )
104	44, 94, 103	mpjaodan 810	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( Q D x ) < S )
105		elblps 15414	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ Q e. X /\ S e. RR* ) -> ( x e. ( Q ( ball ` D ) S ) <-> ( x e. X /\ ( Q D x ) < S ) ) )
106	7, 9, 33, 105	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( x e. ( Q ( ball ` D ) S ) <-> ( x e. X /\ ( Q D x ) < S ) ) )
107	6, 104, 106	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> x e. ( Q ( ball ` D ) S ) )
108	107	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) -> x e. ( Q ( ball ` D ) S ) ) )
109	108	ssrdv 3254	1 |- ( ph -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ ( Q ( ball ` D ) S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   C_ wss 3220   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   RRcr 8168   0cc0 8169   + caddc 8172   +oocpnf 8347   -oocmnf 8348   RR*cxr 8349   < clt 8350   <_ cle 8351   -ecxne 10150   +ecxad 10151  PsMetcpsmet 14844   ballcbl 14847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-map 6914  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-2 9342  df-xneg 10153  df-xadd 10154  df-psmet 14852  df-bl 14855

This theorem is referenced by:  blss2ps  15430  ssblps  15449