Theorem xblss2 12333

Description: One ball is contained in another if the center-to-center distance is less than the difference of the radii. In this version of blss2 12335 for extended metrics, we have to assume the balls are a finite distance apart, or else P will not even be in the infinity ball around Q. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xblss2.1	|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
xblss2.2	|- ( ph -> P e. X )
xblss2.3	|- ( ph -> Q e. X )
xblss2.4	|- ( ph -> R e. RR* )
xblss2.5	|- ( ph -> S e. RR* )
xblss2.6	|- ( ph -> ( P D Q ) e. RR )
xblss2.7	|- ( ph -> ( P D Q ) <_ ( S +e -e R ) )

Assertion

Ref	Expression
xblss2	|- ( ph -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ ( Q ( ball ` D ) S ) )

Proof of Theorem xblss2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xblss2.1	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
2		xblss2.2	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. X )
3		xblss2.4	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. RR* )
4		elbl 12319	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1184	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
6	5	simprbda 378	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> x e. X )
7	1	adantr 272	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
8		xblss2.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. X )
9	8	adantr 272	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> Q e. X )
10		xmetcl 12280	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ Q e. X /\ x e. X ) -> ( Q D x ) e. RR* )
11	7, 9, 6, 10	syl3anc 1184	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( Q D x ) e. RR* )
12	11	adantr 272	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( Q D x ) e. RR* )
13		xblss2.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P D Q ) e. RR )
14	13	adantr 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D Q ) e. RR )
15	14	rexrd 7687	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D Q ) e. RR* )
16	3	adantr 272	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> R e. RR* )
17	15, 16	xaddcld 9508	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) +e R ) e. RR* )
18	17	adantr 272	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( ( P D Q ) +e R ) e. RR* )
19		xblss2.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. RR* )
20	19	ad2antrr 475	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> S e. RR* )
21	2	adantr 272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> P e. X )
22		xmetcl 12280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ x e. X ) -> ( P D x ) e. RR* )
23	7, 21, 6, 22	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D x ) e. RR* )
24	15, 23	xaddcld 9508	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) e. RR* )
25		xmettri2 12289	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( P e. X /\ Q e. X /\ x e. X ) ) -> ( Q D x ) <_ ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) )
26	7, 21, 9, 6, 25	syl13anc 1186	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( Q D x ) <_ ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) )
27	5	simplbda 379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D x ) < R )
28		xltadd2 9501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P D x ) e. RR* /\ R e. RR* /\ ( P D Q ) e. RR ) -> ( ( P D x ) < R <-> ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) < ( ( P D Q ) +e R ) ) )
29	23, 16, 14, 28	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D x ) < R <-> ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) < ( ( P D Q ) +e R ) ) )
30	27, 29	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) < ( ( P D Q ) +e R ) )
31	11, 24, 17, 26, 30	xrlelttrd 9434	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( Q D x ) < ( ( P D Q ) +e R ) )
32	31	adantr 272	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( Q D x ) < ( ( P D Q ) +e R ) )
33	19	adantr 272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> S e. RR* )
34	16	xnegcld 9479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> -e R e. RR* )
35	33, 34	xaddcld 9508	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( S +e -e R ) e. RR* )
36		xblss2.7	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P D Q ) <_ ( S +e -e R ) )
37	36	adantr 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D Q ) <_ ( S +e -e R ) )
38		xleadd1a 9497	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P D Q ) e. RR* /\ ( S +e -e R ) e. RR* /\ R e. RR* ) /\ ( P D Q ) <_ ( S +e -e R ) ) -> ( ( P D Q ) +e R ) <_ ( ( S +e -e R ) +e R ) )
39	15, 35, 16, 37, 38	syl31anc 1187	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) +e R ) <_ ( ( S +e -e R ) +e R ) )
40	39	adantr 272	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( ( P D Q ) +e R ) <_ ( ( S +e -e R ) +e R ) )
41		xnpcan 9496	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. RR* /\ R e. RR ) -> ( ( S +e -e R ) +e R ) = S )
42	33, 41	sylan 279	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( ( S +e -e R ) +e R ) = S )
43	40, 42	breqtrd 3899	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( ( P D Q ) +e R ) <_ S )
44	12, 18, 20, 32, 43	xrltletrd 9435	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( Q D x ) < S )
45	27	adantr 272	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( P D x ) < R )
46	36	ad2antrr 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( P D Q ) <_ ( S +e -e R ) )
47	19	ad2antrr 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> S e. RR* )
48		xrpnfdc 9466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. RR* -> DECID S = +oo )
49	47, 48	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> DECID S = +oo )
50		0xr 7684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR*
51	50	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 e. RR* )
52		xmetge0 12293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) -> 0 <_ ( P D Q ) )
53	7, 21, 9, 52	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 <_ ( P D Q ) )
54	51, 15, 35, 53, 37	xrletrd 9436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 <_ ( S +e -e R ) )
55		ge0nemnf 9448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S +e -e R ) e. RR* /\ 0 <_ ( S +e -e R ) ) -> ( S +e -e R ) =/= -oo )
56	35, 54, 55	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( S +e -e R ) =/= -oo )
57	56	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S +e -e R ) =/= -oo )
58		xaddmnf1 9472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S e. RR* /\ S =/= +oo ) -> ( S +e -oo ) = -oo )
59	58	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S e. RR* -> ( S =/= +oo -> ( S +e -oo ) = -oo ) )
60	47, 59	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S =/= +oo -> ( S +e -oo ) = -oo ) )
61		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> R = +oo )
62		xnegeq 9451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R = +oo -> -e R = -e +oo )
63	61, 62	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> -e R = -e +oo )
64		xnegpnf 9452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -e +oo = -oo
65	63, 64	syl6eq 2148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> -e R = -oo )
66	65	oveq2d 5722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S +e -e R ) = ( S +e -oo ) )
67	66	eqeq1d 2108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( ( S +e -e R ) = -oo <-> ( S +e -oo ) = -oo ) )
68	60, 67	sylibrd 168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S =/= +oo -> ( S +e -e R ) = -oo ) )
69	68	a1d 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> (DECID S = +oo -> ( S =/= +oo -> ( S +e -e R ) = -oo ) ) )
70	69	necon1ddc 2345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> (DECID S = +oo -> ( ( S +e -e R ) =/= -oo -> S = +oo ) ) )
71	49, 57, 70	mp2d 47	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> S = +oo )
72	71, 65	oveq12d 5724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S +e -e R ) = ( +oo +e -oo ) )
73		pnfaddmnf 9474	. . . . . . . . . 10 |- ( +oo +e -oo ) = 0
74	72, 73	syl6eq 2148	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S +e -e R ) = 0 )
75	46, 74	breqtrd 3899	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( P D Q ) <_ 0 )
76	53	biantrud 300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) <_ 0 <-> ( ( P D Q ) <_ 0 /\ 0 <_ ( P D Q ) ) ) )
77		xrletri3 9429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P D Q ) e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( P D Q ) = 0 <-> ( ( P D Q ) <_ 0 /\ 0 <_ ( P D Q ) ) ) )
78	15, 50, 77	sylancl 407	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) = 0 <-> ( ( P D Q ) <_ 0 /\ 0 <_ ( P D Q ) ) ) )
79		xmeteq0 12287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) -> ( ( P D Q ) = 0 <-> P = Q ) )
80	7, 21, 9, 79	syl3anc 1184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) = 0 <-> P = Q ) )
81	76, 78, 80	3bitr2d 215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) <_ 0 <-> P = Q ) )
82	81	adantr 272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( ( P D Q ) <_ 0 <-> P = Q ) )
83	75, 82	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> P = Q )
84	83	oveq1d 5721	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( P D x ) = ( Q D x ) )
85	61, 71	eqtr4d 2135	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> R = S )
86	45, 84, 85	3brtr3d 3904	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( Q D x ) < S )
87		xmetge0 12293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ x e. X ) -> 0 <_ ( P D x ) )
88	7, 21, 6, 87	syl3anc 1184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 <_ ( P D x ) )
89	51, 23, 16, 88, 27	xrlelttrd 9434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 < R )
90	51, 16, 89	xrltled 9426	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 <_ R )
91		ge0nemnf 9448	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR* /\ 0 <_ R ) -> R =/= -oo )
92	16, 90, 91	syl2anc 406	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> R =/= -oo )
93	16, 92	jca 302	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( R e. RR* /\ R =/= -oo ) )
94		xrnemnf 9405	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR* /\ R =/= -oo ) <-> ( R e. RR \/ R = +oo ) )
95	93, 94	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( R e. RR \/ R = +oo ) )
96	44, 86, 95	mpjaodan 753	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( Q D x ) < S )
97		elbl 12319	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ Q e. X /\ S e. RR* ) -> ( x e. ( Q ( ball ` D ) S ) <-> ( x e. X /\ ( Q D x ) < S ) ) )
98	7, 9, 33, 97	syl3anc 1184	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( x e. ( Q ( ball ` D ) S ) <-> ( x e. X /\ ( Q D x ) < S ) ) )
99	6, 96, 98	mpbir2and 896	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> x e. ( Q ( ball ` D ) S ) )
100	99	ex 114	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) -> x e. ( Q ( ball ` D ) S ) ) )
101	100	ssrdv 3053	1 |- ( ph -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ ( Q ( ball ` D ) S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 670  DECID wdc 786   = wceq 1299   e. wcel 1448   =/= wne 2267   C_ wss 3021   class class class wbr 3875   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   RRcr 7499   0cc0 7500   +oocpnf 7669   -oocmnf 7670   RR*cxr 7671   < clt 7672   <_ cle 7673   -ecxne 9397   +ecxad 9398   *Metcxmet 11931   ballcbl 11933

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-map 6474  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-2 8637  df-xneg 9400  df-xadd 9401  df-psmet 11938  df-xmet 11939  df-bl 11941

This theorem is referenced by:  blss2  12335  ssbl  12354