Theorem xblss2 14641

Description: One ball is contained in another if the center-to-center distance is less than the difference of the radii. In this version of blss2 14643 for extended metrics, we have to assume the balls are a finite distance apart, or else P will not even be in the infinity ball around Q. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xblss2.1	|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
xblss2.2	|- ( ph -> P e. X )
xblss2.3	|- ( ph -> Q e. X )
xblss2.4	|- ( ph -> R e. RR* )
xblss2.5	|- ( ph -> S e. RR* )
xblss2.6	|- ( ph -> ( P D Q ) e. RR )
xblss2.7	|- ( ph -> ( P D Q ) <_ ( S +e -e R ) )

Assertion

Ref	Expression
xblss2	|- ( ph -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ ( Q ( ball ` D ) S ) )

Proof of Theorem xblss2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xblss2.1	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
2		xblss2.2	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. X )
3		xblss2.4	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. RR* )
4		elbl 14627	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
6	5	simprbda 383	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> x e. X )
7	1	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
8		xblss2.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. X )
9	8	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> Q e. X )
10		xmetcl 14588	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ Q e. X /\ x e. X ) -> ( Q D x ) e. RR* )
11	7, 9, 6, 10	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( Q D x ) e. RR* )
12	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( Q D x ) e. RR* )
13		xblss2.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P D Q ) e. RR )
14	13	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D Q ) e. RR )
15	14	rexrd 8076	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D Q ) e. RR* )
16	3	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> R e. RR* )
17	15, 16	xaddcld 9959	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) +e R ) e. RR* )
18	17	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( ( P D Q ) +e R ) e. RR* )
19		xblss2.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. RR* )
20	19	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> S e. RR* )
21	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> P e. X )
22		xmetcl 14588	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ x e. X ) -> ( P D x ) e. RR* )
23	7, 21, 6, 22	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D x ) e. RR* )
24	15, 23	xaddcld 9959	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) e. RR* )
25		xmettri2 14597	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( P e. X /\ Q e. X /\ x e. X ) ) -> ( Q D x ) <_ ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) )
26	7, 21, 9, 6, 25	syl13anc 1251	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( Q D x ) <_ ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) )
27	5	simplbda 384	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D x ) < R )
28		xltadd2 9952	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P D x ) e. RR* /\ R e. RR* /\ ( P D Q ) e. RR ) -> ( ( P D x ) < R <-> ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) < ( ( P D Q ) +e R ) ) )
29	23, 16, 14, 28	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D x ) < R <-> ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) < ( ( P D Q ) +e R ) ) )
30	27, 29	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) < ( ( P D Q ) +e R ) )
31	11, 24, 17, 26, 30	xrlelttrd 9885	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( Q D x ) < ( ( P D Q ) +e R ) )
32	31	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( Q D x ) < ( ( P D Q ) +e R ) )
33	19	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> S e. RR* )
34	16	xnegcld 9930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> -e R e. RR* )
35	33, 34	xaddcld 9959	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( S +e -e R ) e. RR* )
36		xblss2.7	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P D Q ) <_ ( S +e -e R ) )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D Q ) <_ ( S +e -e R ) )
38		xleadd1a 9948	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P D Q ) e. RR* /\ ( S +e -e R ) e. RR* /\ R e. RR* ) /\ ( P D Q ) <_ ( S +e -e R ) ) -> ( ( P D Q ) +e R ) <_ ( ( S +e -e R ) +e R ) )
39	15, 35, 16, 37, 38	syl31anc 1252	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) +e R ) <_ ( ( S +e -e R ) +e R ) )
40	39	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( ( P D Q ) +e R ) <_ ( ( S +e -e R ) +e R ) )
41		xnpcan 9947	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. RR* /\ R e. RR ) -> ( ( S +e -e R ) +e R ) = S )
42	33, 41	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( ( S +e -e R ) +e R ) = S )
43	40, 42	breqtrd 4059	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( ( P D Q ) +e R ) <_ S )
44	12, 18, 20, 32, 43	xrltletrd 9886	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( Q D x ) < S )
45	27	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( P D x ) < R )
46	36	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( P D Q ) <_ ( S +e -e R ) )
47	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> S e. RR* )
48		xrpnfdc 9917	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. RR* -> DECID S = +oo )
49	47, 48	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> DECID S = +oo )
50		0xr 8073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR*
51	50	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 e. RR* )
52		xmetge0 14601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) -> 0 <_ ( P D Q ) )
53	7, 21, 9, 52	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 <_ ( P D Q ) )
54	51, 15, 35, 53, 37	xrletrd 9887	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 <_ ( S +e -e R ) )
55		ge0nemnf 9899	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S +e -e R ) e. RR* /\ 0 <_ ( S +e -e R ) ) -> ( S +e -e R ) =/= -oo )
56	35, 54, 55	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( S +e -e R ) =/= -oo )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S +e -e R ) =/= -oo )
58		xaddmnf1 9923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S e. RR* /\ S =/= +oo ) -> ( S +e -oo ) = -oo )
59	58	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S e. RR* -> ( S =/= +oo -> ( S +e -oo ) = -oo ) )
60	47, 59	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S =/= +oo -> ( S +e -oo ) = -oo ) )
61		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> R = +oo )
62		xnegeq 9902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R = +oo -> -e R = -e +oo )
63	61, 62	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> -e R = -e +oo )
64		xnegpnf 9903	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -e +oo = -oo
65	63, 64	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> -e R = -oo )
66	65	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S +e -e R ) = ( S +e -oo ) )
67	66	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( ( S +e -e R ) = -oo <-> ( S +e -oo ) = -oo ) )
68	60, 67	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S =/= +oo -> ( S +e -e R ) = -oo ) )
69	68	a1d 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> (DECID S = +oo -> ( S =/= +oo -> ( S +e -e R ) = -oo ) ) )
70	69	necon1ddc 2445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> (DECID S = +oo -> ( ( S +e -e R ) =/= -oo -> S = +oo ) ) )
71	49, 57, 70	mp2d 47	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> S = +oo )
72	71, 65	oveq12d 5940	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S +e -e R ) = ( +oo +e -oo ) )
73		pnfaddmnf 9925	. . . . . . . . . 10 |- ( +oo +e -oo ) = 0
74	72, 73	eqtrdi 2245	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S +e -e R ) = 0 )
75	46, 74	breqtrd 4059	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( P D Q ) <_ 0 )
76	53	biantrud 304	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) <_ 0 <-> ( ( P D Q ) <_ 0 /\ 0 <_ ( P D Q ) ) ) )
77		xrletri3 9879	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P D Q ) e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( P D Q ) = 0 <-> ( ( P D Q ) <_ 0 /\ 0 <_ ( P D Q ) ) ) )
78	15, 50, 77	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) = 0 <-> ( ( P D Q ) <_ 0 /\ 0 <_ ( P D Q ) ) ) )
79		xmeteq0 14595	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) -> ( ( P D Q ) = 0 <-> P = Q ) )
80	7, 21, 9, 79	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) = 0 <-> P = Q ) )
81	76, 78, 80	3bitr2d 216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) <_ 0 <-> P = Q ) )
82	81	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( ( P D Q ) <_ 0 <-> P = Q ) )
83	75, 82	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> P = Q )
84	83	oveq1d 5937	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( P D x ) = ( Q D x ) )
85	61, 71	eqtr4d 2232	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> R = S )
86	45, 84, 85	3brtr3d 4064	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( Q D x ) < S )
87		xmetge0 14601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ x e. X ) -> 0 <_ ( P D x ) )
88	7, 21, 6, 87	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 <_ ( P D x ) )
89	51, 23, 16, 88, 27	xrlelttrd 9885	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 < R )
90	51, 16, 89	xrltled 9874	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 <_ R )
91		ge0nemnf 9899	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR* /\ 0 <_ R ) -> R =/= -oo )
92	16, 90, 91	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> R =/= -oo )
93	16, 92	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( R e. RR* /\ R =/= -oo ) )
94		xrnemnf 9852	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR* /\ R =/= -oo ) <-> ( R e. RR \/ R = +oo ) )
95	93, 94	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( R e. RR \/ R = +oo ) )
96	44, 86, 95	mpjaodan 799	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( Q D x ) < S )
97		elbl 14627	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ Q e. X /\ S e. RR* ) -> ( x e. ( Q ( ball ` D ) S ) <-> ( x e. X /\ ( Q D x ) < S ) ) )
98	7, 9, 33, 97	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( x e. ( Q ( ball ` D ) S ) <-> ( x e. X /\ ( Q D x ) < S ) ) )
99	6, 96, 98	mpbir2and 946	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> x e. ( Q ( ball ` D ) S ) )
100	99	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) -> x e. ( Q ( ball ` D ) S ) ) )
101	100	ssrdv 3189	1 |- ( ph -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ ( Q ( ball ` D ) S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   C_ wss 3157   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   RRcr 7878   0cc0 7879   +oocpnf 8058   -oocmnf 8059   RR*cxr 8060   < clt 8061   <_ cle 8062   -ecxne 9844   +ecxad 9845   *Metcxmet 14092   ballcbl 14094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-2 9049  df-xneg 9847  df-xadd 9848  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-bl 14102

This theorem is referenced by:  blss2  14643  ssbl  14662