Theorem xblss2 15396

Description: One ball is contained in another if the center-to-center distance is less than the difference of the radii. In this version of blss2 15398 for extended metrics, we have to assume the balls are a finite distance apart, or else P will not even be in the infinity ball around Q. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xblss2.1	|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
xblss2.2	|- ( ph -> P e. X )
xblss2.3	|- ( ph -> Q e. X )
xblss2.4	|- ( ph -> R e. RR* )
xblss2.5	|- ( ph -> S e. RR* )
xblss2.6	|- ( ph -> ( P D Q ) e. RR )
xblss2.7	|- ( ph -> ( P D Q ) <_ ( S +e -e R ) )

Assertion

Ref	Expression
xblss2	|- ( ph -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ ( Q ( ball ` D ) S ) )

Proof of Theorem xblss2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xblss2.1	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
2		xblss2.2	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. X )
3		xblss2.4	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. RR* )
4		elbl 15382	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
6	5	simprbda 383	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> x e. X )
7	1	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
8		xblss2.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. X )
9	8	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> Q e. X )
10		xmetcl 15343	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ Q e. X /\ x e. X ) -> ( Q D x ) e. RR* )
11	7, 9, 6, 10	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( Q D x ) e. RR* )
12	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( Q D x ) e. RR* )
13		xblss2.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P D Q ) e. RR )
14	13	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D Q ) e. RR )
15	14	rexrd 8339	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D Q ) e. RR* )
16	3	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> R e. RR* )
17	15, 16	xaddcld 10236	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) +e R ) e. RR* )
18	17	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( ( P D Q ) +e R ) e. RR* )
19		xblss2.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. RR* )
20	19	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> S e. RR* )
21	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> P e. X )
22		xmetcl 15343	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ x e. X ) -> ( P D x ) e. RR* )
23	7, 21, 6, 22	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D x ) e. RR* )
24	15, 23	xaddcld 10236	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) e. RR* )
25		xmettri2 15352	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( P e. X /\ Q e. X /\ x e. X ) ) -> ( Q D x ) <_ ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) )
26	7, 21, 9, 6, 25	syl13anc 1276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( Q D x ) <_ ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) )
27	5	simplbda 384	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D x ) < R )
28		xltadd2 10229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P D x ) e. RR* /\ R e. RR* /\ ( P D Q ) e. RR ) -> ( ( P D x ) < R <-> ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) < ( ( P D Q ) +e R ) ) )
29	23, 16, 14, 28	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D x ) < R <-> ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) < ( ( P D Q ) +e R ) ) )
30	27, 29	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) < ( ( P D Q ) +e R ) )
31	11, 24, 17, 26, 30	xrlelttrd 10162	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( Q D x ) < ( ( P D Q ) +e R ) )
32	31	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( Q D x ) < ( ( P D Q ) +e R ) )
33	19	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> S e. RR* )
34	16	xnegcld 10207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> -e R e. RR* )
35	33, 34	xaddcld 10236	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( S +e -e R ) e. RR* )
36		xblss2.7	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P D Q ) <_ ( S +e -e R ) )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( P D Q ) <_ ( S +e -e R ) )
38		xleadd1a 10225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P D Q ) e. RR* /\ ( S +e -e R ) e. RR* /\ R e. RR* ) /\ ( P D Q ) <_ ( S +e -e R ) ) -> ( ( P D Q ) +e R ) <_ ( ( S +e -e R ) +e R ) )
39	15, 35, 16, 37, 38	syl31anc 1277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) +e R ) <_ ( ( S +e -e R ) +e R ) )
40	39	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( ( P D Q ) +e R ) <_ ( ( S +e -e R ) +e R ) )
41		xnpcan 10224	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. RR* /\ R e. RR ) -> ( ( S +e -e R ) +e R ) = S )
42	33, 41	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( ( S +e -e R ) +e R ) = S )
43	40, 42	breqtrd 4140	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( ( P D Q ) +e R ) <_ S )
44	12, 18, 20, 32, 43	xrltletrd 10163	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R e. RR ) -> ( Q D x ) < S )
45	27	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( P D x ) < R )
46	36	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( P D Q ) <_ ( S +e -e R ) )
47	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> S e. RR* )
48		xrpnfdc 10194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. RR* -> DECID S = +oo )
49	47, 48	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> DECID S = +oo )
50		0xr 8336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR*
51	50	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 e. RR* )
52		xmetge0 15356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) -> 0 <_ ( P D Q ) )
53	7, 21, 9, 52	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 <_ ( P D Q ) )
54	51, 15, 35, 53, 37	xrletrd 10164	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 <_ ( S +e -e R ) )
55		ge0nemnf 10176	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S +e -e R ) e. RR* /\ 0 <_ ( S +e -e R ) ) -> ( S +e -e R ) =/= -oo )
56	35, 54, 55	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( S +e -e R ) =/= -oo )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S +e -e R ) =/= -oo )
58		xaddmnf1 10200	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S e. RR* /\ S =/= +oo ) -> ( S +e -oo ) = -oo )
59	58	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S e. RR* -> ( S =/= +oo -> ( S +e -oo ) = -oo ) )
60	47, 59	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S =/= +oo -> ( S +e -oo ) = -oo ) )
61		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> R = +oo )
62		xnegeq 10179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R = +oo -> -e R = -e +oo )
63	61, 62	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> -e R = -e +oo )
64		xnegpnf 10180	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -e +oo = -oo
65	63, 64	eqtrdi 2283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> -e R = -oo )
66	65	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S +e -e R ) = ( S +e -oo ) )
67	66	eqeq1d 2243	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( ( S +e -e R ) = -oo <-> ( S +e -oo ) = -oo ) )
68	60, 67	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S =/= +oo -> ( S +e -e R ) = -oo ) )
69	68	a1d 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> (DECID S = +oo -> ( S =/= +oo -> ( S +e -e R ) = -oo ) ) )
70	69	necon1ddc 2492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> (DECID S = +oo -> ( ( S +e -e R ) =/= -oo -> S = +oo ) ) )
71	49, 57, 70	mp2d 47	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> S = +oo )
72	71, 65	oveq12d 6076	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S +e -e R ) = ( +oo +e -oo ) )
73		pnfaddmnf 10202	. . . . . . . . . 10 |- ( +oo +e -oo ) = 0
74	72, 73	eqtrdi 2283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( S +e -e R ) = 0 )
75	46, 74	breqtrd 4140	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( P D Q ) <_ 0 )
76	53	biantrud 304	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) <_ 0 <-> ( ( P D Q ) <_ 0 /\ 0 <_ ( P D Q ) ) ) )
77		xrletri3 10156	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P D Q ) e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( P D Q ) = 0 <-> ( ( P D Q ) <_ 0 /\ 0 <_ ( P D Q ) ) ) )
78	15, 50, 77	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) = 0 <-> ( ( P D Q ) <_ 0 /\ 0 <_ ( P D Q ) ) ) )
79		xmeteq0 15350	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) -> ( ( P D Q ) = 0 <-> P = Q ) )
80	7, 21, 9, 79	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) = 0 <-> P = Q ) )
81	76, 78, 80	3bitr2d 216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( ( P D Q ) <_ 0 <-> P = Q ) )
82	81	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( ( P D Q ) <_ 0 <-> P = Q ) )
83	75, 82	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> P = Q )
84	83	oveq1d 6073	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( P D x ) = ( Q D x ) )
85	61, 71	eqtr4d 2270	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> R = S )
86	45, 84, 85	3brtr3d 4145	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) /\ R = +oo ) -> ( Q D x ) < S )
87		xmetge0 15356	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ x e. X ) -> 0 <_ ( P D x ) )
88	7, 21, 6, 87	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 <_ ( P D x ) )
89	51, 23, 16, 88, 27	xrlelttrd 10162	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 < R )
90	51, 16, 89	xrltled 10151	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> 0 <_ R )
91		ge0nemnf 10176	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR* /\ 0 <_ R ) -> R =/= -oo )
92	16, 90, 91	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> R =/= -oo )
93	16, 92	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( R e. RR* /\ R =/= -oo ) )
94		xrnemnf 10129	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR* /\ R =/= -oo ) <-> ( R e. RR \/ R = +oo ) )
95	93, 94	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( R e. RR \/ R = +oo ) )
96	44, 86, 95	mpjaodan 806	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( Q D x ) < S )
97		elbl 15382	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ Q e. X /\ S e. RR* ) -> ( x e. ( Q ( ball ` D ) S ) <-> ( x e. X /\ ( Q D x ) < S ) ) )
98	7, 9, 33, 97	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> ( x e. ( Q ( ball ` D ) S ) <-> ( x e. X /\ ( Q D x ) < S ) ) )
99	6, 96, 98	mpbir2and 953	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( P ( ball ` D ) R ) ) -> x e. ( Q ( ball ` D ) S ) )
100	99	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) -> x e. ( Q ( ball ` D ) S ) ) )
101	100	ssrdv 3248	1 |- ( ph -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ ( Q ( ball ` D ) S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   C_ wss 3214   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   RRcr 8142   0cc0 8143   +oocpnf 8321   -oocmnf 8322   RR*cxr 8323   < clt 8324   <_ cle 8325   -ecxne 10121   +ecxad 10122   *Metcxmet 14810   ballcbl 14812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-2 9313  df-xneg 10124  df-xadd 10125  df-psmet 14817  df-xmet 14818  df-bl 14820

This theorem is referenced by:  blss2  15398  ssbl  15417