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Theorem xblss2 14382
Description: One ball is contained in another if the center-to-center distance is less than the difference of the radii. In this version of blss2 14384 for extended metrics, we have to assume the balls are a finite distance apart, or else  P will not even be in the infinity ball around  Q. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xblss2.1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
xblss2.2  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
xblss2.3  |-  ( ph  ->  Q  e.  X )
xblss2.4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
xblss2.5  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
xblss2.6  |-  ( ph  ->  ( P D Q )  e.  RR )
xblss2.7  |-  ( ph  ->  ( P D Q )  <_  ( S +e  -e R ) )
Assertion
Ref Expression
xblss2  |-  ( ph  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  ( Q (
ball `  D ) S ) )

Proof of Theorem xblss2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xblss2.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
2 xblss2.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
3 xblss2.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
4 elbl 14368 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1249 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
65simprbda 383 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  x  e.  X
)
71adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
8 xblss2.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  e.  X )
98adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  Q  e.  X
)
10 xmetcl 14329 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Q  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  ( Q D x )  e. 
RR* )
117, 9, 6, 10syl3anc 1249 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( Q D x )  e.  RR* )
1211adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( Q D x )  e. 
RR* )
13 xblss2.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P D Q )  e.  RR )
1413adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( P D Q )  e.  RR )
1514rexrd 8038 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( P D Q )  e.  RR* )
163adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  R  e.  RR* )
1715, 16xaddcld 9916 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D Q ) +e R )  e. 
RR* )
1817adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( P D Q ) +e R )  e.  RR* )
19 xblss2.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
2019ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  S  e.  RR* )
212adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  P  e.  X
)
22 xmetcl 14329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  ( P D x )  e. 
RR* )
237, 21, 6, 22syl3anc 1249 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( P D x )  e.  RR* )
2415, 23xaddcld 9916 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D Q ) +e ( P D x ) )  e. 
RR* )
25 xmettri2 14338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( P  e.  X  /\  Q  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( Q D x )  <_  ( ( P D Q ) +e ( P D x ) ) )
267, 21, 9, 6, 25syl13anc 1251 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( Q D x )  <_  (
( P D Q ) +e ( P D x ) ) )
275simplbda 384 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( P D x )  <  R
)
28 xltadd2 9909 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P D x )  e.  RR*  /\  R  e.  RR*  /\  ( P D Q )  e.  RR )  ->  (
( P D x )  <  R  <->  ( ( P D Q ) +e ( P D x ) )  < 
( ( P D Q ) +e
R ) ) )
2923, 16, 14, 28syl3anc 1249 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D x )  < 
R  <->  ( ( P D Q ) +e ( P D x ) )  < 
( ( P D Q ) +e
R ) ) )
3027, 29mpbid 147 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D Q ) +e ( P D x ) )  < 
( ( P D Q ) +e
R ) )
3111, 24, 17, 26, 30xrlelttrd 9842 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( Q D x )  <  (
( P D Q ) +e R ) )
3231adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( Q D x )  < 
( ( P D Q ) +e
R ) )
3319adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  S  e.  RR* )
3416xnegcld 9887 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  -e R  e. 
RR* )
3533, 34xaddcld 9916 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( S +e  -e R )  e.  RR* )
36 xblss2.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P D Q )  <_  ( S +e  -e R ) )
3736adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( P D Q )  <_  ( S +e  -e
R ) )
38 xleadd1a 9905 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P D Q )  e.  RR*  /\  ( S +e  -e R )  e. 
RR*  /\  R  e.  RR* )  /\  ( P D Q )  <_ 
( S +e  -e R ) )  ->  ( ( P D Q ) +e R )  <_ 
( ( S +e  -e R ) +e R ) )
3915, 35, 16, 37, 38syl31anc 1252 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D Q ) +e R )  <_ 
( ( S +e  -e R ) +e R ) )
4039adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( P D Q ) +e R )  <_  ( ( S +e  -e
R ) +e
R ) )
41 xnpcan 9904 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  RR*  /\  R  e.  RR )  ->  (
( S +e  -e R ) +e R )  =  S )
4233, 41sylan 283 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( S +e  -e R ) +e R )  =  S )
4340, 42breqtrd 4044 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( P D Q ) +e R )  <_  S )
4412, 18, 20, 32, 43xrltletrd 9843 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( Q D x )  < 
S )
4527adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( P D x )  < 
R )
4636ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( P D Q )  <_ 
( S +e  -e R ) )
4719ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  S  e.  RR* )
48 xrpnfdc 9874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  RR*  -> DECID  S  = +oo )
4947, 48syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  -> DECID  S  = +oo )
50 0xr 8035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR*
5150a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  e.  RR* )
52 xmetge0 14342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  ->  0  <_  ( P D Q ) )
537, 21, 9, 52syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <_  ( P D Q ) )
5451, 15, 35, 53, 37xrletrd 9844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <_  ( S +e  -e
R ) )
55 ge0nemnf 9856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S +e  -e R )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( S +e  -e R ) )  ->  ( S +e  -e R )  =/= -oo )
5635, 54, 55syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( S +e  -e R )  =/= -oo )
5756adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( S +e  -e
R )  =/= -oo )
58 xaddmnf1 9880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  RR*  /\  S  =/= +oo )  ->  ( S +e -oo )  = -oo )
5958ex 115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e.  RR*  ->  ( S  =/= +oo  ->  ( S +e -oo )  = -oo ) )
6047, 59syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( S  =/= +oo  ->  ( S +e -oo )  = -oo ) )
61 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  R  = +oo )
62 xnegeq 9859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  = +oo  ->  -e
R  =  -e +oo )
6361, 62syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  -e
R  =  -e +oo )
64 xnegpnf 9860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -e +oo  = -oo
6563, 64eqtrdi 2238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  -e
R  = -oo )
6665oveq2d 5913 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( S +e  -e
R )  =  ( S +e -oo ) )
6766eqeq1d 2198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  (
( S +e  -e R )  = -oo  <->  ( S +e -oo )  = -oo ) )
6860, 67sylibrd 169 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( S  =/= +oo  ->  ( S +e  -e
R )  = -oo ) )
6968a1d 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  (DECID  S  = +oo  ->  ( S  =/= +oo  ->  ( S +e  -e R )  = -oo )
) )
7069necon1ddc 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  (DECID  S  = +oo  ->  ( ( S +e  -e
R )  =/= -oo  ->  S  = +oo )
) )
7149, 57, 70mp2d 47 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  S  = +oo )
7271, 65oveq12d 5915 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( S +e  -e
R )  =  ( +oo +e -oo ) )
73 pnfaddmnf 9882 . . . . . . . . . 10  |-  ( +oo +e -oo )  =  0
7472, 73eqtrdi 2238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( S +e  -e
R )  =  0 )
7546, 74breqtrd 4044 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( P D Q )  <_ 
0 )
7653biantrud 304 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D Q )  <_ 
0  <->  ( ( P D Q )  <_ 
0  /\  0  <_  ( P D Q ) ) ) )
77 xrletri3 9836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P D Q )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( P D Q )  =  0  <->  (
( P D Q )  <_  0  /\  0  <_  ( P D Q ) ) ) )
7815, 50, 77sylancl 413 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D Q )  =  0  <->  ( ( P D Q )  <_ 
0  /\  0  <_  ( P D Q ) ) ) )
79 xmeteq0 14336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  ->  ( ( P D Q )  =  0  <->  P  =  Q
) )
807, 21, 9, 79syl3anc 1249 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D Q )  =  0  <->  P  =  Q
) )
8176, 78, 803bitr2d 216 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( ( P D Q )  <_ 
0  <->  P  =  Q
) )
8281adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  (
( P D Q )  <_  0  <->  P  =  Q ) )
8375, 82mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  P  =  Q )
8483oveq1d 5912 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( P D x )  =  ( Q D x ) )
8561, 71eqtr4d 2225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  R  =  S )
8645, 84, 853brtr3d 4049 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D ) R ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( Q D x )  < 
S )
87 xmetge0 14342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  0  <_  ( P D x ) )
887, 21, 6, 87syl3anc 1249 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <_  ( P D x ) )
8951, 23, 16, 88, 27xrlelttrd 9842 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <  R
)
9051, 16, 89xrltled 9831 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  0  <_  R
)
91 ge0nemnf 9856 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  0  <_  R )  ->  R  =/= -oo )
9216, 90, 91syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  R  =/= -oo )
9316, 92jca 306 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( R  e. 
RR*  /\  R  =/= -oo ) )
94 xrnemnf 9809 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  R  =/= -oo )  <->  ( R  e.  RR  \/  R  = +oo ) )
9593, 94sylib 122 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( R  e.  RR  \/  R  = +oo ) )
9644, 86, 95mpjaodan 799 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( Q D x )  <  S
)
97 elbl 14368 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Q  e.  X  /\  S  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( Q ( ball `  D
) S )  <->  ( x  e.  X  /\  ( Q D x )  < 
S ) ) )
987, 9, 33, 97syl3anc 1249 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  ( x  e.  ( Q ( ball `  D ) S )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( Q D x )  <  S ) ) )
996, 96, 98mpbir2and 946 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )  ->  x  e.  ( Q ( ball `  D
) S ) )
10099ex 115 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  ->  x  e.  ( Q
( ball `  D ) S ) ) )
101100ssrdv 3176 1  |-  ( ph  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  ( Q (
ball `  D ) S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709  DECID wdc 835    = wceq 1364    e. wcel 2160    =/= wne 2360    C_ wss 3144   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   RRcr 7841   0cc0 7842   +oocpnf 8020   -oocmnf 8021   RR*cxr 8022    < clt 8023    <_ cle 8024    -ecxne 9801   +ecxad 9802   *Metcxmet 13866   ballcbl 13868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-map 6677  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-2 9009  df-xneg 9804  df-xadd 9805  df-psmet 13873  df-xmet 13874  df-bl 13876
This theorem is referenced by:  blss2  14384  ssbl  14403
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