Theorem xrletr 9273

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrletr	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )

Proof of Theorem xrletr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 9266	. . . . . 6 |- < Or RR*
2		sowlin 4147	. . . . . 6 |- ( ( < Or RR* /\ ( C e. RR* /\ A e. RR* /\ B e. RR* ) ) -> ( C < A -> ( C < B \/ B < A ) ) )
3	1, 2	mpan 415	. . . . 5 |- ( ( C e. RR* /\ A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C < A -> ( C < B \/ B < A ) ) )
4	3	3coml 1150	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( C < A -> ( C < B \/ B < A ) ) )
5		orcom 682	. . . 4 |- ( ( C < B \/ B < A ) <-> ( B < A \/ C < B ) )
6	4, 5	syl6ib 159	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( C < A -> ( B < A \/ C < B ) ) )
7	6	con3d 596	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( -. ( B < A \/ C < B ) -> -. C < A ) )
8		xrlenlt 7551	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
9	8	3adant3 963	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
10		xrlenlt 7551	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B <_ C <-> -. C < B ) )
11	10	3adant1 961	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B <_ C <-> -. C < B ) )
12	9, 11	anbi12d 457	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) <-> ( -. B < A /\ -. C < B ) ) )
13		ioran 704	. . 3 |- ( -. ( B < A \/ C < B ) <-> ( -. B < A /\ -. C < B ) )
14	12, 13	syl6bbr 196	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) <-> -. ( B < A \/ C < B ) ) )
15		xrlenlt 7551	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ C <-> -. C < A ) )
16	15	3adant2 962	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ C <-> -. C < A ) )
17	7, 14, 16	3imtr4d 201	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 664   /\ w3a 924   e. wcel 1438   class class class wbr 3845   Or wor 4122   RR*cxr 7521   < clt 7522   <_ cle 7523

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-cnv 4446  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528

This theorem is referenced by:  xrletrd  9277  icc0r  9344  iccss  9359  icossico  9361  iccss2  9362  iccssico  9363