ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  add4 GIF version

Theorem add4 7945
Description: Rearrangement of 4 terms in a sum. (Contributed by NM, 13-Nov-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
add4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))

Proof of Theorem add4
StepHypRef Expression
1 add12 7942 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐶 + 𝐷)) = (𝐶 + (𝐵 + 𝐷)))
213expb 1183 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 + (𝐶 + 𝐷)) = (𝐶 + (𝐵 + 𝐷)))
32oveq2d 5796 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) = (𝐴 + (𝐶 + (𝐵 + 𝐷))))
43adantll 468 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) = (𝐴 + (𝐶 + (𝐵 + 𝐷))))
5 addcl 7767 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
6 addass 7772 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
763expa 1182 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
85, 7sylan2 284 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
9 addcl 7767 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℂ)
10 addass 7772 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐶 + (𝐵 + 𝐷))))
11103expa 1182 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐶 + (𝐵 + 𝐷))))
129, 11sylan2 284 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐶 + (𝐵 + 𝐷))))
1312an4s 578 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐶 + (𝐵 + 𝐷))))
144, 8, 133eqtr4d 2183 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481  (class class class)co 5780  cc 7640   + caddc 7645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-addcl 7738  ax-addcom 7742  ax-addass 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3078  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-br 3936  df-iota 5094  df-fv 5137  df-ov 5783
This theorem is referenced by:  add42  7946  add4i  7949  add4d  7953  3dvds2dec  11592  opoe  11621  ptolemy  12946
  Copyright terms: Public domain W3C validator