Theorem add4 8345

Description: Rearrangement of 4 terms in a sum. (Contributed by NM, 13-Nov-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
add4	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))

Proof of Theorem add4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		add12 8342	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐶 + 𝐷)) = (𝐶 + (𝐵 + 𝐷)))
2	1	3expb 1230	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 + (𝐶 + 𝐷)) = (𝐶 + (𝐵 + 𝐷)))
3	2	oveq2d 6039	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) = (𝐴 + (𝐶 + (𝐵 + 𝐷))))
4	3	adantll 476	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) = (𝐴 + (𝐶 + (𝐵 + 𝐷))))
5		addcl 8162	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
6		addass 8167	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
7	6	3expa 1229	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
8	5, 7	sylan2 286	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
9		addcl 8162	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℂ)
10		addass 8167	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐶 + (𝐵 + 𝐷))))
11	10	3expa 1229	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐶 + (𝐵 + 𝐷))))
12	9, 11	sylan2 286	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐶 + (𝐵 + 𝐷))))
13	12	an4s 592	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐶 + (𝐵 + 𝐷))))
14	4, 8, 13	3eqtr4d 2273	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  (class class class)co 6023  ℂcc 8035   + caddc 8040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2212  ax-addcl 8133  ax-addcom 8137  ax-addass 8139

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-rex 2515  df-v 2803  df-un 3203  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-iota 5288  df-fv 5336  df-ov 6026

This theorem is referenced by:  add42  8346  add4i  8349  add4d  8353  3dvds2dec  12450  opoe  12479  ptolemy  15577