ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcan2ad GIF version

Theorem addcan2ad 7969
Description: Cancelling a term on the right-hand side of a sum in an equality. Consequence of addcan2d 7967. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
addcand.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
addcand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
addcan2ad.4 (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
Assertion
Ref Expression
addcan2ad (𝜑𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem addcan2ad
StepHypRef Expression
1 addcan2ad.4 . 2 (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
2 addcand.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 addcand.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 addcand.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
52, 3, 4addcan2d 7967 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
61, 5mpbid 146 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1332  wcel 1481  (class class class)co 5778  cc 7638   + caddc 7643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-addcom 7740  ax-addass 7742  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-cnre 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2689  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-iota 5092  df-fv 5135  df-ov 5781
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator