Theorem cnveq 4870

Description: Equality theorem for converse. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
cnveq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ◡𝐴 = ◡𝐵)

Proof of Theorem cnveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvss 4869	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ◡𝐴 ⊆ ◡𝐵)
2		cnvss 4869	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ◡𝐵 ⊆ ◡𝐴)
3	1, 2	anim12i 338	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (◡𝐴 ⊆ ◡𝐵 ∧ ◡𝐵 ⊆ ◡𝐴))
4		eqss 3216	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
5		eqss 3216	. 2 ⊢ (◡𝐴 = ◡𝐵 ↔ (◡𝐴 ⊆ ◡𝐵 ∧ ◡𝐵 ⊆ ◡𝐴))
6	3, 4, 5	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ◡𝐴 = ◡𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ⊆ wss 3174  ^◡ccnv 4692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-in 3180  df-ss 3187  df-br 4060  df-opab 4122  df-cnv 4701

This theorem is referenced by:  cnveqi  4871  cnveqd  4872  rneq  4924  cnveqb  5157  funcnvuni  5362  f1eq1  5498  f1o00  5580  foeqcnvco  5882  tposfn2  6375  ereq1  6650  infeq3  7143  1arith  12805  isrim0  14038  psrbag  14546  psr1clfi  14565  iscn  14784  ishmeo  14891