Theorem ishmeo 15018

Description: The predicate F is a homeomorphism between topology 𝐽 and topology 𝐾. Proposition of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 14-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ishmeo	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))

Proof of Theorem ishmeo

Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-hmeo 15015	. . 3 ⊢ Homeo = (𝑗 ∈ Top, 𝑘 ∈ Top ↦ {𝑓 ∈ (𝑗 Cn 𝑘) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝑘 Cn 𝑗)})
2	1	elmpocl 6212	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
3		df-cn 14902	. . . 4 ⊢ Cn = (𝑗 ∈ Top, 𝑘 ∈ Top ↦ {𝑓 ∈ (∪ 𝑘 ↑𝑚 ∪ 𝑗) ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑘 (◡𝑓 “ 𝑦) ∈ 𝑗})
4	3	elmpocl 6212	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
6		hmeofvalg 15017	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽Homeo𝐾) = {𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)})
7	6	eleq2d 2299	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ 𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)}))
8		cnveq 4902	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ◡𝑓 = ◡𝐹)
9	8	eleq1d 2298	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (◡𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
10	9	elrab 2960	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)} ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
11	7, 10	bitrdi 196	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))))
12	2, 5, 11	pm5.21nii 709	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  {crab 2512  ∪ cuni 3891  ^◡ccnv 4722   “ cima 4726  (class class class)co 6013   ↑_𝑚 cmap 6812  Topctop 14711   Cn ccn 14899  Homeochmeo 15014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-map 6814  df-top 14712  df-topon 14725  df-cn 14902  df-hmeo 15015

This theorem is referenced by:  hmeocn  15019  hmeocnvcn  15020  hmeocnv  15021  hmeores  15029  hmeoco  15030  idhmeo  15031  txhmeo  15033  txswaphmeo  15035  cnrehmeocntop  15324