Theorem f1eq1 5398

Description: Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1eq1	⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵))

Proof of Theorem f1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq1 5330	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ 𝐺:𝐴⟶𝐵))
2		cnveq 4785	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → ◡𝐹 = ◡𝐺)
3	2	funeqd 5220	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (Fun ◡𝐹 ↔ Fun ◡𝐺))
4	1, 3	anbi12d 470	. 2 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐹) ↔ (𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐺)))
5		df-f1 5203	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐹))
6		df-f1 5203	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐺))
7	4, 5, 6	3bitr4g 222	1 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348  ^◡ccnv 4610  Fun wfun 5192  ⟶wf 5194  –1-1→wf1 5195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203

This theorem is referenced by:  f1oeq1  5431  f1eq123d  5435  fun11iun  5463  fo00  5478  tposf12  6248  f1dom2g  6734  f1domg  6736  dom3d  6752  domtr  6763  djudom  7070  difinfsn  7077  djudoml  7196  djudomr  7197  nninfdc  12408