Theorem f1eq1 5382

Description: Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1eq1	⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵))

Proof of Theorem f1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq1 5314	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ 𝐺:𝐴⟶𝐵))
2		cnveq 4772	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → ◡𝐹 = ◡𝐺)
3	2	funeqd 5204	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (Fun ◡𝐹 ↔ Fun ◡𝐺))
4	1, 3	anbi12d 465	. 2 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐹) ↔ (𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐺)))
5		df-f1 5187	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐹))
6		df-f1 5187	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐺))
7	4, 5, 6	3bitr4g 222	1 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1342  ^◡ccnv 4597  Fun wfun 5176  ⟶wf 5178  –1-1→wf1 5179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-br 3977  df-opab 4038  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187

This theorem is referenced by:  f1oeq1  5415  f1eq123d  5419  fun11iun  5447  fo00  5462  tposf12  6228  f1dom2g  6713  f1domg  6715  dom3d  6731  domtr  6742  djudom  7049  difinfsn  7056  djudoml  7166  djudomr  7167  nninfdc  12325