Theorem dfiin3 4693

Description: Alternate definition of indexed intersection when 𝐵 is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfiun3.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
dfiin3	⊢ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∩ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Proof of Theorem dfiin3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiin3g 4691	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∩ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
2		dfiun3.1	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
4	1, 3	mprg 2432	1 ⊢ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∩ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1289   ∈ wcel 1438  Vcvv 2619  ∩ cint 3688  ∩ ciin 3731   ↦ cmpt 3899  ran crn 4439

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-int 3689  df-iin 3733  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-cnv 4446  df-dm 4448  df-rn 4449

This theorem is referenced by: (None)