ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnninf2 GIF version

Theorem nnnninf2 7127
Description: Canonical embedding of suc ω into . (Contributed by BJ, 10-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
nnnninf2 (𝑁 ∈ suc ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
Distinct variable group:   𝑖,𝑁

Proof of Theorem nnnninf2
StepHypRef Expression
1 elsuci 4405 . 2 (𝑁 ∈ suc ω → (𝑁 ∈ ω ∨ 𝑁 = ω))
2 nnnninf 7126 . . 3 (𝑁 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
3 iftrue 3541 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ω → if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅) = 1o)
43eqcomd 2183 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ω → 1o = if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅))
5 eleq2 2241 . . . . . . . 8 (𝑁 = ω → (𝑖𝑁𝑖 ∈ ω))
65ifbid 3557 . . . . . . 7 (𝑁 = ω → if(𝑖𝑁, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅))
76eqcomd 2183 . . . . . 6 (𝑁 = ω → if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅) = if(𝑖𝑁, 1o, ∅))
84, 7sylan9eqr 2232 . . . . 5 ((𝑁 = ω ∧ 𝑖 ∈ ω) → 1o = if(𝑖𝑁, 1o, ∅))
98mpteq2dva 4095 . . . 4 (𝑁 = ω → (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)))
10 infnninf 7124 . . . 4 (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ
119, 10eqeltrrdi 2269 . . 3 (𝑁 = ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
122, 11jaoi 716 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∨ 𝑁 = ω) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
131, 12syl 14 1 (𝑁 ∈ suc ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  c0 3424  ifcif 3536  cmpt 4066  suc csuc 4367  ωcom 4591  1oc1o 6412  xnninf 7120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1o 6419  df-2o 6420  df-map 6652  df-nninf 7121
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator