Theorem nnnninf2 7193

Description: Canonical embedding of suc ω into ℕ_∞. (Contributed by BJ, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnnninf2	⊢ (𝑁 ∈ suc ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)

Distinct variable group:   𝑖,𝑁

Proof of Theorem nnnninf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuci 4438	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ suc ω → (𝑁 ∈ ω ∨ 𝑁 = ω))
2		nnnninf 7192	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
3		iftrue 3566	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ω → if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅) = 1o)
4	3	eqcomd 2202	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ω → 1o = if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅))
5		eleq2 2260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ω → (𝑖 ∈ 𝑁 ↔ 𝑖 ∈ ω))
6	5	ifbid 3582	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ω → if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅))
7	6	eqcomd 2202	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ω → if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
8	4, 7	sylan9eqr 2251	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ω ∧ 𝑖 ∈ ω) → 1o = if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
9	8	mpteq2dva 4123	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ω → (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))
10		infnninf 7190	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞
11	9, 10	eqeltrrdi 2288	. . 3 ⊢ (𝑁 = ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
12	2, 11	jaoi 717	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∨ 𝑁 = ω) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
13	1, 12	syl 14	1 ⊢ (𝑁 ∈ suc ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∅c0 3450  ifcif 3561   ↦ cmpt 4094  suc csuc 4400  ωcom 4626  1_oc1o 6467  ℕ_∞xnninf 7185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1o 6474  df-2o 6475  df-map 6709  df-nninf 7186

This theorem is referenced by: (None)