ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnninf2 GIF version

Theorem nnnninf2 7124
Description: Canonical embedding of suc ω into . (Contributed by BJ, 10-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
nnnninf2 (𝑁 ∈ suc ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
Distinct variable group:   𝑖,𝑁

Proof of Theorem nnnninf2
StepHypRef Expression
1 elsuci 4403 . 2 (𝑁 ∈ suc ω → (𝑁 ∈ ω ∨ 𝑁 = ω))
2 nnnninf 7123 . . 3 (𝑁 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
3 iftrue 3539 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ω → if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅) = 1o)
43eqcomd 2183 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ω → 1o = if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅))
5 eleq2 2241 . . . . . . . 8 (𝑁 = ω → (𝑖𝑁𝑖 ∈ ω))
65ifbid 3555 . . . . . . 7 (𝑁 = ω → if(𝑖𝑁, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅))
76eqcomd 2183 . . . . . 6 (𝑁 = ω → if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅) = if(𝑖𝑁, 1o, ∅))
84, 7sylan9eqr 2232 . . . . 5 ((𝑁 = ω ∧ 𝑖 ∈ ω) → 1o = if(𝑖𝑁, 1o, ∅))
98mpteq2dva 4093 . . . 4 (𝑁 = ω → (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)))
10 infnninf 7121 . . . 4 (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ
119, 10eqeltrrdi 2269 . . 3 (𝑁 = ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
122, 11jaoi 716 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∨ 𝑁 = ω) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
131, 12syl 14 1 (𝑁 ∈ suc ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  c0 3422  ifcif 3534  cmpt 4064  suc csuc 4365  ωcom 4589  1oc1o 6409  xnninf 7117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1o 6416  df-2o 6417  df-map 6649  df-nninf 7118
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator