Theorem nnnninf2 7418

Description: Canonical embedding of suc ω into ℕ_∞. (Contributed by BJ, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnnninf2	⊢ (𝑁 ∈ suc ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)

Distinct variable group:   𝑖,𝑁

Proof of Theorem nnnninf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuci 4524	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ suc ω → (𝑁 ∈ ω ∨ 𝑁 = ω))
2		nnnninf 7417	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
3		iftrue 3627	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ω → if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅) = 1o)
4	3	eqcomd 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ω → 1o = if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅))
5		eleq2 2296	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ω → (𝑖 ∈ 𝑁 ↔ 𝑖 ∈ ω))
6	5	ifbid 3644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ω → if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅))
7	6	eqcomd 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ω → if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
8	4, 7	sylan9eqr 2287	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ω ∧ 𝑖 ∈ ω) → 1o = if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
9	8	mpteq2dva 4200	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ω → (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))
10		infnninf 7415	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞
11	9, 10	eqeltrrdi 2324	. . 3 ⊢ (𝑁 = ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
12	2, 11	jaoi 724	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∨ 𝑁 = ω) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
13	1, 12	syl 14	1 ⊢ (𝑁 ∈ suc ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∅c0 3508  ifcif 3620   ↦ cmpt 4171  suc csuc 4486  ωcom 4712  1_oc1o 6640  ℕ_∞xnninf 7410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1o 6647  df-2o 6648  df-map 6884  df-nninf 7411

This theorem is referenced by: (None)