Theorem nnnninf2 7290

Description: Canonical embedding of suc ω into ℕ_∞. (Contributed by BJ, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnnninf2	⊢ (𝑁 ∈ suc ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)

Distinct variable group:   𝑖,𝑁

Proof of Theorem nnnninf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuci 4493	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ suc ω → (𝑁 ∈ ω ∨ 𝑁 = ω))
2		nnnninf 7289	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
3		iftrue 3607	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ω → if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅) = 1o)
4	3	eqcomd 2235	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ω → 1o = if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅))
5		eleq2 2293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ω → (𝑖 ∈ 𝑁 ↔ 𝑖 ∈ ω))
6	5	ifbid 3624	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ω → if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅))
7	6	eqcomd 2235	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ω → if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
8	4, 7	sylan9eqr 2284	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ω ∧ 𝑖 ∈ ω) → 1o = if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
9	8	mpteq2dva 4173	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ω → (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))
10		infnninf 7287	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞
11	9, 10	eqeltrrdi 2321	. . 3 ⊢ (𝑁 = ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
12	2, 11	jaoi 721	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∨ 𝑁 = ω) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
13	1, 12	syl 14	1 ⊢ (𝑁 ∈ suc ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∅c0 3491  ifcif 3602   ↦ cmpt 4144  suc csuc 4455  ωcom 4681  1_oc1o 6553  ℕ_∞xnninf 7282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1o 6560  df-2o 6561  df-map 6795  df-nninf 7283

This theorem is referenced by: (None)