ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnninf2 GIF version

Theorem nnnninf2 7119
Description: Canonical embedding of suc ω into . (Contributed by BJ, 10-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
nnnninf2 (𝑁 ∈ suc ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
Distinct variable group:   𝑖,𝑁

Proof of Theorem nnnninf2
StepHypRef Expression
1 elsuci 4400 . 2 (𝑁 ∈ suc ω → (𝑁 ∈ ω ∨ 𝑁 = ω))
2 nnnninf 7118 . . 3 (𝑁 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
3 iftrue 3539 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ω → if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅) = 1o)
43eqcomd 2183 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ω → 1o = if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅))
5 eleq2 2241 . . . . . . . 8 (𝑁 = ω → (𝑖𝑁𝑖 ∈ ω))
65ifbid 3555 . . . . . . 7 (𝑁 = ω → if(𝑖𝑁, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅))
76eqcomd 2183 . . . . . 6 (𝑁 = ω → if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅) = if(𝑖𝑁, 1o, ∅))
84, 7sylan9eqr 2232 . . . . 5 ((𝑁 = ω ∧ 𝑖 ∈ ω) → 1o = if(𝑖𝑁, 1o, ∅))
98mpteq2dva 4090 . . . 4 (𝑁 = ω → (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)))
10 infnninf 7116 . . . 4 (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ
119, 10eqeltrrdi 2269 . . 3 (𝑁 = ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
122, 11jaoi 716 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∨ 𝑁 = ω) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
131, 12syl 14 1 (𝑁 ∈ suc ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  c0 3422  ifcif 3534  cmpt 4061  suc csuc 4362  ωcom 4586  1oc1o 6404  xnninf 7112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1o 6411  df-2o 6412  df-map 6644  df-nninf 7113
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator