Theorem nnnninf2 7325

Description: Canonical embedding of suc ω into ℕ_∞. (Contributed by BJ, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnnninf2	⊢ (𝑁 ∈ suc ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)

Distinct variable group:   𝑖,𝑁

Proof of Theorem nnnninf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuci 4500	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ suc ω → (𝑁 ∈ ω ∨ 𝑁 = ω))
2		nnnninf 7324	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
3		iftrue 3610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ω → if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅) = 1o)
4	3	eqcomd 2237	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ω → 1o = if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅))
5		eleq2 2295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ω → (𝑖 ∈ 𝑁 ↔ 𝑖 ∈ ω))
6	5	ifbid 3627	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ω → if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅))
7	6	eqcomd 2237	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ω → if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
8	4, 7	sylan9eqr 2286	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ω ∧ 𝑖 ∈ ω) → 1o = if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
9	8	mpteq2dva 4179	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ω → (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))
10		infnninf 7322	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞
11	9, 10	eqeltrrdi 2323	. . 3 ⊢ (𝑁 = ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
12	2, 11	jaoi 723	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∨ 𝑁 = ω) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
13	1, 12	syl 14	1 ⊢ (𝑁 ∈ suc ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∅c0 3494  ifcif 3605   ↦ cmpt 4150  suc csuc 4462  ωcom 4688  1_oc1o 6574  ℕ_∞xnninf 7317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1o 6581  df-2o 6582  df-map 6818  df-nninf 7318

This theorem is referenced by: (None)