ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnninf2 GIF version

Theorem nnnninf2 7072
Description: Canonical embedding of suc ω into . (Contributed by BJ, 10-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
nnnninf2 (𝑁 ∈ suc ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
Distinct variable group:   𝑖,𝑁

Proof of Theorem nnnninf2
StepHypRef Expression
1 elsuci 4365 . 2 (𝑁 ∈ suc ω → (𝑁 ∈ ω ∨ 𝑁 = ω))
2 nnnninf 7071 . . 3 (𝑁 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
3 iftrue 3511 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ω → if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅) = 1o)
43eqcomd 2163 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ω → 1o = if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅))
5 eleq2 2221 . . . . . . . 8 (𝑁 = ω → (𝑖𝑁𝑖 ∈ ω))
65ifbid 3527 . . . . . . 7 (𝑁 = ω → if(𝑖𝑁, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅))
76eqcomd 2163 . . . . . 6 (𝑁 = ω → if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅) = if(𝑖𝑁, 1o, ∅))
84, 7sylan9eqr 2212 . . . . 5 ((𝑁 = ω ∧ 𝑖 ∈ ω) → 1o = if(𝑖𝑁, 1o, ∅))
98mpteq2dva 4056 . . . 4 (𝑁 = ω → (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)))
10 infnninf 7069 . . . 4 (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ
119, 10eqeltrrdi 2249 . . 3 (𝑁 = ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
122, 11jaoi 706 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∨ 𝑁 = ω) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
131, 12syl 14 1 (𝑁 ∈ suc ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wo 698   = wceq 1335  wcel 2128  c0 3395  ifcif 3506  cmpt 4027  suc csuc 4327  ωcom 4551  1oc1o 6358  xnninf 7065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-id 4255  df-iord 4328  df-on 4330  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-fv 5180  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1o 6365  df-2o 6366  df-map 6597  df-nninf 7066
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator