ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnninf2 GIF version

Theorem nnnninf2 7107
Description: Canonical embedding of suc ω into . (Contributed by BJ, 10-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
nnnninf2 (𝑁 ∈ suc ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
Distinct variable group:   𝑖,𝑁

Proof of Theorem nnnninf2
StepHypRef Expression
1 elsuci 4389 . 2 (𝑁 ∈ suc ω → (𝑁 ∈ ω ∨ 𝑁 = ω))
2 nnnninf 7106 . . 3 (𝑁 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
3 iftrue 3532 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ω → if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅) = 1o)
43eqcomd 2177 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ω → 1o = if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅))
5 eleq2 2235 . . . . . . . 8 (𝑁 = ω → (𝑖𝑁𝑖 ∈ ω))
65ifbid 3548 . . . . . . 7 (𝑁 = ω → if(𝑖𝑁, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅))
76eqcomd 2177 . . . . . 6 (𝑁 = ω → if(𝑖 ∈ ω, 1o, ∅) = if(𝑖𝑁, 1o, ∅))
84, 7sylan9eqr 2226 . . . . 5 ((𝑁 = ω ∧ 𝑖 ∈ ω) → 1o = if(𝑖𝑁, 1o, ∅))
98mpteq2dva 4080 . . . 4 (𝑁 = ω → (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)))
10 infnninf 7104 . . . 4 (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ
119, 10eqeltrrdi 2263 . . 3 (𝑁 = ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
122, 11jaoi 712 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∨ 𝑁 = ω) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
131, 12syl 14 1 (𝑁 ∈ suc ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wo 704   = wceq 1349  wcel 2142  c0 3415  ifcif 3527  cmpt 4051  suc csuc 4351  ωcom 4575  1oc1o 6392  xnninf 7100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-nul 4116  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-iinf 4573
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 831  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-ral 2454  df-rex 2455  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-if 3528  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4089  df-id 4279  df-iord 4352  df-on 4354  df-suc 4357  df-iom 4576  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-fv 5208  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1o 6399  df-2o 6400  df-map 6632  df-nninf 7101
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator