Theorem phplem3 7121

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus any element of the successor. For a version without the redundant hypotheses, see phplem3g 7123. (Contributed by NM, 26-May-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
phplem2.1	⊢ 𝐴 ∈ V
phplem2.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
phplem3	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuci 4529	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ suc 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴))
2		phplem2.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		phplem2.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	phplem2 7120	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
5	2	enref 7017	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≈ 𝐴
6		nnord 4739	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
7		orddif 4674	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
9		sneq 3705	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
10	9	difeq2d 3341	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
11	10	eqcoms 2237	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
12	8, 11	sylan9eq 2287	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
13	5, 12	breqtrid 4151	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
14	4, 13	jaodan 805	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
15	1, 14	sylan2 286	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ∖ cdif 3211  {csn 3694   class class class wbr 4114  Ord word 4488  suc csuc 4491  ωcom 4717   ≈ cen 6986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-en 6989

This theorem is referenced by:  phplem4  7122  phplem3g  7123