Theorem phplem3 7110

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus any element of the successor. For a version without the redundant hypotheses, see phplem3g 7112. (Contributed by NM, 26-May-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
phplem2.1	⊢ 𝐴 ∈ V
phplem2.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
phplem3	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuci 4526	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ suc 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴))
2		phplem2.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		phplem2.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	phplem2 7109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
5	2	enref 7006	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≈ 𝐴
6		nnord 4736	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
7		orddif 4671	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
9		sneq 3702	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
10	9	difeq2d 3339	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
11	10	eqcoms 2237	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
12	8, 11	sylan9eq 2287	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
13	5, 12	breqtrid 4148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
14	4, 13	jaodan 805	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
15	1, 14	sylan2 286	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ∖ cdif 3210  {csn 3691   class class class wbr 4111  Ord word 4485  suc csuc 4488  ωcom 4714   ≈ cen 6975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-en 6978

This theorem is referenced by:  phplem4  7111  phplem3g  7112