Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  3nsssucpw1 GIF version

Theorem 3nsssucpw1 7154
 Description: Negated excluded middle implies that 3o is not a subset of the successor of the power set of 1o. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 31-Jul-2024.)
Assertion
Ref Expression
3nsssucpw1 EXMID → ¬ 3o ⊆ suc 𝒫 1o)

Proof of Theorem 3nsssucpw1
StepHypRef Expression
1 df-3o 6359 . . . . . 6 3o = suc 2o
21sseq1i 3154 . . . . 5 (3o ⊆ suc 𝒫 1o ↔ suc 2o ⊆ suc 𝒫 1o)
3 1lt2o 6383 . . . . . . . . 9 1o ∈ 2o
4 ssnel 4526 . . . . . . . . 9 (2o ⊆ 1o → ¬ 1o ∈ 2o)
53, 4mt2 630 . . . . . . . 8 ¬ 2o ⊆ 1o
6 2onn 6461 . . . . . . . . . 10 2o ∈ ω
76elexi 2724 . . . . . . . . 9 2o ∈ V
87elpw 3549 . . . . . . . 8 (2o ∈ 𝒫 1o ↔ 2o ⊆ 1o)
95, 8mtbir 661 . . . . . . 7 ¬ 2o ∈ 𝒫 1o
109a1i 9 . . . . . 6 (suc 2o ⊆ suc 𝒫 1o → ¬ 2o ∈ 𝒫 1o)
11 sucssel 4383 . . . . . . . . 9 (2o ∈ ω → (suc 2o ⊆ suc 𝒫 1o → 2o ∈ suc 𝒫 1o))
126, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 (suc 2o ⊆ suc 𝒫 1o → 2o ∈ suc 𝒫 1o)
13 elsuci 4362 . . . . . . . 8 (2o ∈ suc 𝒫 1o → (2o ∈ 𝒫 1o ∨ 2o = 𝒫 1o))
1412, 13syl 14 . . . . . . 7 (suc 2o ⊆ suc 𝒫 1o → (2o ∈ 𝒫 1o ∨ 2o = 𝒫 1o))
1514orcomd 719 . . . . . 6 (suc 2o ⊆ suc 𝒫 1o → (2o = 𝒫 1o ∨ 2o ∈ 𝒫 1o))
1610, 15ecased 1331 . . . . 5 (suc 2o ⊆ suc 𝒫 1o → 2o = 𝒫 1o)
172, 16sylbi 120 . . . 4 (3o ⊆ suc 𝒫 1o → 2o = 𝒫 1o)
1817eqcomd 2163 . . 3 (3o ⊆ suc 𝒫 1o → 𝒫 1o = 2o)
19 exmidpweq 6847 . . 3 (EXMID ↔ 𝒫 1o = 2o)
2018, 19sylibr 133 . 2 (3o ⊆ suc 𝒫 1oEXMID)
2120con3i 622 1 EXMID → ¬ 3o ⊆ suc 𝒫 1o)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 698   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ⊆ wss 3102  𝒫 cpw 3543  EXMIDwem 4154  suc csuc 4324  ωcom 4547  1oc1o 6350  2oc2o 6351  3oc3o 6352 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3773  df-int 3808  df-tr 4063  df-exmid 4155  df-iord 4325  df-on 4327  df-suc 4330  df-iom 4548  df-1o 6357  df-2o 6358  df-3o 6359 This theorem is referenced by:  onntri45  7159
 Copyright terms: Public domain W3C validator