Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  facwordi GIF version

Theorem facwordi 10209
 Description: Ordering property of factorial. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facwordi ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem facwordi
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3855 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝑀𝑗𝑀 ≤ 0))
21anbi2d 453 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ 0)))
3 fveq2 5318 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
43breq2d 3863 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘0)))
52, 4imbi12d 233 . . . 4 (𝑗 = 0 → (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) ≤ (!‘0))))
6 breq2 3855 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝑀𝑗𝑀𝑘))
76anbi2d 453 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑘)))
8 fveq2 5318 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
98breq2d 3863 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)))
107, 9imbi12d 233 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))))
11 breq2 3855 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀𝑗𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
1211anbi2d 453 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑘 + 1))))
13 fveq2 5318 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
1413breq2d 3863 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
1512, 14imbi12d 233 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
16 breq2 3855 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝑀𝑗𝑀𝑁))
1716anbi2d 453 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
18 fveq2 5318 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (!‘𝑗) = (!‘𝑁))
1918breq2d 3863 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁)))
2017, 19imbi12d 233 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))))
21 nn0le0eq0 8762 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 0 ↔ 𝑀 = 0))
2221biimpa 291 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ 0) → 𝑀 = 0)
2322fveq2d 5322 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) = (!‘0))
24 fac0 10197 . . . . . . 7 (!‘0) = 1
25 1re 7548 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
2624, 25eqeltri 2161 . . . . . 6 (!‘0) ∈ ℝ
2726leidi 8024 . . . . 5 (!‘0) ≤ (!‘0)
2823, 27syl6eqbr 3888 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) ≤ (!‘0))
29 impexp 260 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))))
30 simpl 108 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3130nn0zd 8927 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
32 peano2nn0 8774 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
3332adantl 272 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
3433nn0zd 8927 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
35 zleloe 8858 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1))))
3631, 34, 35syl2anc 404 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1))))
37 nn0leltp1 8874 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑘𝑀 < (𝑘 + 1)))
38 faccl 10204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3938nnred 8496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
40 nn0re 8743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
41 peano2re 7679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
4240, 41syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
4338nnnn0d 8787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ0)
4443nn0ge0d 8790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑘))
45 nn0p1nn 8773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
4645nnge1d 8526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (𝑘 + 1))
4739, 42, 44, 46lemulge11d 8459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
48 facp1 10199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
4947, 48breqtrrd 3877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
5049adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
51 faccl 10204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
5251nnred 8496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
5352adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
5439adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
5532faccld 10205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
5655nnred 8496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
5756adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
58 letr 7629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → (((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) ∧ (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1))) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
5953, 54, 57, 58syl3anc 1175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) ∧ (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1))) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
6050, 59mpan2d 420 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
6160imim2d 54 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
6261com23 78 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑘 → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
6337, 62sylbird 169 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
64 fveq2 5318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)))
6552leidd 8053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑀))
66 breq2 3855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑀) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
6765, 66syl5ibcom 154 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
6864, 67syl5 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
6968adantr 271 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
7069a1dd 48 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 = (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
7163, 70jaod 673 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1)) → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
7236, 71sylbid 149 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
7372ex 114 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
7473com13 80 . . . . . . . 8 (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
7574com4l 84 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
7675a2d 26 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
7776imp4a 342 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
7829, 77syl5bi 151 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
795, 10, 15, 20, 28, 78nn0ind 8921 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁)))
80793impib 1142 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))
81803com12 1148 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 665   ∧ w3a 925   = wceq 1290   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3851  ‘cfv 5028  (class class class)co 5666  ℝcr 7410  0cc0 7411  1c1 7412   + caddc 7414   · cmul 7416   < clt 7583   ≤ cle 7584  ℕ0cn0 8734  ℤcz 8811  !cfa 10194 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-iseq 9914  df-fac 10195 This theorem is referenced by:  facavg  10215
 Copyright terms: Public domain W3C validator