Theorem facwordi 10209

Description: Ordering property of factorial. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facwordi	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem facwordi

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3855	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 0))
2	1	anbi2d 453	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0)))
3		fveq2 5318	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
4	3	breq2d 3863	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘0)))
5	2, 4	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) ≤ (!‘0))))
6		breq2 3855	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑘))
7	6	anbi2d 453	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
8		fveq2 5318	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
9	8	breq2d 3863	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)))
10	7, 9	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))))
11		breq2 3855	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
12	11	anbi2d 453	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))))
13		fveq2 5318	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
14	13	breq2d 3863	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
15	12, 14	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
16		breq2 3855	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
17	16	anbi2d 453	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
18		fveq2 5318	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (!‘𝑗) = (!‘𝑁))
19	18	breq2d 3863	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁)))
20	17, 19	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))))
21		nn0le0eq0 8762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 0 ↔ 𝑀 = 0))
22	21	biimpa 291	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0) → 𝑀 = 0)
23	22	fveq2d 5322	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) = (!‘0))
24		fac0 10197	. . . . . . 7 ⊢ (!‘0) = 1
25		1re 7548	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
26	24, 25	eqeltri 2161	. . . . . 6 ⊢ (!‘0) ∈ ℝ
27	26	leidi 8024	. . . . 5 ⊢ (!‘0) ≤ (!‘0)
28	23, 27	syl6eqbr 3888	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) ≤ (!‘0))
29		impexp 260	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))))
30		simpl 108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
31	30	nn0zd 8927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
32		peano2nn0 8774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
33	32	adantl 272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
34	33	nn0zd 8927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
35		zleloe 8858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1))))
36	31, 34, 35	syl2anc 404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1))))
37		nn0leltp1 8874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ 𝑀 < (𝑘 + 1)))
38		faccl 10204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
39	38	nnred 8496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
40		nn0re 8743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
41		peano2re 7679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
43	38	nnnn0d 8787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ0)
44	43	nn0ge0d 8790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑘))
45		nn0p1nn 8773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
46	45	nnge1d 8526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (𝑘 + 1))
47	39, 42, 44, 46	lemulge11d 8459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
48		facp1 10199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
49	47, 48	breqtrrd 3877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
50	49	adantl 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
51		faccl 10204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
52	51	nnred 8496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
53	52	adantr 271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
54	39	adantl 272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
55	32	faccld 10205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
56	55	nnred 8496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
57	56	adantl 272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
58		letr 7629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → (((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) ∧ (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1))) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
59	53, 54, 57, 58	syl3anc 1175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) ∧ (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1))) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
60	50, 59	mpan2d 420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
61	60	imim2d 54	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
62	61	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑘 → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
63	37, 62	sylbird 169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
64		fveq2 5318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)))
65	52	leidd 8053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑀))
66		breq2 3855	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑀) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
67	65, 66	syl5ibcom 154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
68	64, 67	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
69	68	adantr 271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
70	69	a1dd 48	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
71	63, 70	jaod 673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1)) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
72	36, 71	sylbid 149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
73	72	ex 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
74	73	com13 80	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
75	74	com4l 84	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
76	75	a2d 26	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
77	76	imp4a 342	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
78	29, 77	syl5bi 151	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
79	5, 10, 15, 20, 28, 78	nn0ind 8921	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁)))
80	79	3impib 1142	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))
81	80	3com12 1148	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 665   ∧ w3a 925   = wceq 1290   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3851  ‘cfv 5028  (class class class)co 5666  ℝcr 7410  0cc0 7411  1c1 7412   + caddc 7414   · cmul 7416   < clt 7583   ≤ cle 7584  ℕ₀cn0 8734  ℤcz 8811  !cfa 10194

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-iseq 9914  df-fac 10195

This theorem is referenced by:  facavg  10215