ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  facwordi GIF version

Theorem facwordi 10674
Description: Ordering property of factorial. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facwordi ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem facwordi
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3993 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝑀𝑗𝑀 ≤ 0))
21anbi2d 461 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ 0)))
3 fveq2 5496 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
43breq2d 4001 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘0)))
52, 4imbi12d 233 . . . 4 (𝑗 = 0 → (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) ≤ (!‘0))))
6 breq2 3993 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝑀𝑗𝑀𝑘))
76anbi2d 461 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑘)))
8 fveq2 5496 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
98breq2d 4001 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)))
107, 9imbi12d 233 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))))
11 breq2 3993 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀𝑗𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
1211anbi2d 461 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑘 + 1))))
13 fveq2 5496 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
1413breq2d 4001 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
1512, 14imbi12d 233 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
16 breq2 3993 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝑀𝑗𝑀𝑁))
1716anbi2d 461 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
18 fveq2 5496 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (!‘𝑗) = (!‘𝑁))
1918breq2d 4001 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁)))
2017, 19imbi12d 233 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))))
21 nn0le0eq0 9163 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 0 ↔ 𝑀 = 0))
2221biimpa 294 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ 0) → 𝑀 = 0)
2322fveq2d 5500 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) = (!‘0))
24 fac0 10662 . . . . . . 7 (!‘0) = 1
25 1re 7919 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
2624, 25eqeltri 2243 . . . . . 6 (!‘0) ∈ ℝ
2726leidi 8404 . . . . 5 (!‘0) ≤ (!‘0)
2823, 27eqbrtrdi 4028 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) ≤ (!‘0))
29 impexp 261 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))))
30 simpl 108 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3130nn0zd 9332 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
32 peano2nn0 9175 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
3332adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
3433nn0zd 9332 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
35 zleloe 9259 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1))))
3631, 34, 35syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1))))
37 nn0leltp1 9275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑘𝑀 < (𝑘 + 1)))
38 faccl 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3938nnred 8891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
40 nn0re 9144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
41 peano2re 8055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
4240, 41syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
4338nnnn0d 9188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ0)
4443nn0ge0d 9191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑘))
45 nn0p1nn 9174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
4645nnge1d 8921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (𝑘 + 1))
4739, 42, 44, 46lemulge11d 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
48 facp1 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
4947, 48breqtrrd 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
5049adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
51 faccl 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
5251nnred 8891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
5352adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
5439adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
5532faccld 10670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
5655nnred 8891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
5756adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
58 letr 8002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → (((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) ∧ (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1))) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
5953, 54, 57, 58syl3anc 1233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) ∧ (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1))) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
6050, 59mpan2d 426 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
6160imim2d 54 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
6261com23 78 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑘 → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
6337, 62sylbird 169 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
64 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)))
6552leidd 8433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑀))
66 breq2 3993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑀) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
6765, 66syl5ibcom 154 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
6864, 67syl5 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
6968adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
7069a1dd 48 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 = (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
7163, 70jaod 712 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1)) → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
7236, 71sylbid 149 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
7372ex 114 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
7473com13 80 . . . . . . . 8 (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
7574com4l 84 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
7675a2d 26 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
7776imp4a 347 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
7829, 77syl5bi 151 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
795, 10, 15, 20, 28, 78nn0ind 9326 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁)))
80793impib 1196 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))
81803com12 1202 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 703  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141   class class class wbr 3989  cfv 5198  (class class class)co 5853  cr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779   < clt 7954  cle 7955  0cn0 9135  cz 9212  !cfa 10659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-seqfrec 10402  df-fac 10660
This theorem is referenced by:  facavg  10680
  Copyright terms: Public domain W3C validator