Theorem facwordi 10992

Description: Ordering property of factorial. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facwordi	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem facwordi

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4090	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 0))
2	1	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0)))
3		fveq2 5635	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
4	3	breq2d 4098	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘0)))
5	2, 4	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) ≤ (!‘0))))
6		breq2 4090	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑘))
7	6	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
8		fveq2 5635	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
9	8	breq2d 4098	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)))
10	7, 9	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))))
11		breq2 4090	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
12	11	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))))
13		fveq2 5635	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
14	13	breq2d 4098	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
15	12, 14	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
16		breq2 4090	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
17	16	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
18		fveq2 5635	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (!‘𝑗) = (!‘𝑁))
19	18	breq2d 4098	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁)))
20	17, 19	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))))
21		nn0le0eq0 9420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 0 ↔ 𝑀 = 0))
22	21	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0) → 𝑀 = 0)
23	22	fveq2d 5639	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) = (!‘0))
24		fac0 10980	. . . . . . 7 ⊢ (!‘0) = 1
25		1re 8168	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
26	24, 25	eqeltri 2302	. . . . . 6 ⊢ (!‘0) ∈ ℝ
27	26	leidi 8655	. . . . 5 ⊢ (!‘0) ≤ (!‘0)
28	23, 27	eqbrtrdi 4125	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) ≤ (!‘0))
29		impexp 263	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))))
30		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
31	30	nn0zd 9590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
32		peano2nn0 9432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
33	32	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
34	33	nn0zd 9590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
35		zleloe 9516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1))))
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1))))
37		nn0leltp1 9533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ 𝑀 < (𝑘 + 1)))
38		faccl 10987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
39	38	nnred 9146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
40		nn0re 9401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
41		peano2re 8305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
43	38	nnnn0d 9445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ0)
44	43	nn0ge0d 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑘))
45		nn0p1nn 9431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
46	45	nnge1d 9176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (𝑘 + 1))
47	39, 42, 44, 46	lemulge11d 9107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
48		facp1 10982	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
49	47, 48	breqtrrd 4114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
50	49	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
51		faccl 10987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
52	51	nnred 9146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
53	52	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
54	39	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
55	32	faccld 10988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
56	55	nnred 9146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
58		letr 8252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → (((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) ∧ (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1))) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
59	53, 54, 57, 58	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) ∧ (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1))) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
60	50, 59	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
61	60	imim2d 54	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
62	61	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑘 → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
63	37, 62	sylbird 170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
64		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)))
65	52	leidd 8684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑀))
66		breq2 4090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑀) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
67	65, 66	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
68	64, 67	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
70	69	a1dd 48	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
71	63, 70	jaod 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1)) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
72	36, 71	sylbid 150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
73	72	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
74	73	com13 80	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
75	74	com4l 84	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
76	75	a2d 26	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
77	76	imp4a 349	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
78	29, 77	biimtrid 152	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
79	5, 10, 15, 20, 28, 78	nn0ind 9584	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁)))
80	79	3impib 1225	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))
81	80	3com12 1231	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℝcr 8021  0cc0 8022  1c1 8023   + caddc 8025   · cmul 8027   < clt 8204   ≤ cle 8205  ℕ₀cn0 9392  ℤcz 9469  !cfa 10977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-seqfrec 10700  df-fac 10978

This theorem is referenced by:  facavg  10998