ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rpabscxpbnd GIF version

Theorem rpabscxpbnd 14444
Description: Bound on the absolute value of a complex power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
rpabscxpbnd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
abscxpbnd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
rpabscxpbnd.3 (๐œ‘ โ†’ 0 < (โ„œโ€˜๐ต))
abscxpbnd.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
abscxpbnd.5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘€)
Assertion
Ref Expression
rpabscxpbnd (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘๐ต)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))))

Proof of Theorem rpabscxpbnd
StepHypRef Expression
1 rpabscxpbnd.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
2 abscxpbnd.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 rpcxpef 14400 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ต) = (expโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด))))
41, 2, 3syl2anc 411 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ต) = (expโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด))))
54fveq2d 5521 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘๐ต)) = (absโ€˜(expโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด)))))
61relogcld 14388 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
76recnd 7988 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
82, 7mulcld 7980 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
9 absef 11779 . . . 4 ((๐ต ยท (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด)))) = (expโ€˜(โ„œโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด)))))
108, 9syl 14 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด)))) = (expโ€˜(โ„œโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด)))))
112recld 10949 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
127recld 10949 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1311, 12remulcld 7990 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
1413recnd 7988 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
152imcld 10950 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
167imcld 10950 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1716renegcld 8339 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1815, 17remulcld 7990 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
1918recnd 7988 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
20 efadd 11685 . . . . 5 ((((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚ โˆง ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜(((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) + ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))) = ((expโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด)))) ยท (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
2114, 19, 20syl2anc 411 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) + ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))) = ((expโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด)))) ยท (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
2215, 16remulcld 7990 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
2322recnd 7988 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
2414, 23negsubd 8276 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) + -((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
2515recnd 7988 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
2616recnd 7988 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
2725, 26mulneg2d 8371 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = -((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
2827oveq2d 5893 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) + ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) + -((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
292, 7remuld 10974 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด))) = (((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
3024, 28, 293eqtr4d 2220 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) + ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (โ„œโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด))))
3130fveq2d 5521 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) + ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))) = (expโ€˜(โ„œโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด)))))
326rered 10980 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด)) = (logโ€˜๐ด))
331rpred 9698 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
341rpge0d 9702 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
3533, 34absidd 11178 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) = ๐ด)
3635fveq2d 5521 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜(absโ€˜๐ด)) = (logโ€˜๐ด))
3732, 36eqtr4d 2213 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด)) = (logโ€˜(absโ€˜๐ด)))
3837oveq2d 5893 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) = ((โ„œโ€˜๐ต) ยท (logโ€˜(absโ€˜๐ด))))
3938fveq2d 5521 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (expโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) ยท (logโ€˜(absโ€˜๐ด)))))
4035, 1eqeltrd 2254 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
4111recnd 7988 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
42 rpcxpef 14400 . . . . . . 7 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+ โˆง (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) = (expโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) ยท (logโ€˜(absโ€˜๐ด)))))
4340, 41, 42syl2anc 411 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) = (expโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) ยท (logโ€˜(absโ€˜๐ด)))))
4439, 43eqtr4d 2213 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด)))) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)))
4544oveq1d 5892 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((expโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด)))) ยท (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
4621, 31, 453eqtr3d 2218 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(โ„œโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด)))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
475, 10, 463eqtrd 2214 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘๐ต)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
4840, 11rpcxpcld 14437 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„+)
4948rpred 9698 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
5018reefcld 11679 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„)
5149, 50remulcld 7990 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„)
52 abscxpbnd.4 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
53 abscxpbnd.5 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘€)
5452, 40, 53rpgecld 9738 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
5554, 11rpcxpcld 14437 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„+)
5655rpred 9698 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
5756, 50remulcld 7990 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„)
582abscld 11192 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
59 pire 14292 . . . . . 6 ฯ€ โˆˆ โ„
60 remulcl 7941 . . . . . 6 (((absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€) โˆˆ โ„)
6158, 59, 60sylancl 413 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€) โˆˆ โ„)
6261reefcld 11679 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€)) โˆˆ โ„)
6356, 62remulcld 7990 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))) โˆˆ โ„)
6418rpefcld 11696 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„+)
6564rpge0d 9702 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
661rpcnd 9700 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
671rpap0d 9704 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)
6866, 67absrpclapd 11199 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
6952, 68, 53rpgecld 9738 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
70 rpabscxpbnd.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 < (โ„œโ€˜๐ต))
7111, 70elrpd 9695 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„+)
72 rpcxple2 14423 . . . . . 6 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+ โˆง (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„+) โ†’ ((absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘€ โ†” ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) โ‰ค (๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต))))
7368, 69, 71, 72syl3anc 1238 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘€ โ†” ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) โ‰ค (๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต))))
7453, 73mpbid 147 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) โ‰ค (๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)))
7549, 56, 50, 65, 74lemul1ad 8898 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
7655rpge0d 9702 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)))
7725abscld 11192 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
7817recnd 7988 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
7978abscld 11192 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
8077, 79remulcld 7990 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) ยท (absโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„)
8118leabsd 11172 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค (absโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
8225, 78absmuld 11205 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = ((absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) ยท (absโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
8381, 82breqtrd 4031 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ((absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) ยท (absโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
8458, 79remulcld 7990 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ต) ยท (absโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„)
8578absge0d 11195 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
86 absimle 11095 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โ‰ค (absโ€˜๐ต))
872, 86syl 14 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โ‰ค (absโ€˜๐ต))
8877, 58, 79, 85, 87lemul1ad 8898 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) ยท (absโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) โ‰ค ((absโ€˜๐ต) ยท (absโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
8959a1i 9 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„)
902absge0d 11195 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ต))
9126absnegd 11200 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
9259renegcli 8221 . . . . . . . . . . . 12 -ฯ€ โˆˆ โ„
93 0re 7959 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„
94 pipos 14294 . . . . . . . . . . . . 13 0 < ฯ€
95 lt0neg2 8428 . . . . . . . . . . . . . 14 (ฯ€ โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ฯ€ โ†” -ฯ€ < 0))
9659, 95ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (0 < ฯ€ โ†” -ฯ€ < 0)
9794, 96mpbi 145 . . . . . . . . . . . 12 -ฯ€ < 0
9892, 93, 97ltleii 8062 . . . . . . . . . . 11 -ฯ€ โ‰ค 0
996reim0d 10981 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) = 0)
10098, 99breqtrrid 4043 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ -ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
10193, 59, 94ltleii 8062 . . . . . . . . . . 11 0 โ‰ค ฯ€
10299, 101eqbrtrdi 4044 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€)
103 absle 11100 . . . . . . . . . . 11 (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€ โ†” (-ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€)))
10416, 59, 103sylancl 413 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€ โ†” (-ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€)))
105100, 102, 104mpbir2and 944 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€)
10691, 105eqbrtrd 4027 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€)
10779, 89, 58, 90, 106lemul2ad 8899 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ต) ยท (absโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) โ‰ค ((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))
10880, 84, 61, 88, 107letrd 8083 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) ยท (absโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) โ‰ค ((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))
10918, 80, 61, 83, 108letrd 8083 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))
110 efle 14282 . . . . . 6 ((((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€) โˆˆ โ„) โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€) โ†” (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) โ‰ค (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))))
11118, 61, 110syl2anc 411 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€) โ†” (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) โ‰ค (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))))
112109, 111mpbid 147 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) โ‰ค (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€)))
11350, 62, 56, 76, 112lemul2ad 8899 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))))
11451, 57, 63, 75, 113letrd 8083 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))))
11547, 114eqbrtrd 4027 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘๐ต)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  โ„cr 7812  0cc0 7813   + caddc 7816   ยท cmul 7818   < clt 7994   โ‰ค cle 7995   โˆ’ cmin 8130  -cneg 8131  โ„+crp 9655  โ„œcre 10851  โ„‘cim 10852  abscabs 11008  expce 11652  ฯ€cpi 11657  logclog 14362  โ†‘๐‘ccxp 14363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933  ax-pre-suploc 7934  ax-addf 7935  ax-mulf 7936
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-disj 3983  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-of 6085  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-map 6652  df-pm 6653  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-9 8987  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-xadd 9775  df-ioo 9894  df-ioc 9895  df-ico 9896  df-icc 9897  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-fac 10708  df-bc 10730  df-ihash 10758  df-shft 10826  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364  df-ef 11658  df-e 11659  df-sin 11660  df-cos 11661  df-pi 11663  df-rest 12695  df-topgen 12714  df-psmet 13532  df-xmet 13533  df-met 13534  df-bl 13535  df-mopn 13536  df-top 13583  df-topon 13596  df-bases 13628  df-ntr 13681  df-cn 13773  df-cnp 13774  df-tx 13838  df-cncf 14143  df-limced 14210  df-dvap 14211  df-relog 14364  df-rpcxp 14365
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator