Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rpabscxpbnd GIF version

Theorem rpabscxpbnd 13103
 Description: Bound on the absolute value of a complex power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
rpabscxpbnd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
abscxpbnd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
rpabscxpbnd.3 (𝜑 → 0 < (ℜ‘𝐵))
abscxpbnd.4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abscxpbnd.5 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
rpabscxpbnd (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))

Proof of Theorem rpabscxpbnd
StepHypRef Expression
1 rpabscxpbnd.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 abscxpbnd.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 rpcxpef 13059 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
41, 2, 3syl2anc 409 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
54fveq2d 5437 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) = (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
61relogcld 13047 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
76recnd 7847 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
82, 7mulcld 7839 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
9 absef 11548 . . . 4 ((𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
108, 9syl 14 . . 3 (𝜑 → (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
112recld 10771 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
127recld 10771 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
1311, 12remulcld 7849 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
1413recnd 7847 . . . . 5 (𝜑 → ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
152imcld 10772 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
167imcld 10772 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
1716renegcld 8195 . . . . . . 7 (𝜑 → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
1815, 17remulcld 7849 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
1918recnd 7847 . . . . 5 (𝜑 → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
20 efadd 11454 . . . . 5 ((((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ) → (exp‘(((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) = ((exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
2114, 19, 20syl2anc 409 . . . 4 (𝜑 → (exp‘(((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) = ((exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
2215, 16remulcld 7849 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
2322recnd 7847 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
2414, 23negsubd 8132 . . . . . 6 (𝜑 → (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + -((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) − ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴)))))
2515recnd 7847 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
2616recnd 7847 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
2725, 26mulneg2d 8227 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) = -((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴))))
2827oveq2d 5802 . . . . . 6 (𝜑 → (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + -((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴)))))
292, 7remuld 10796 . . . . . 6 (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴))) = (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) − ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴)))))
3024, 28, 293eqtr4d 2184 . . . . 5 (𝜑 → (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
3130fveq2d 5437 . . . 4 (𝜑 → (exp‘(((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) = (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
326rered 10802 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℜ‘(log‘𝐴)) = (log‘𝐴))
331rpred 9542 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
341rpge0d 9546 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3533, 34absidd 11000 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)
3635fveq2d 5437 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘(abs‘𝐴)) = (log‘𝐴))
3732, 36eqtr4d 2177 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘(log‘𝐴)) = (log‘(abs‘𝐴)))
3837oveq2d 5802 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐵) · (log‘(abs‘𝐴))))
3938fveq2d 5437 . . . . . 6 (𝜑 → (exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) = (exp‘((ℜ‘𝐵) · (log‘(abs‘𝐴)))))
4035, 1eqeltrd 2218 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
4111recnd 7847 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
42 rpcxpef 13059 . . . . . . 7 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) = (exp‘((ℜ‘𝐵) · (log‘(abs‘𝐴)))))
4340, 41, 42syl2anc 409 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) = (exp‘((ℜ‘𝐵) · (log‘(abs‘𝐴)))))
4439, 43eqtr4d 2177 . . . . 5 (𝜑 → (exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) = ((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)))
4544oveq1d 5801 . . . 4 (𝜑 → ((exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) = (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
4621, 31, 453eqtr3d 2182 . . 3 (𝜑 → (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
475, 10, 463eqtrd 2178 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) = (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
4840, 11rpcxpcld 13096 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ+)
4948rpred 9542 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
5018reefcld 11448 . . . 4 (𝜑 → (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ∈ ℝ)
5149, 50remulcld 7849 . . 3 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ∈ ℝ)
52 abscxpbnd.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
53 abscxpbnd.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝑀)
5452, 40, 53rpgecld 9582 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
5554, 11rpcxpcld 13096 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ+)
5655rpred 9542 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
5756, 50remulcld 7849 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ∈ ℝ)
582abscld 11014 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
59 pire 12951 . . . . . 6 π ∈ ℝ
60 remulcl 7801 . . . . . 6 (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘𝐵) · π) ∈ ℝ)
6158, 59, 60sylancl 410 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘𝐵) · π) ∈ ℝ)
6261reefcld 11448 . . . 4 (𝜑 → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) ∈ ℝ)
6356, 62remulcld 7849 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))) ∈ ℝ)
6418rpefcld 11465 . . . . 5 (𝜑 → (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ∈ ℝ+)
6564rpge0d 9546 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))))
661rpcnd 9544 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
671rpap0d 9548 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 # 0)
6866, 67absrpclapd 11021 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
6952, 68, 53rpgecld 9582 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
70 rpabscxpbnd.3 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < (ℜ‘𝐵))
7111, 70elrpd 9539 . . . . . 6 (𝜑 → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ+)
72 rpcxple2 13082 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝑀 ↔ ((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) ≤ (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵))))
7368, 69, 71, 72syl3anc 1217 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝑀 ↔ ((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) ≤ (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵))))
7453, 73mpbid 146 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) ≤ (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)))
7549, 56, 50, 65, 74lemul1ad 8750 . . 3 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
7655rpge0d 9546 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)))
7725abscld 11014 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
7817recnd 7847 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
7978abscld 11014 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
8077, 79remulcld 7849 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ∈ ℝ)
8118leabsd 10994 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ (abs‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))))
8225, 78absmuld 11027 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) = ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))))
8381, 82breqtrd 3964 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))))
8458, 79remulcld 7849 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘𝐵) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ∈ ℝ)
8578absge0d 11017 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴))))
86 absimle 10917 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ≤ (abs‘𝐵))
872, 86syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ≤ (abs‘𝐵))
8877, 58, 79, 85, 87lemul1ad 8750 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐵) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))))
8959a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → π ∈ ℝ)
902absge0d 11017 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐵))
9126absnegd 11022 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) = (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
9259renegcli 8077 . . . . . . . . . . . 12 -π ∈ ℝ
93 0re 7819 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
94 pipos 12953 . . . . . . . . . . . . 13 0 < π
95 lt0neg2 8284 . . . . . . . . . . . . . 14 (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
9659, 95ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (0 < π ↔ -π < 0)
9794, 96mpbi 144 . . . . . . . . . . . 12 -π < 0
9892, 93, 97ltleii 7919 . . . . . . . . . . 11 -π ≤ 0
996reim0d 10803 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) = 0)
10098, 99breqtrrid 3976 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
10193, 59, 94ltleii 7919 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ π
10299, 101eqbrtrdi 3977 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
103 absle 10922 . . . . . . . . . . 11 (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π ↔ (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)))
10416, 59, 103sylancl 410 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π ↔ (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)))
105100, 102, 104mpbir2and 929 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
10691, 105eqbrtrd 3960 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
10779, 89, 58, 90, 106lemul2ad 8751 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘𝐵) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐵) · π))
10880, 84, 61, 88, 107letrd 7939 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐵) · π))
10918, 80, 61, 83, 108letrd 7939 . . . . 5 (𝜑 → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ ((abs‘𝐵) · π))
110 efle 12941 . . . . . 6 ((((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐵) · π) ∈ ℝ) → (((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ ((abs‘𝐵) · π) ↔ (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
11118, 61, 110syl2anc 409 . . . . 5 (𝜑 → (((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ ((abs‘𝐵) · π) ↔ (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
112109, 111mpbid 146 . . . 4 (𝜑 → (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ (exp‘((abs‘𝐵) · π)))
11350, 62, 56, 76, 112lemul2ad 8751 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
11451, 57, 63, 75, 113letrd 7939 . 2 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
11547, 114eqbrtrd 3960 1 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 2112   class class class wbr 3939  ‘cfv 5135  (class class class)co 5786  ℂcc 7671  ℝcr 7672  0cc0 7673   + caddc 7676   · cmul 7678   < clt 7853   ≤ cle 7854   − cmin 7986  -cneg 7987  ℝ+crp 9499  ℜcre 10673  ℑcim 10674  abscabs 10830  expce 11421  πcpi 11426  logclog 13021  ↑𝑐ccxp 13022 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2114  ax-14 2115  ax-ext 2123  ax-coll 4053  ax-sep 4056  ax-nul 4064  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-iinf 4513  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765  ax-1cn 7766  ax-1re 7767  ax-icn 7768  ax-addcl 7769  ax-addrcl 7770  ax-mulcl 7771  ax-mulrcl 7772  ax-addcom 7773  ax-mulcom 7774  ax-addass 7775  ax-mulass 7776  ax-distr 7777  ax-i2m1 7778  ax-0lt1 7779  ax-1rid 7780  ax-0id 7781  ax-rnegex 7782  ax-precex 7783  ax-cnre 7784  ax-pre-ltirr 7785  ax-pre-ltwlin 7786  ax-pre-lttrn 7787  ax-pre-apti 7788  ax-pre-ltadd 7789  ax-pre-mulgt0 7790  ax-pre-mulext 7791  ax-arch 7792  ax-caucvg 7793  ax-pre-suploc 7794  ax-addf 7795  ax-mulf 7796 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1732  df-eu 1993  df-mo 1994  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-nel 2406  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rmo 2426  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-csb 3010  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-nul 3371  df-if 3482  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-int 3782  df-iun 3825  df-disj 3917  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-tr 4037  df-id 4226  df-po 4229  df-iso 4230  df-iord 4299  df-on 4301  df-ilim 4302  df-suc 4304  df-iom 4516  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-f1 5140  df-fo 5141  df-f1o 5142  df-fv 5143  df-isom 5144  df-riota 5742  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-of 5994  df-1st 6050  df-2nd 6051  df-recs 6214  df-irdg 6279  df-frec 6300  df-1o 6325  df-oadd 6329  df-er 6441  df-map 6556  df-pm 6557  df-en 6647  df-dom 6648  df-fin 6649  df-sup 6888  df-inf 6889  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-ltxr 7858  df-le 7859  df-sub 7988  df-neg 7989  df-reap 8390  df-ap 8397  df-div 8486  df-inn 8774  df-2 8832  df-3 8833  df-4 8834  df-5 8835  df-6 8836  df-7 8837  df-8 8838  df-9 8839  df-n0 9031  df-z 9108  df-uz 9380  df-q 9468  df-rp 9500  df-xneg 9618  df-xadd 9619  df-ioo 9734  df-ioc 9735  df-ico 9736  df-icc 9737  df-fz 9851  df-fzo 9980  df-seqfrec 10279  df-exp 10353  df-fac 10533  df-bc 10555  df-ihash 10583  df-shft 10648  df-cj 10675  df-re 10676  df-im 10677  df-rsqrt 10831  df-abs 10832  df-clim 11109  df-sumdc 11184  df-ef 11427  df-e 11428  df-sin 11429  df-cos 11430  df-pi 11432  df-rest 12197  df-topgen 12216  df-psmet 12231  df-xmet 12232  df-met 12233  df-bl 12234  df-mopn 12235  df-top 12240  df-topon 12253  df-bases 12285  df-ntr 12340  df-cn 12432  df-cnp 12433  df-tx 12497  df-cncf 12802  df-limced 12869  df-dvap 12870  df-relog 13023  df-rpcxp 13024 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator