Theorem resqrexlemlo 11545

Description: Lemma for resqrex 11558. A (variable) lower bound for each term of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemlo	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemlo

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6018	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 1 → (2↑𝑤) = (2↑1))
2	1	oveq2d 6026	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑1)))
3		fveq2 5632	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘1))
4	2, 3	breq12d 4096	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 1 → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤) ↔ (1 / (2↑1)) < (𝐹‘1)))
5	4	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑1)) < (𝐹‘1))))
6		oveq2 6018	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (2↑𝑤) = (2↑𝑘))
7	6	oveq2d 6026	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑𝑘)))
8		fveq2 5632	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑘))
9	7, 8	breq12d 4096	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤) ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)))
10	9	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘))))
11		oveq2 6018	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑤) = (2↑(𝑘 + 1)))
12	11	oveq2d 6026	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑(𝑘 + 1))))
13		fveq2 5632	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
14	12, 13	breq12d 4096	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤) ↔ (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
16		oveq2 6018	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (2↑𝑤) = (2↑𝑁))
17	16	oveq2d 6026	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑𝑁)))
18		fveq2 5632	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑁))
19	17, 18	breq12d 4096	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤) ↔ (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁)))
20	19	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁))))
21		2cnd 9199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
22	21	exp1d 10907	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑1) = 2)
23		2rp 9871	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
24	22, 23	eqeltrdi 2320	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑1) ∈ ℝ+)
25	24	rprecred 9921	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑1)) ∈ ℝ)
26		1red 8177	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
27		resqrexlemex.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
28	26, 27	readdcld 8192	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
29	22	oveq2d 6026	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑1)) = (1 / 2))
30		halflt1 9344	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) < 1
31	29, 30	eqbrtrdi 4122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑1)) < 1)
32		resqrexlemex.agt0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
33	26, 27	addge01d 8696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 1 ≤ (1 + 𝐴)))
34	32, 33	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (1 + 𝐴))
35	25, 26, 28, 31, 34	ltletrd 8586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑1)) < (1 + 𝐴))
36		resqrexlemex.seq	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
37	36, 27, 32	resqrexlemf1 11540	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (1 + 𝐴))
38	35, 37	breqtrrd 4111	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑1)) < (𝐹‘1))
39	23	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → 2 ∈ ℝ+)
40		nnz 9481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
42	39, 41	rpexpcld 10936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
43	42	rpcnd 9911	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
44		2cnd 9199	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → 2 ∈ ℂ)
45	42	rpap0d 9915	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (2↑𝑘) # 0)
46	39	rpap0d 9915	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → 2 # 0)
47	43, 44, 45, 46	recdivap2d 8971	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) = (1 / ((2↑𝑘) · 2)))
48		nnnn0 9392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
49	48	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
50	44, 49	expp1d 10913	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (2↑(𝑘 + 1)) = ((2↑𝑘) · 2))
51	50	oveq2d 6026	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) = (1 / ((2↑𝑘) · 2)))
52	47, 51	eqtr4d 2265	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) = (1 / (2↑(𝑘 + 1))))
53	42	rprecred 9921	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
54	36, 27, 32	resqrexlemf 11539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
55	54	ffvelcdmda 5775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
56	55	rpred 9909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
58	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
59	58, 55	rerpdivcld 9941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
60	59	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐴 / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
61	57, 60	readdcld 8192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
62		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘))
63	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
64	58, 55, 63	divge0d 9950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))
65	56, 59	addge01d 8696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ (𝐴 / (𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))))
66	64, 65	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))
68	53, 57, 61, 62, 67	ltletrd 8586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (1 / (2↑𝑘)) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))
69	53, 61, 39, 68	ltdiv1dd 9967	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) < (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) / 2))
70	36, 27, 32	resqrexlemfp1 11541	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) / 2))
71	70	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) / 2))
72	69, 71	breqtrrd 4111	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
73	52, 72	eqbrtrrd 4107	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
74	73	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
75	74	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
76	75	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (𝜑 → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
77	5, 10, 15, 20, 38, 76	nnind 9142	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁)))
78	77	impcom 125	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {csn 3666   class class class wbr 4083   × cxp 4718  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010   ∈ cmpo 6012  ℝcr 8014  0cc0 8015  1c1 8016   + caddc 8018   · cmul 8020   < clt 8197   ≤ cle 8198   / cdiv 8835  ℕcn 9126  2c2 9177  ℕ₀cn0 9385  ℤcz 9462  ℝ⁺crp 9866  seqcseq 10686  ↑cexp 10777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-rp 9867  df-seqfrec 10687  df-exp 10778

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  11550