Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemlo GIF version

Theorem resqrexlemlo 10792
 Description: Lemma for resqrex 10805. A (variable) lower bound for each term of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemlo ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹𝑁))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemlo
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5782 . . . . . 6 (𝑤 = 1 → (2↑𝑤) = (2↑1))
21oveq2d 5790 . . . . 5 (𝑤 = 1 → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑1)))
3 fveq2 5421 . . . . 5 (𝑤 = 1 → (𝐹𝑤) = (𝐹‘1))
42, 3breq12d 3942 . . . 4 (𝑤 = 1 → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹𝑤) ↔ (1 / (2↑1)) < (𝐹‘1)))
54imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑1)) < (𝐹‘1))))
6 oveq2 5782 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → (2↑𝑤) = (2↑𝑘))
76oveq2d 5790 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑𝑘)))
8 fveq2 5421 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑘))
97, 8breq12d 3942 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹𝑤) ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)))
109imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘))))
11 oveq2 5782 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑤) = (2↑(𝑘 + 1)))
1211oveq2d 5790 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑(𝑘 + 1))))
13 fveq2 5421 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
1412, 13breq12d 3942 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹𝑤) ↔ (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
1514imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
16 oveq2 5782 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → (2↑𝑤) = (2↑𝑁))
1716oveq2d 5790 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑𝑁)))
18 fveq2 5421 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑁))
1917, 18breq12d 3942 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹𝑤) ↔ (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹𝑁)))
2019imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹𝑁))))
21 2cnd 8800 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2221exp1d 10426 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑1) = 2)
23 2rp 9453 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
2422, 23eqeltrdi 2230 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑1) ∈ ℝ+)
2524rprecred 9502 . . . . 5 (𝜑 → (1 / (2↑1)) ∈ ℝ)
26 1red 7788 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
27 resqrexlemex.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2826, 27readdcld 7802 . . . . 5 (𝜑 → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
2922oveq2d 5790 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (2↑1)) = (1 / 2))
30 halflt1 8944 . . . . . 6 (1 / 2) < 1
3129, 30eqbrtrdi 3967 . . . . 5 (𝜑 → (1 / (2↑1)) < 1)
32 resqrexlemex.agt0 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3326, 27addge01d 8302 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 1 ≤ (1 + 𝐴)))
3432, 33mpbid 146 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ (1 + 𝐴))
3525, 26, 28, 31, 34ltletrd 8192 . . . 4 (𝜑 → (1 / (2↑1)) < (1 + 𝐴))
36 resqrexlemex.seq . . . . 5 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
3736, 27, 32resqrexlemf1 10787 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘1) = (1 + 𝐴))
3835, 37breqtrrd 3956 . . 3 (𝜑 → (1 / (2↑1)) < (𝐹‘1))
3923a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → 2 ∈ ℝ+)
40 nnz 9080 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
4140ad2antlr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
4239, 41rpexpcld 10455 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
4342rpcnd 9492 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
44 2cnd 8800 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → 2 ∈ ℂ)
4542rpap0d 9496 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (2↑𝑘) # 0)
4639rpap0d 9496 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → 2 # 0)
4743, 44, 45, 46recdivap2d 8575 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) = (1 / ((2↑𝑘) · 2)))
48 nnnn0 8991 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
4948ad2antlr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5044, 49expp1d 10432 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (2↑(𝑘 + 1)) = ((2↑𝑘) · 2))
5150oveq2d 5790 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) = (1 / ((2↑𝑘) · 2)))
5247, 51eqtr4d 2175 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) = (1 / (2↑(𝑘 + 1))))
5342rprecred 9502 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
5436, 27, 32resqrexlemf 10786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5554ffvelrnda 5555 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
5655rpred 9490 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
5756adantr 274 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
5827adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
5958, 55rerpdivcld 9522 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
6059adantr 274 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (𝐴 / (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
6157, 60readdcld 7802 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → ((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
62 simpr 109 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘))
6332adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
6458, 55, 63divge0d 9531 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / (𝐹𝑘)))
6556, 59addge01d 8302 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ (𝐴 / (𝐹𝑘)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ ((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))))
6664, 65mpbid 146 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ ((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))))
6766adantr 274 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ≤ ((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))))
6853, 57, 61, 62, 67ltletrd 8192 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (1 / (2↑𝑘)) < ((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))))
6953, 61, 39, 68ltdiv1dd 9548 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) < (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) / 2))
7036, 27, 32resqrexlemfp1 10788 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) / 2))
7170adantr 274 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) / 2))
7269, 71breqtrrd 3956 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
7352, 72eqbrtrrd 3952 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
7473ex 114 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
7574expcom 115 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
7675a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (𝜑 → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
775, 10, 15, 20, 38, 76nnind 8743 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹𝑁)))
7877impcom 124 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {csn 3527   class class class wbr 3929   × cxp 4537  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774   ∈ cmpo 5776  ℝcr 7626  0cc0 7627  1c1 7628   + caddc 7630   · cmul 7632   < clt 7807   ≤ cle 7808   / cdiv 8439  ℕcn 8727  2c2 8778  ℕ0cn0 8984  ℤcz 9061  ℝ+crp 9448  seqcseq 10225  ↑cexp 10299 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-rp 9449  df-seqfrec 10226  df-exp 10300 This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  10797
 Copyright terms: Public domain W3C validator