Theorem resqrexlemlo 10964

Description: Lemma for resqrex 10977. A (variable) lower bound for each term of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemlo	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemlo

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5858	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 1 → (2↑𝑤) = (2↑1))
2	1	oveq2d 5866	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑1)))
3		fveq2 5494	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘1))
4	2, 3	breq12d 4000	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 1 → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤) ↔ (1 / (2↑1)) < (𝐹‘1)))
5	4	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑1)) < (𝐹‘1))))
6		oveq2 5858	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (2↑𝑤) = (2↑𝑘))
7	6	oveq2d 5866	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑𝑘)))
8		fveq2 5494	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑘))
9	7, 8	breq12d 4000	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤) ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)))
10	9	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘))))
11		oveq2 5858	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑤) = (2↑(𝑘 + 1)))
12	11	oveq2d 5866	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑(𝑘 + 1))))
13		fveq2 5494	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
14	12, 13	breq12d 4000	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤) ↔ (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
16		oveq2 5858	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (2↑𝑤) = (2↑𝑁))
17	16	oveq2d 5866	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑𝑁)))
18		fveq2 5494	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑁))
19	17, 18	breq12d 4000	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤) ↔ (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁)))
20	19	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁))))
21		2cnd 8938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
22	21	exp1d 10591	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑1) = 2)
23		2rp 9602	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
24	22, 23	eqeltrdi 2261	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑1) ∈ ℝ+)
25	24	rprecred 9652	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑1)) ∈ ℝ)
26		1red 7922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
27		resqrexlemex.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
28	26, 27	readdcld 7936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
29	22	oveq2d 5866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑1)) = (1 / 2))
30		halflt1 9082	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) < 1
31	29, 30	eqbrtrdi 4026	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑1)) < 1)
32		resqrexlemex.agt0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
33	26, 27	addge01d 8439	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 1 ≤ (1 + 𝐴)))
34	32, 33	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (1 + 𝐴))
35	25, 26, 28, 31, 34	ltletrd 8329	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑1)) < (1 + 𝐴))
36		resqrexlemex.seq	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
37	36, 27, 32	resqrexlemf1 10959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (1 + 𝐴))
38	35, 37	breqtrrd 4015	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑1)) < (𝐹‘1))
39	23	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → 2 ∈ ℝ+)
40		nnz 9218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
41	40	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
42	39, 41	rpexpcld 10620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
43	42	rpcnd 9642	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
44		2cnd 8938	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → 2 ∈ ℂ)
45	42	rpap0d 9646	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (2↑𝑘) # 0)
46	39	rpap0d 9646	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → 2 # 0)
47	43, 44, 45, 46	recdivap2d 8712	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) = (1 / ((2↑𝑘) · 2)))
48		nnnn0 9129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
49	48	ad2antlr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
50	44, 49	expp1d 10597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (2↑(𝑘 + 1)) = ((2↑𝑘) · 2))
51	50	oveq2d 5866	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) = (1 / ((2↑𝑘) · 2)))
52	47, 51	eqtr4d 2206	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) = (1 / (2↑(𝑘 + 1))))
53	42	rprecred 9652	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
54	36, 27, 32	resqrexlemf 10958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
55	54	ffvelrnda 5628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
56	55	rpred 9640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
57	56	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
58	27	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
59	58, 55	rerpdivcld 9672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
60	59	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐴 / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
61	57, 60	readdcld 7936	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
62		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘))
63	32	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
64	58, 55, 63	divge0d 9681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))
65	56, 59	addge01d 8439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ (𝐴 / (𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))))
66	64, 65	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))
67	66	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))
68	53, 57, 61, 62, 67	ltletrd 8329	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (1 / (2↑𝑘)) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))
69	53, 61, 39, 68	ltdiv1dd 9698	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) < (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) / 2))
70	36, 27, 32	resqrexlemfp1 10960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) / 2))
71	70	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) / 2))
72	69, 71	breqtrrd 4015	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
73	52, 72	eqbrtrrd 4011	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
74	73	ex 114	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
75	74	expcom 115	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
76	75	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (𝜑 → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
77	5, 10, 15, 20, 38, 76	nnind 8881	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁)))
78	77	impcom 124	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  {csn 3581   class class class wbr 3987   × cxp 4607  ‘cfv 5196  (class class class)co 5850   ∈ cmpo 5852  ℝcr 7760  0cc0 7761  1c1 7762   + caddc 7764   · cmul 7766   < clt 7941   ≤ cle 7942   / cdiv 8576  ℕcn 8865  2c2 8916  ℕ₀cn0 9122  ℤcz 9199  ℝ⁺crp 9597  seqcseq 10388  ↑cexp 10462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-rp 9598  df-seqfrec 10389  df-exp 10463

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  10969