Theorem resqrexlemlo 10446

Description: Lemma for resqrex 10459. A (variable) lower bound for each term of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemlo	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemlo

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5660	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 1 → (2↑𝑤) = (2↑1))
2	1	oveq2d 5668	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑1)))
3		fveq2 5305	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘1))
4	2, 3	breq12d 3858	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 1 → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤) ↔ (1 / (2↑1)) < (𝐹‘1)))
5	4	imbi2d 228	. . 3 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑1)) < (𝐹‘1))))
6		oveq2 5660	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (2↑𝑤) = (2↑𝑘))
7	6	oveq2d 5668	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑𝑘)))
8		fveq2 5305	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑘))
9	7, 8	breq12d 3858	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤) ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)))
10	9	imbi2d 228	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘))))
11		oveq2 5660	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑤) = (2↑(𝑘 + 1)))
12	11	oveq2d 5668	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑(𝑘 + 1))))
13		fveq2 5305	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
14	12, 13	breq12d 3858	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤) ↔ (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 228	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
16		oveq2 5660	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (2↑𝑤) = (2↑𝑁))
17	16	oveq2d 5668	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑𝑁)))
18		fveq2 5305	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑁))
19	17, 18	breq12d 3858	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤) ↔ (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁)))
20	19	imbi2d 228	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁))))
21		2cnd 8495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
22	21	exp1d 10081	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑1) = 2)
23		2rp 9139	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
24	22, 23	syl6eqel 2178	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑1) ∈ ℝ+)
25	24	rprecred 9185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑1)) ∈ ℝ)
26		1red 7503	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
27		resqrexlemex.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
28	26, 27	readdcld 7517	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
29	22	oveq2d 5668	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑1)) = (1 / 2))
30		halflt1 8633	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) < 1
31	29, 30	syl6eqbr 3882	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑1)) < 1)
32		resqrexlemex.agt0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
33	26, 27	addge01d 8010	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 1 ≤ (1 + 𝐴)))
34	32, 33	mpbid 145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (1 + 𝐴))
35	25, 26, 28, 31, 34	ltletrd 7901	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑1)) < (1 + 𝐴))
36		resqrexlemex.seq	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
37	36, 27, 32	resqrexlemf1 10441	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (1 + 𝐴))
38	35, 37	breqtrrd 3871	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑1)) < (𝐹‘1))
39	23	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → 2 ∈ ℝ+)
40		nnz 8769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
41	40	ad2antlr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
42	39, 41	rpexpcld 10110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
43	42	rpcnd 9175	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
44		2cnd 8495	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → 2 ∈ ℂ)
45	42	rpap0d 9179	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (2↑𝑘) # 0)
46	39	rpap0d 9179	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → 2 # 0)
47	43, 44, 45, 46	recdivap2d 8275	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) = (1 / ((2↑𝑘) · 2)))
48		nnnn0 8680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
49	48	ad2antlr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
50	44, 49	expp1d 10087	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (2↑(𝑘 + 1)) = ((2↑𝑘) · 2))
51	50	oveq2d 5668	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) = (1 / ((2↑𝑘) · 2)))
52	47, 51	eqtr4d 2123	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) = (1 / (2↑(𝑘 + 1))))
53	42	rprecred 9185	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
54	36, 27, 32	resqrexlemf 10440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
55	54	ffvelrnda 5434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
56	55	rpred 9173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
57	56	adantr 270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
58	27	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
59	58, 55	rerpdivcld 9205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
60	59	adantr 270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐴 / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
61	57, 60	readdcld 7517	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
62		simpr 108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘))
63	32	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
64	58, 55, 63	divge0d 9214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))
65	56, 59	addge01d 8010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ (𝐴 / (𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))))
66	64, 65	mpbid 145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))
67	66	adantr 270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))
68	53, 57, 61, 62, 67	ltletrd 7901	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (1 / (2↑𝑘)) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))
69	53, 61, 39, 68	ltdiv1dd 9231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) < (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) / 2))
70	36, 27, 32	resqrexlemfp1 10442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) / 2))
71	70	adantr 270	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) / 2))
72	69, 71	breqtrrd 3871	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
73	52, 72	eqbrtrrd 3867	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
74	73	ex 113	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
75	74	expcom 114	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
76	75	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (𝜑 → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
77	5, 10, 15, 20, 38, 76	nnind 8438	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁)))
78	77	impcom 123	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1289   ∈ wcel 1438  {csn 3446   class class class wbr 3845   × cxp 4436  ‘cfv 5015  (class class class)co 5652   ↦ cmpt2 5654  ℝcr 7349  0cc0 7350  1c1 7351   + caddc 7353   · cmul 7355   < clt 7522   ≤ cle 7523   / cdiv 8139  ℕcn 8422  2c2 8473  ℕ₀cn0 8673  ℤcz 8750  ℝ⁺crp 9134  seqcseq 9852  ↑cexp 9954

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-rp 9135  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  10451