ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemlo GIF version
Theorem resqrexlemlo 11021
Description: Lemma for resqrex 11034. A (variable) lower bound for each term of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (β„• Γ— {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemlo ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (1 / (2↑𝑁)) < (πΉβ€˜π‘))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   πœ‘,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)
Proof of Theorem resqrexlemlo
Dummy variables π‘˜ 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5882 . . . . . 6 (𝑀 = 1 β†’ (2↑𝑀) = (2↑1))
21oveq2d 5890 . . . . 5 (𝑀 = 1 β†’ (1 / (2↑𝑀)) = (1 / (2↑1)))
3 fveq2 5515 . . . . 5 (𝑀 = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜1))
42, 3breq12d 4016 . . . 4 (𝑀 = 1 β†’ ((1 / (2↑𝑀)) < (πΉβ€˜π‘€) ↔ (1 / (2↑1)) < (πΉβ€˜1)))
54imbi2d 230 . . 3 (𝑀 = 1 β†’ ((πœ‘ β†’ (1 / (2↑𝑀)) < (πΉβ€˜π‘€)) ↔ (πœ‘ β†’ (1 / (2↑1)) < (πΉβ€˜1))))
6 oveq2 5882 . . . . . 6 (𝑀 = π‘˜ β†’ (2↑𝑀) = (2β†‘π‘˜))
76oveq2d 5890 . . . . 5 (𝑀 = π‘˜ β†’ (1 / (2↑𝑀)) = (1 / (2β†‘π‘˜)))
8 fveq2 5515 . . . . 5 (𝑀 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘˜))
97, 8breq12d 4016 . . . 4 (𝑀 = π‘˜ β†’ ((1 / (2↑𝑀)) < (πΉβ€˜π‘€) ↔ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)))
109imbi2d 230 . . 3 (𝑀 = π‘˜ β†’ ((πœ‘ β†’ (1 / (2↑𝑀)) < (πΉβ€˜π‘€)) ↔ (πœ‘ β†’ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜))))
11 oveq2 5882 . . . . . 6 (𝑀 = (π‘˜ + 1) β†’ (2↑𝑀) = (2↑(π‘˜ + 1)))
1211oveq2d 5890 . . . . 5 (𝑀 = (π‘˜ + 1) β†’ (1 / (2↑𝑀)) = (1 / (2↑(π‘˜ + 1))))
13 fveq2 5515 . . . . 5 (𝑀 = (π‘˜ + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
1412, 13breq12d 4016 . . . 4 (𝑀 = (π‘˜ + 1) β†’ ((1 / (2↑𝑀)) < (πΉβ€˜π‘€) ↔ (1 / (2↑(π‘˜ + 1))) < (πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
1514imbi2d 230 . . 3 (𝑀 = (π‘˜ + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (1 / (2↑𝑀)) < (πΉβ€˜π‘€)) ↔ (πœ‘ β†’ (1 / (2↑(π‘˜ + 1))) < (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))))
16 oveq2 5882 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑁 β†’ (2↑𝑀) = (2↑𝑁))
1716oveq2d 5890 . . . . 5 (𝑀 = 𝑁 β†’ (1 / (2↑𝑀)) = (1 / (2↑𝑁)))
18 fveq2 5515 . . . . 5 (𝑀 = 𝑁 β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘))
1917, 18breq12d 4016 . . . 4 (𝑀 = 𝑁 β†’ ((1 / (2↑𝑀)) < (πΉβ€˜π‘€) ↔ (1 / (2↑𝑁)) < (πΉβ€˜π‘)))
2019imbi2d 230 . . 3 (𝑀 = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ (1 / (2↑𝑀)) < (πΉβ€˜π‘€)) ↔ (πœ‘ β†’ (1 / (2↑𝑁)) < (πΉβ€˜π‘))))
21 2cnd 8991 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
2221exp1d 10648 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2↑1) = 2)
23 2rp 9657 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
2422, 23eqeltrdi 2268 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2↑1) ∈ ℝ+)
2524rprecred 9707 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 / (2↑1)) ∈ ℝ)
26 1red 7971 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
27 resqrexlemex.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2826, 27readdcld 7986 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
2922oveq2d 5890 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 / (2↑1)) = (1 / 2))
30 halflt1 9135 . . . . . 6 (1 / 2) < 1
3129, 30eqbrtrdi 4042 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 / (2↑1)) < 1)
32 resqrexlemex.agt0 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
3326, 27addge01d 8489 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 ≀ 𝐴 ↔ 1 ≀ (1 + 𝐴)))
3432, 33mpbid 147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (1 + 𝐴))
3525, 26, 28, 31, 34ltletrd 8379 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 / (2↑1)) < (1 + 𝐴))
36 resqrexlemex.seq . . . . 5 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (β„• Γ— {(1 + 𝐴)}))
3736, 27, 32resqrexlemf1 11016 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (1 + 𝐴))
3835, 37breqtrrd 4031 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 / (2↑1)) < (πΉβ€˜1))
3923a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ 2 ∈ ℝ+)
40 nnz 9271 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„€)
4140ad2antlr 489 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
4239, 41rpexpcld 10677 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (2β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
4342rpcnd 9697 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (2β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
44 2cnd 8991 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ 2 ∈ β„‚)
4542rpap0d 9701 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (2β†‘π‘˜) # 0)
4639rpap0d 9701 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ 2 # 0)
4743, 44, 45, 46recdivap2d 8764 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ ((1 / (2β†‘π‘˜)) / 2) = (1 / ((2β†‘π‘˜) Β· 2)))
48 nnnn0 9182 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
4948ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
5044, 49expp1d 10654 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (2↑(π‘˜ + 1)) = ((2β†‘π‘˜) Β· 2))
5150oveq2d 5890 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (1 / (2↑(π‘˜ + 1))) = (1 / ((2β†‘π‘˜) Β· 2)))
5247, 51eqtr4d 2213 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ ((1 / (2β†‘π‘˜)) / 2) = (1 / (2↑(π‘˜ + 1))))
5342rprecred 9707 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (1 / (2β†‘π‘˜)) ∈ ℝ)
5436, 27, 32resqrexlemf 11015 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„+)
5554ffvelcdmda 5651 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+)
5655rpred 9695 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5756adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5827adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5958, 55rerpdivcld 9727 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
6059adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
6157, 60readdcld 7986 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
62 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜))
6332adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ 𝐴)
6458, 55, 63divge0d 9736 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))
6556, 59addge01d 8489 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (0 ≀ (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜)))))
6664, 65mpbid 147 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))))
6766adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))))
6853, 57, 61, 62, 67ltletrd 8379 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (1 / (2β†‘π‘˜)) < ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))))
6953, 61, 39, 68ltdiv1dd 9753 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ ((1 / (2β†‘π‘˜)) / 2) < (((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))) / 2))
7036, 27, 32resqrexlemfp1 11017 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))) / 2))
7170adantr 276 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = (((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐴 / (πΉβ€˜π‘˜))) / 2))
7269, 71breqtrrd 4031 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ ((1 / (2β†‘π‘˜)) / 2) < (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
7352, 72eqbrtrrd 4027 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (1 / (2↑(π‘˜ + 1))) < (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
7473ex 115 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (1 / (2↑(π‘˜ + 1))) < (πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
7574expcom 116 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ ((1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (1 / (2↑(π‘˜ + 1))) < (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))))
7675a2d 26 . . 3 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πœ‘ β†’ (1 / (2β†‘π‘˜)) < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (πœ‘ β†’ (1 / (2↑(π‘˜ + 1))) < (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))))
775, 10, 15, 20, 38, 76nnind 8934 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ (1 / (2↑𝑁)) < (πΉβ€˜π‘)))
7877impcom 125 1 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (1 / (2↑𝑁)) < (πΉβ€˜π‘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {csn 3592   class class class wbr 4003   Γ— cxp 4624  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874   ∈ cmpo 5876  β„cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   Β· cmul 7815   < clt 7991   ≀ cle 7992   / cdiv 8628  β„•cn 8918  2c2 8969  β„•0cn0 9175  β„€cz 9252  β„+crp 9652  seqcseq 10444  β†‘cexp 10518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-rp 9653  df-seqfrec 10445  df-exp 10519
This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  11026
  Copyright terms: Public domain W3C validator