ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemlo GIF version

Theorem resqrexlemlo 10507
Description: Lemma for resqrex 10520. A (variable) lower bound for each term of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemlo ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹𝑁))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemlo
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5674 . . . . . 6 (𝑤 = 1 → (2↑𝑤) = (2↑1))
21oveq2d 5682 . . . . 5 (𝑤 = 1 → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑1)))
3 fveq2 5318 . . . . 5 (𝑤 = 1 → (𝐹𝑤) = (𝐹‘1))
42, 3breq12d 3864 . . . 4 (𝑤 = 1 → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹𝑤) ↔ (1 / (2↑1)) < (𝐹‘1)))
54imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑1)) < (𝐹‘1))))
6 oveq2 5674 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → (2↑𝑤) = (2↑𝑘))
76oveq2d 5682 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑𝑘)))
8 fveq2 5318 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑘))
97, 8breq12d 3864 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹𝑤) ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)))
109imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘))))
11 oveq2 5674 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑤) = (2↑(𝑘 + 1)))
1211oveq2d 5682 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑(𝑘 + 1))))
13 fveq2 5318 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
1412, 13breq12d 3864 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹𝑤) ↔ (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
1514imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
16 oveq2 5674 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → (2↑𝑤) = (2↑𝑁))
1716oveq2d 5682 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑𝑁)))
18 fveq2 5318 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑁))
1917, 18breq12d 3864 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹𝑤) ↔ (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹𝑁)))
2019imbi2d 229 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹𝑁))))
21 2cnd 8556 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2221exp1d 10142 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑1) = 2)
23 2rp 9200 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
2422, 23syl6eqel 2179 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑1) ∈ ℝ+)
2524rprecred 9246 . . . . 5 (𝜑 → (1 / (2↑1)) ∈ ℝ)
26 1red 7564 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
27 resqrexlemex.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2826, 27readdcld 7578 . . . . 5 (𝜑 → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
2922oveq2d 5682 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (2↑1)) = (1 / 2))
30 halflt1 8694 . . . . . 6 (1 / 2) < 1
3129, 30syl6eqbr 3888 . . . . 5 (𝜑 → (1 / (2↑1)) < 1)
32 resqrexlemex.agt0 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3326, 27addge01d 8071 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 1 ≤ (1 + 𝐴)))
3432, 33mpbid 146 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ (1 + 𝐴))
3525, 26, 28, 31, 34ltletrd 7962 . . . 4 (𝜑 → (1 / (2↑1)) < (1 + 𝐴))
36 resqrexlemex.seq . . . . 5 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
3736, 27, 32resqrexlemf1 10502 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘1) = (1 + 𝐴))
3835, 37breqtrrd 3877 . . 3 (𝜑 → (1 / (2↑1)) < (𝐹‘1))
3923a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → 2 ∈ ℝ+)
40 nnz 8830 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
4140ad2antlr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
4239, 41rpexpcld 10171 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
4342rpcnd 9236 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
44 2cnd 8556 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → 2 ∈ ℂ)
4542rpap0d 9240 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (2↑𝑘) # 0)
4639rpap0d 9240 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → 2 # 0)
4743, 44, 45, 46recdivap2d 8336 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) = (1 / ((2↑𝑘) · 2)))
48 nnnn0 8741 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
4948ad2antlr 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5044, 49expp1d 10148 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (2↑(𝑘 + 1)) = ((2↑𝑘) · 2))
5150oveq2d 5682 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) = (1 / ((2↑𝑘) · 2)))
5247, 51eqtr4d 2124 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) = (1 / (2↑(𝑘 + 1))))
5342rprecred 9246 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
5436, 27, 32resqrexlemf 10501 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5554ffvelrnda 5448 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
5655rpred 9234 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
5756adantr 271 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
5827adantr 271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
5958, 55rerpdivcld 9266 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
6059adantr 271 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (𝐴 / (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
6157, 60readdcld 7578 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → ((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
62 simpr 109 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘))
6332adantr 271 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
6458, 55, 63divge0d 9275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / (𝐹𝑘)))
6556, 59addge01d 8071 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ (𝐴 / (𝐹𝑘)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ ((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))))
6664, 65mpbid 146 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ ((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))))
6766adantr 271 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ≤ ((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))))
6853, 57, 61, 62, 67ltletrd 7962 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (1 / (2↑𝑘)) < ((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))))
6953, 61, 39, 68ltdiv1dd 9292 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) < (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) / 2))
7036, 27, 32resqrexlemfp1 10503 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) / 2))
7170adantr 271 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) / 2))
7269, 71breqtrrd 3877 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
7352, 72eqbrtrrd 3873 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
7473ex 114 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
7574expcom 115 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
7675a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (𝜑 → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
775, 10, 15, 20, 38, 76nnind 8499 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹𝑁)))
7877impcom 124 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1290  wcel 1439  {csn 3450   class class class wbr 3851   × cxp 4450  cfv 5028  (class class class)co 5666  cmpt2 5668  cr 7410  0cc0 7411  1c1 7412   + caddc 7414   · cmul 7416   < clt 7583  cle 7584   / cdiv 8200  cn 8483  2c2 8534  0cn0 8734  cz 8811  +crp 9195  seqcseq 9913  cexp 10015
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-rp 9196  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016
This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  10512
  Copyright terms: Public domain W3C validator