Theorem resqrexlemlo 11694

Description: Lemma for resqrex 11707. A (variable) lower bound for each term of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemlo	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemlo

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6057	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 1 → (2↑𝑤) = (2↑1))
2	1	oveq2d 6065	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑1)))
3		fveq2 5669	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘1))
4	2, 3	breq12d 4121	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 1 → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤) ↔ (1 / (2↑1)) < (𝐹‘1)))
5	4	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑1)) < (𝐹‘1))))
6		oveq2 6057	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (2↑𝑤) = (2↑𝑘))
7	6	oveq2d 6065	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑𝑘)))
8		fveq2 5669	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑘))
9	7, 8	breq12d 4121	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤) ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)))
10	9	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘))))
11		oveq2 6057	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑤) = (2↑(𝑘 + 1)))
12	11	oveq2d 6065	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑(𝑘 + 1))))
13		fveq2 5669	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
14	12, 13	breq12d 4121	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤) ↔ (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
16		oveq2 6057	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (2↑𝑤) = (2↑𝑁))
17	16	oveq2d 6065	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑𝑁)))
18		fveq2 5669	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑁))
19	17, 18	breq12d 4121	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤) ↔ (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁)))
20	19	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁))))
21		2cnd 9309	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
22	21	exp1d 11029	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑1) = 2)
23		2rp 9990	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
24	22, 23	eqeltrdi 2323	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑1) ∈ ℝ+)
25	24	rprecred 10040	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑1)) ∈ ℝ)
26		1red 8288	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
27		resqrexlemex.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
28	26, 27	readdcld 8302	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
29	22	oveq2d 6065	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑1)) = (1 / 2))
30		halflt1 9454	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) < 1
31	29, 30	eqbrtrdi 4147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑1)) < 1)
32		resqrexlemex.agt0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
33	26, 27	addge01d 8806	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 1 ≤ (1 + 𝐴)))
34	32, 33	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (1 + 𝐴))
35	25, 26, 28, 31, 34	ltletrd 8696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑1)) < (1 + 𝐴))
36		resqrexlemex.seq	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
37	36, 27, 32	resqrexlemf1 11689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (1 + 𝐴))
38	35, 37	breqtrrd 4136	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑1)) < (𝐹‘1))
39	23	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → 2 ∈ ℝ+)
40		nnz 9595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
42	39, 41	rpexpcld 11058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
43	42	rpcnd 10030	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
44		2cnd 9309	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → 2 ∈ ℂ)
45	42	rpap0d 10034	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (2↑𝑘) # 0)
46	39	rpap0d 10034	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → 2 # 0)
47	43, 44, 45, 46	recdivap2d 9081	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) = (1 / ((2↑𝑘) · 2)))
48		nnnn0 9502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
49	48	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
50	44, 49	expp1d 11035	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (2↑(𝑘 + 1)) = ((2↑𝑘) · 2))
51	50	oveq2d 6065	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) = (1 / ((2↑𝑘) · 2)))
52	47, 51	eqtr4d 2268	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) = (1 / (2↑(𝑘 + 1))))
53	42	rprecred 10040	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
54	36, 27, 32	resqrexlemf 11688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
55	54	ffvelcdmda 5811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
56	55	rpred 10028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
58	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
59	58, 55	rerpdivcld 10060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
60	59	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐴 / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
61	57, 60	readdcld 8302	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ)
62		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘))
63	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
64	58, 55, 63	divge0d 10069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))
65	56, 59	addge01d 8806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ (𝐴 / (𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘)))))
66	64, 65	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))
68	53, 57, 61, 62, 67	ltletrd 8696	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (1 / (2↑𝑘)) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))))
69	53, 61, 39, 68	ltdiv1dd 10086	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) < (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) / 2))
70	36, 27, 32	resqrexlemfp1 11690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) / 2))
71	70	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (((𝐹‘𝑘) + (𝐴 / (𝐹‘𝑘))) / 2))
72	69, 71	breqtrrd 4136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
73	52, 72	eqbrtrrd 4132	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
74	73	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
75	74	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
76	75	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹‘𝑘)) → (𝜑 → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
77	5, 10, 15, 20, 38, 76	nnind 9252	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁)))
78	77	impcom 125	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {csn 3688   class class class wbr 4108   × cxp 4746  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049   ∈ cmpo 6051  ℝcr 8125  0cc0 8126  1c1 8127   + caddc 8129   · cmul 8131   < clt 8307   ≤ cle 8308   / cdiv 8945  ℕcn 9236  2c2 9287  ℕ₀cn0 9495  ℤcz 9576  ℝ⁺crp 9985  seqcseq 10808  ↑cexp 10899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-rp 9986  df-seqfrec 10809  df-exp 10900

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  11699