Theorem trirec0 17093

Description: Every real number having a reciprocal or equaling zero is equivalent to real number trichotomy.

This is the key part of the definition of what is known as a discrete field, so "the real numbers are a discrete field" can be taken as an equivalent way to state real trichotomy (see further discussion at trilpo 17092). (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
trirec0	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem trirec0

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
2		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 < 0)
3	1, 2	lt0ap0d 8977	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 # 0)
4		rerecclap 9060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
5		recn 8312	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
6		recidap 9016	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) → (𝑥 · (1 / 𝑥)) = 1)
7	5, 6	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 # 0) → (𝑥 · (1 / 𝑥)) = 1)
8		oveq2 6093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (1 / 𝑥) → (𝑥 · 𝑧) = (𝑥 · (1 / 𝑥)))
9	8	eqeq1d 2247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (1 / 𝑥) → ((𝑥 · 𝑧) = 1 ↔ (𝑥 · (1 / 𝑥)) = 1))
10	9	rspcev 2929	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑥 · (1 / 𝑥)) = 1) → ∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1)
11	4, 7, 10	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 # 0) → ∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1)
12	1, 3, 11	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 𝑥 < 0) → ∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1)
13	12	orcd 745	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 𝑥 < 0) → (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))
14		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
15	14	olcd 746	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 𝑥 = 0) → (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))
16		simpll 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 0 < 𝑥) → 0 < 𝑥)
18	16, 17	gt0ap0d 8957	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 # 0)
19	16, 18, 11	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 0 < 𝑥) → ∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1)
20	19	orcd 745	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 0 < 𝑥) → (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))
21		0re 8326	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
22		breq2 4134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥 < 0))
23		eqeq2 2248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 0))
24		breq1 4133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑥))
25	22, 23, 24	3orbi123d 1352	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑥 < 0 ∨ 𝑥 = 0 ∨ 0 < 𝑥)))
26	25	rspcv 2925	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → (𝑥 < 0 ∨ 𝑥 = 0 ∨ 0 < 𝑥)))
27	21, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → (𝑥 < 0 ∨ 𝑥 = 0 ∨ 0 < 𝑥))
28	27	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) → (𝑥 < 0 ∨ 𝑥 = 0 ∨ 0 < 𝑥))
29	13, 15, 20, 28	mpjao3dan 1348	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) → (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))
30	29	ralimiaa 2612	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))
31		oveq1 6092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 · 𝑧) = (𝑤 · 𝑧))
32	31	eqeq1d 2247	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥 · 𝑧) = 1 ↔ (𝑤 · 𝑧) = 1))
33	32	rexbidv 2551	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1))
34		eqeq1 2245	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑤 = 0))
35	33, 34	orbi12d 805	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0)))
36	35	cbvralv 2786	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0))
37		nfcv 2392	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧ℝ
38		nfre1 2593	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1
39		nfv 1581	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑤 = 0
40	38, 39	nfor 1627	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧(∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0)
41	37, 40	nfralya 2590	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0)
42		nfv 1581	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
43	41, 42	nfan 1618	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
44		nfv 1581	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)
45		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ (𝑦 − 𝑥) < 0) → (𝑦 − 𝑥) < 0)
46		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
47	46	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → 𝑦 ∈ ℝ)
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ (𝑦 − 𝑥) < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
49		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
50	49	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → 𝑥 ∈ ℝ)
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ (𝑦 − 𝑥) < 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
52	48, 51	sublt0d 8898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ (𝑦 − 𝑥) < 0) → ((𝑦 − 𝑥) < 0 ↔ 𝑦 < 𝑥))
53	45, 52	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ (𝑦 − 𝑥) < 0) → 𝑦 < 𝑥)
54	53	3mix3d 1205	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ (𝑦 − 𝑥) < 0) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
55		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ 0 < (𝑦 − 𝑥)) → 0 < (𝑦 − 𝑥))
56	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ 0 < (𝑦 − 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
57	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ 0 < (𝑦 − 𝑥)) → 𝑦 ∈ ℝ)
58	56, 57	posdifd 8860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ 0 < (𝑦 − 𝑥)) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 0 < (𝑦 − 𝑥)))
59	55, 58	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ 0 < (𝑦 − 𝑥)) → 𝑥 < 𝑦)
60	59	3mix1d 1203	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ 0 < (𝑦 − 𝑥)) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
61	47	recnd 8354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → 𝑦 ∈ ℂ)
62	50	recnd 8354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → 𝑥 ∈ ℂ)
63	61, 62	subcld 8637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℂ)
64		simplr 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → 𝑧 ∈ ℝ)
65	64	recnd 8354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → 𝑧 ∈ ℂ)
66		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1)
67		1ap0 8918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 # 0
68	66, 67	eqbrtrdi 4169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) # 0)
69	63, 65, 68	mulap0bad 8987	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → (𝑦 − 𝑥) # 0)
70	46, 49	resubcld 8708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℝ)
71	70	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℝ)
72		reaplt 8916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑥) # 0 ↔ ((𝑦 − 𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑦 − 𝑥))))
73	71, 21, 72	sylancl 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → ((𝑦 − 𝑥) # 0 ↔ ((𝑦 − 𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑦 − 𝑥))))
74	69, 73	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → ((𝑦 − 𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑦 − 𝑥)))
75	54, 60, 74	mpjaodan 810	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
76	75	exp31 364	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ → (((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1 → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))))
77	43, 44, 76	rexlimd 2665	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1 → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
78	77	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
79	46	recnd 8354	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
80	79	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑦 − 𝑥) = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
81	49	recnd 8354	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
82	81	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑦 − 𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
83		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑦 − 𝑥) = 0) → (𝑦 − 𝑥) = 0)
84	80, 82, 83	subeq0d 8645	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑦 − 𝑥) = 0) → 𝑦 = 𝑥)
85	84	equcomd 1759	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑦 − 𝑥) = 0) → 𝑥 = 𝑦)
86	85	3mix2d 1204	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑦 − 𝑥) = 0) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
87		oveq1 6092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑦 − 𝑥) → (𝑤 · 𝑧) = ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧))
88	87	eqeq1d 2247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑦 − 𝑥) → ((𝑤 · 𝑧) = 1 ↔ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1))
89	88	rexbidv 2551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑦 − 𝑥) → (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1))
90		eqeq1 2245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑦 − 𝑥) → (𝑤 = 0 ↔ (𝑦 − 𝑥) = 0))
91	89, 90	orbi12d 805	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 − 𝑥) → ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ↔ (∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1 ∨ (𝑦 − 𝑥) = 0)))
92		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0))
93	91, 92, 70	rspcdva 2934	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1 ∨ (𝑦 − 𝑥) = 0))
94	78, 86, 93	mpjaodan 810	. . . 4 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
95	94	ralrimivva 2632	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
96	36, 95	sylbi 121	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
97	30, 96	impbii 126	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∨ w3o 1008   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  ℝcr 8178  0cc0 8179  1c1 8180   · cmul 8184   < clt 8360   − cmin 8497   # cap 8909   / cdiv 9002

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003

This theorem is used by:  trirec0xor  17094