Theorem trirec0 16759

Description: Every real number having a reciprocal or equaling zero is equivalent to real number trichotomy.

This is the key part of the definition of what is known as a discrete field, so "the real numbers are a discrete field" can be taken as an equivalent way to state real trichotomy (see further discussion at trilpo 16758). (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
trirec0	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem trirec0

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
2		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 < 0)
3	1, 2	lt0ap0d 8871	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 # 0)
4		rerecclap 8952	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
5		recn 8208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
6		recidap 8908	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) → (𝑥 · (1 / 𝑥)) = 1)
7	5, 6	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 # 0) → (𝑥 · (1 / 𝑥)) = 1)
8		oveq2 6036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (1 / 𝑥) → (𝑥 · 𝑧) = (𝑥 · (1 / 𝑥)))
9	8	eqeq1d 2240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (1 / 𝑥) → ((𝑥 · 𝑧) = 1 ↔ (𝑥 · (1 / 𝑥)) = 1))
10	9	rspcev 2911	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑥 · (1 / 𝑥)) = 1) → ∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1)
11	4, 7, 10	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 # 0) → ∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1)
12	1, 3, 11	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 𝑥 < 0) → ∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1)
13	12	orcd 741	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 𝑥 < 0) → (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))
14		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
15	14	olcd 742	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 𝑥 = 0) → (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))
16		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 0 < 𝑥) → 0 < 𝑥)
18	16, 17	gt0ap0d 8851	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 # 0)
19	16, 18, 11	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 0 < 𝑥) → ∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1)
20	19	orcd 741	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 0 < 𝑥) → (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))
21		0re 8222	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
22		breq2 4097	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥 < 0))
23		eqeq2 2241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 0))
24		breq1 4096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑥))
25	22, 23, 24	3orbi123d 1348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑥 < 0 ∨ 𝑥 = 0 ∨ 0 < 𝑥)))
26	25	rspcv 2907	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → (𝑥 < 0 ∨ 𝑥 = 0 ∨ 0 < 𝑥)))
27	21, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → (𝑥 < 0 ∨ 𝑥 = 0 ∨ 0 < 𝑥))
28	27	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) → (𝑥 < 0 ∨ 𝑥 = 0 ∨ 0 < 𝑥))
29	13, 15, 20, 28	mpjao3dan 1344	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) → (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))
30	29	ralimiaa 2595	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))
31		oveq1 6035	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 · 𝑧) = (𝑤 · 𝑧))
32	31	eqeq1d 2240	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥 · 𝑧) = 1 ↔ (𝑤 · 𝑧) = 1))
33	32	rexbidv 2534	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1))
34		eqeq1 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑤 = 0))
35	33, 34	orbi12d 801	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0)))
36	35	cbvralv 2768	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0))
37		nfcv 2375	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧ℝ
38		nfre1 2576	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1
39		nfv 1577	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑤 = 0
40	38, 39	nfor 1623	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧(∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0)
41	37, 40	nfralya 2573	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0)
42		nfv 1577	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
43	41, 42	nfan 1614	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
44		nfv 1577	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)
45		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ (𝑦 − 𝑥) < 0) → (𝑦 − 𝑥) < 0)
46		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → 𝑦 ∈ ℝ)
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ (𝑦 − 𝑥) < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
49		simprl 531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
50	49	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → 𝑥 ∈ ℝ)
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ (𝑦 − 𝑥) < 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
52	48, 51	sublt0d 8792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ (𝑦 − 𝑥) < 0) → ((𝑦 − 𝑥) < 0 ↔ 𝑦 < 𝑥))
53	45, 52	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ (𝑦 − 𝑥) < 0) → 𝑦 < 𝑥)
54	53	3mix3d 1201	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ (𝑦 − 𝑥) < 0) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
55		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ 0 < (𝑦 − 𝑥)) → 0 < (𝑦 − 𝑥))
56	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ 0 < (𝑦 − 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
57	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ 0 < (𝑦 − 𝑥)) → 𝑦 ∈ ℝ)
58	56, 57	posdifd 8754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ 0 < (𝑦 − 𝑥)) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 0 < (𝑦 − 𝑥)))
59	55, 58	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ 0 < (𝑦 − 𝑥)) → 𝑥 < 𝑦)
60	59	3mix1d 1199	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ 0 < (𝑦 − 𝑥)) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
61	47	recnd 8250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → 𝑦 ∈ ℂ)
62	50	recnd 8250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → 𝑥 ∈ ℂ)
63	61, 62	subcld 8532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℂ)
64		simplr 529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → 𝑧 ∈ ℝ)
65	64	recnd 8250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → 𝑧 ∈ ℂ)
66		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1)
67		1ap0 8812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 # 0
68	66, 67	eqbrtrdi 4132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) # 0)
69	63, 65, 68	mulap0bad 8881	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → (𝑦 − 𝑥) # 0)
70	46, 49	resubcld 8602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℝ)
71	70	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℝ)
72		reaplt 8810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑥) # 0 ↔ ((𝑦 − 𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑦 − 𝑥))))
73	71, 21, 72	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → ((𝑦 − 𝑥) # 0 ↔ ((𝑦 − 𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑦 − 𝑥))))
74	69, 73	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → ((𝑦 − 𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑦 − 𝑥)))
75	54, 60, 74	mpjaodan 806	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
76	75	exp31 364	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ → (((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1 → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))))
77	43, 44, 76	rexlimd 2648	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1 → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
78	77	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
79	46	recnd 8250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
80	79	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑦 − 𝑥) = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
81	49	recnd 8250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
82	81	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑦 − 𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
83		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑦 − 𝑥) = 0) → (𝑦 − 𝑥) = 0)
84	80, 82, 83	subeq0d 8540	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑦 − 𝑥) = 0) → 𝑦 = 𝑥)
85	84	equcomd 1755	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑦 − 𝑥) = 0) → 𝑥 = 𝑦)
86	85	3mix2d 1200	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑦 − 𝑥) = 0) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
87		oveq1 6035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑦 − 𝑥) → (𝑤 · 𝑧) = ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧))
88	87	eqeq1d 2240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑦 − 𝑥) → ((𝑤 · 𝑧) = 1 ↔ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1))
89	88	rexbidv 2534	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑦 − 𝑥) → (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1))
90		eqeq1 2238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑦 − 𝑥) → (𝑤 = 0 ↔ (𝑦 − 𝑥) = 0))
91	89, 90	orbi12d 801	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 − 𝑥) → ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ↔ (∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1 ∨ (𝑦 − 𝑥) = 0)))
92		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0))
93	91, 92, 70	rspcdva 2916	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1 ∨ (𝑦 − 𝑥) = 0))
94	78, 86, 93	mpjaodan 806	. . . 4 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
95	94	ralrimivva 2615	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
96	36, 95	sylbi 121	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
97	30, 96	impbii 126	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∨ w3o 1004   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∃wrex 2512   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  ℝcr 8074  0cc0 8075  1c1 8076   · cmul 8080   < clt 8256   − cmin 8392   # cap 8803   / cdiv 8894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895

This theorem is referenced by:  trirec0xor  16760