Theorem trirec0 14076

Description: Every real number having a reciprocal or equaling zero is equivalent to real number trichotomy.

This is the key part of the definition of what is known as a discrete field, so "the real numbers are a discrete field" can be taken as an equivalent way to state real trichotomy (see further discussion at trilpo 14075). (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
trirec0	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem trirec0

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 524	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
2		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 < 0)
3	1, 2	lt0ap0d 8568	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 # 0)
4		rerecclap 8647	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
5		recn 7907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
6		recidap 8603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) → (𝑥 · (1 / 𝑥)) = 1)
7	5, 6	sylan 281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 # 0) → (𝑥 · (1 / 𝑥)) = 1)
8		oveq2 5861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (1 / 𝑥) → (𝑥 · 𝑧) = (𝑥 · (1 / 𝑥)))
9	8	eqeq1d 2179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (1 / 𝑥) → ((𝑥 · 𝑧) = 1 ↔ (𝑥 · (1 / 𝑥)) = 1))
10	9	rspcev 2834	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑥 · (1 / 𝑥)) = 1) → ∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1)
11	4, 7, 10	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 # 0) → ∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1)
12	1, 3, 11	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 𝑥 < 0) → ∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1)
13	12	orcd 728	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 𝑥 < 0) → (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))
14		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
15	14	olcd 729	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 𝑥 = 0) → (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))
16		simpll 524	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 0 < 𝑥) → 0 < 𝑥)
18	16, 17	gt0ap0d 8548	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 # 0)
19	16, 18, 11	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 0 < 𝑥) → ∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1)
20	19	orcd 728	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) ∧ 0 < 𝑥) → (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))
21		0re 7920	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
22		breq2 3993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥 < 0))
23		eqeq2 2180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 0))
24		breq1 3992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑥))
25	22, 23, 24	3orbi123d 1306	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑥 < 0 ∨ 𝑥 = 0 ∨ 0 < 𝑥)))
26	25	rspcv 2830	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → (𝑥 < 0 ∨ 𝑥 = 0 ∨ 0 < 𝑥)))
27	21, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → (𝑥 < 0 ∨ 𝑥 = 0 ∨ 0 < 𝑥))
28	27	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) → (𝑥 < 0 ∨ 𝑥 = 0 ∨ 0 < 𝑥))
29	13, 15, 20, 28	mpjao3dan 1302	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)) → (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))
30	29	ralimiaa 2532	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))
31		oveq1 5860	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 · 𝑧) = (𝑤 · 𝑧))
32	31	eqeq1d 2179	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥 · 𝑧) = 1 ↔ (𝑤 · 𝑧) = 1))
33	32	rexbidv 2471	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1))
34		eqeq1 2177	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑤 = 0))
35	33, 34	orbi12d 788	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0)))
36	35	cbvralv 2696	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0))
37		nfcv 2312	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧ℝ
38		nfre1 2513	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1
39		nfv 1521	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑤 = 0
40	38, 39	nfor 1567	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧(∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0)
41	37, 40	nfralya 2510	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0)
42		nfv 1521	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
43	41, 42	nfan 1558	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
44		nfv 1521	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)
45		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ (𝑦 − 𝑥) < 0) → (𝑦 − 𝑥) < 0)
46		simprr 527	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
47	46	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → 𝑦 ∈ ℝ)
48	47	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ (𝑦 − 𝑥) < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
49		simprl 526	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
50	49	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → 𝑥 ∈ ℝ)
51	50	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ (𝑦 − 𝑥) < 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
52	48, 51	sublt0d 8489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ (𝑦 − 𝑥) < 0) → ((𝑦 − 𝑥) < 0 ↔ 𝑦 < 𝑥))
53	45, 52	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ (𝑦 − 𝑥) < 0) → 𝑦 < 𝑥)
54	53	3mix3d 1169	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ (𝑦 − 𝑥) < 0) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
55		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ 0 < (𝑦 − 𝑥)) → 0 < (𝑦 − 𝑥))
56	50	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ 0 < (𝑦 − 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
57	47	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ 0 < (𝑦 − 𝑥)) → 𝑦 ∈ ℝ)
58	56, 57	posdifd 8451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ 0 < (𝑦 − 𝑥)) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 0 < (𝑦 − 𝑥)))
59	55, 58	mpbird 166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ 0 < (𝑦 − 𝑥)) → 𝑥 < 𝑦)
60	59	3mix1d 1167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) ∧ 0 < (𝑦 − 𝑥)) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
61	47	recnd 7948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → 𝑦 ∈ ℂ)
62	50	recnd 7948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → 𝑥 ∈ ℂ)
63	61, 62	subcld 8230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℂ)
64		simplr 525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → 𝑧 ∈ ℝ)
65	64	recnd 7948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → 𝑧 ∈ ℂ)
66		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1)
67		1ap0 8509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 # 0
68	66, 67	eqbrtrdi 4028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) # 0)
69	63, 65, 68	mulap0bad 8577	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → (𝑦 − 𝑥) # 0)
70	46, 49	resubcld 8300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℝ)
71	70	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℝ)
72		reaplt 8507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑥) # 0 ↔ ((𝑦 − 𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑦 − 𝑥))))
73	71, 21, 72	sylancl 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → ((𝑦 − 𝑥) # 0 ↔ ((𝑦 − 𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑦 − 𝑥))))
74	69, 73	mpbid 146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → ((𝑦 − 𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑦 − 𝑥)))
75	54, 60, 74	mpjaodan 793	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
76	75	exp31 362	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ → (((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1 → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))))
77	43, 44, 76	rexlimd 2584	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1 → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
78	77	imp 123	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
79	46	recnd 7948	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
80	79	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑦 − 𝑥) = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
81	49	recnd 7948	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
82	81	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑦 − 𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
83		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑦 − 𝑥) = 0) → (𝑦 − 𝑥) = 0)
84	80, 82, 83	subeq0d 8238	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑦 − 𝑥) = 0) → 𝑦 = 𝑥)
85	84	equcomd 1700	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑦 − 𝑥) = 0) → 𝑥 = 𝑦)
86	85	3mix2d 1168	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑦 − 𝑥) = 0) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
87		oveq1 5860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑦 − 𝑥) → (𝑤 · 𝑧) = ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧))
88	87	eqeq1d 2179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑦 − 𝑥) → ((𝑤 · 𝑧) = 1 ↔ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1))
89	88	rexbidv 2471	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑦 − 𝑥) → (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1))
90		eqeq1 2177	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑦 − 𝑥) → (𝑤 = 0 ↔ (𝑦 − 𝑥) = 0))
91	89, 90	orbi12d 788	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 − 𝑥) → ((∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ↔ (∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1 ∨ (𝑦 − 𝑥) = 0)))
92		simpl 108	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0))
93	91, 92, 70	rspcdva 2839	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ((𝑦 − 𝑥) · 𝑧) = 1 ∨ (𝑦 − 𝑥) = 0))
94	78, 86, 93	mpjaodan 793	. . . 4 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
95	94	ralrimivva 2552	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑤 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑤 = 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
96	36, 95	sylbi 120	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
97	30, 96	impbii 125	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 · 𝑧) = 1 ∨ 𝑥 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703   ∨ w3o 972   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   · cmul 7779   < clt 7954   − cmin 8090   # cap 8500   / cdiv 8589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590

This theorem is referenced by:  trirec0xor  14077