Theorem en1top 14256

Description: {∅} is the only topology with one element. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
en1top	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o ↔ 𝐽 = {∅}))

Proof of Theorem en1top

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 14185	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
2		en1eqsn 7009	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ 𝐽 ∧ 𝐽 ≈ 1o) → 𝐽 = {∅})
3	2	ex 115	. . 3 ⊢ (∅ ∈ 𝐽 → (𝐽 ≈ 1o → 𝐽 = {∅}))
4	1, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o → 𝐽 = {∅}))
5		id 19	. . 3 ⊢ (𝐽 = {∅} → 𝐽 = {∅})
6		0ex 4157	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	ensn1 6852	. . 3 ⊢ {∅} ≈ 1o
8	5, 7	eqbrtrdi 4069	. 2 ⊢ (𝐽 = {∅} → 𝐽 ≈ 1o)
9	4, 8	impbid1 142	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o ↔ 𝐽 = {∅}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∅c0 3447  {csn 3619   class class class wbr 4030  1_oc1o 6464   ≈ cen 6794  Topctop 14176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6471  df-er 6589  df-en 6797  df-fin 6799  df-top 14177

This theorem is referenced by: (None)