Theorem en1top 12717

Description: {∅} is the only topology with one element. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
en1top	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o ↔ 𝐽 = {∅}))

Proof of Theorem en1top

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 12644	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
2		en1eqsn 6913	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ 𝐽 ∧ 𝐽 ≈ 1o) → 𝐽 = {∅})
3	2	ex 114	. . 3 ⊢ (∅ ∈ 𝐽 → (𝐽 ≈ 1o → 𝐽 = {∅}))
4	1, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o → 𝐽 = {∅}))
5		id 19	. . 3 ⊢ (𝐽 = {∅} → 𝐽 = {∅})
6		0ex 4109	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	ensn1 6762	. . 3 ⊢ {∅} ≈ 1o
8	5, 7	eqbrtrdi 4021	. 2 ⊢ (𝐽 = {∅} → 𝐽 ≈ 1o)
9	4, 8	impbid1 141	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o ↔ 𝐽 = {∅}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∅c0 3409  {csn 3576   class class class wbr 3982  1_oc1o 6377   ≈ cen 6704  Topctop 12635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1o 6384  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709  df-top 12636

This theorem is referenced by: (None)