ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en1top GIF version

Theorem en1top 12477
Description: {∅} is the only topology with one element. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
en1top (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o𝐽 = {∅}))

Proof of Theorem en1top
StepHypRef Expression
1 0opn 12404 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
2 en1eqsn 6892 . . . 4 ((∅ ∈ 𝐽𝐽 ≈ 1o) → 𝐽 = {∅})
32ex 114 . . 3 (∅ ∈ 𝐽 → (𝐽 ≈ 1o𝐽 = {∅}))
41, 3syl 14 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o𝐽 = {∅}))
5 id 19 . . 3 (𝐽 = {∅} → 𝐽 = {∅})
6 0ex 4091 . . . 4 ∅ ∈ V
76ensn1 6741 . . 3 {∅} ≈ 1o
85, 7eqbrtrdi 4003 . 2 (𝐽 = {∅} → 𝐽 ≈ 1o)
94, 8impbid1 141 1 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o𝐽 = {∅}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   = wceq 1335  wcel 2128  c0 3394  {csn 3560   class class class wbr 3965  1oc1o 6356  cen 6683  Topctop 12395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-1o 6363  df-er 6480  df-en 6686  df-fin 6688  df-top 12396
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator