ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  faclbnd3 GIF version

Theorem faclbnd3 10814
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 9242 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2 nnre 8989 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
32adantr 276 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
4 nnge1 9005 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
54adantr 276 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ 𝑀)
6 nn0z 9337 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
76adantl 277 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
8 uzid 9606 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
9 peano2uz 9648 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
107, 8, 93syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
113, 5, 10leexp2ad 10773 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)))
12 nnnn0 9247 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
13 faclbnd 10812 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
1412, 13sylan 283 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
15 nn0re 9249 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
16 reexpcl 10627 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ∈ ℝ)
1715, 16sylan 283 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ∈ ℝ)
18 peano2nn0 9280 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
19 reexpcl 10627 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
2015, 18, 19syl2an 289 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
21 reexpcl 10627 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑀) ∈ ℝ)
2215, 21mpancom 422 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑀) ∈ ℝ)
23 faccl 10806 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2423nnred 8995 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
25 remulcl 8000 . . . . . . 7 (((𝑀𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
2622, 24, 25syl2an 289 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
27 letr 8102 . . . . . 6 (((𝑀𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((𝑀𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))))
2817, 20, 26, 27syl3anc 1249 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))))
2912, 28sylan 283 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))))
3011, 14, 29mp2and 433 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
31 elnn0 9242 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
32 0exp 10645 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
33 0le1 8500 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
3432, 33eqbrtrdi 4068 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) ≤ 1)
35 oveq2 5926 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (0↑𝑁) = (0↑0))
36 0exp0e1 10615 . . . . . . . . . 10 (0↑0) = 1
37 1le1 8591 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 1
3836, 37eqbrtri 4050 . . . . . . . . 9 (0↑0) ≤ 1
3935, 38eqbrtrdi 4068 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (0↑𝑁) ≤ 1)
4034, 39jaoi 717 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0↑𝑁) ≤ 1)
4131, 40sylbi 121 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ≤ 1)
42 1nn 8993 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
43 nnmulcl 9003 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
4442, 23, 43sylancr 414 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
4544nnge1d 9025 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (1 · (!‘𝑁)))
46 0re 8019 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
47 reexpcl 10627 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0↑𝑁) ∈ ℝ)
4846, 47mpan 424 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ∈ ℝ)
49 1re 8018 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
50 remulcl 8000 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
5149, 24, 50sylancr 414 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
52 letr 8102 . . . . . . . 8 (((0↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
5349, 52mp3an2 1336 . . . . . . 7 (((0↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
5448, 51, 53syl2anc 411 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
5541, 45, 54mp2and 433 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁)))
5655adantl 277 . . . 4 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁)))
57 oveq1 5925 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑁) = (0↑𝑁))
58 oveq12 5927 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀𝑀) = (0↑0))
5958anidms 397 . . . . . . . 8 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑀) = (0↑0))
6059, 36eqtrdi 2242 . . . . . . 7 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑀) = 1)
6160oveq1d 5933 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) = (1 · (!‘𝑁)))
6257, 61breq12d 4042 . . . . 5 (𝑀 = 0 → ((𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
6362adantr 276 . . . 4 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
6456, 63mpbird 167 . . 3 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
6530, 64jaoian 796 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
661, 65sylanb 284 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709   = wceq 1364  wcel 2164   class class class wbr 4029  cfv 5254  (class class class)co 5918  cr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877  cle 8055  cn 8982  0cn0 9240  cz 9317  cuz 9592  cexp 10609  !cfa 10796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-rp 9720  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-fac 10797
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator