Theorem faclbnd3 10716

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd3	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9174	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2		nnre 8922	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
4		nnge1 8938	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ 𝑀)
6		nn0z 9269	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		uzid 9538	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
9		peano2uz 9579	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
10	7, 8, 9	3syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
11	3, 5, 10	leexp2ad 10677	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)))
12		nnnn0 9179	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
13		faclbnd 10714	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
14	12, 13	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
15		nn0re 9181	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
16		reexpcl 10532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ∈ ℝ)
17	15, 16	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ∈ ℝ)
18		peano2nn0 9212	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
19		reexpcl 10532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
20	15, 18, 19	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
21		reexpcl 10532	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑀) ∈ ℝ)
22	15, 21	mpancom 422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑𝑀) ∈ ℝ)
23		faccl 10708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
24	23	nnred 8928	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
25		remulcl 7936	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
26	22, 24, 25	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
27		letr 8036	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((𝑀↑𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))))
28	17, 20, 26, 27	syl3anc 1238	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀↑𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))))
29	12, 28	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀↑𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))))
30	11, 14, 29	mp2and 433	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
31		elnn0 9174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
32		0exp 10550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
33		0le1 8434	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
34	32, 33	eqbrtrdi 4041	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) ≤ 1)
35		oveq2 5880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (0↑𝑁) = (0↑0))
36		0exp0e1 10520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0↑0) = 1
37		1le1 8525	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≤ 1
38	36, 37	eqbrtri 4023	. . . . . . . . 9 ⊢ (0↑0) ≤ 1
39	35, 38	eqbrtrdi 4041	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (0↑𝑁) ≤ 1)
40	34, 39	jaoi 716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0↑𝑁) ≤ 1)
41	31, 40	sylbi 121	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ≤ 1)
42		1nn 8926	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
43		nnmulcl 8936	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
44	42, 23, 43	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
45	44	nnge1d 8958	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (1 · (!‘𝑁)))
46		0re 7954	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
47		reexpcl 10532	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0↑𝑁) ∈ ℝ)
48	46, 47	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ∈ ℝ)
49		1re 7953	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
50		remulcl 7936	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
51	49, 24, 50	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
52		letr 8036	. . . . . . . 8 ⊢ (((0↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
53	49, 52	mp3an2 1325	. . . . . . 7 ⊢ (((0↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
54	48, 51, 53	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
55	41, 45, 54	mp2and 433	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁)))
56	55	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁)))
57		oveq1 5879	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑𝑁) = (0↑𝑁))
58		oveq12 5881	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀↑𝑀) = (0↑0))
59	58	anidms 397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑𝑀) = (0↑0))
60	59, 36	eqtrdi 2226	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑𝑀) = 1)
61	60	oveq1d 5887	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) = (1 · (!‘𝑁)))
62	57, 61	breq12d 4015	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
63	62	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
64	56, 63	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
65	30, 64	jaoian 795	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
66	1, 65	sylanb 284	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4002  ‘cfv 5215  (class class class)co 5872  ℝcr 7807  0cc0 7808  1c1 7809   + caddc 7811   · cmul 7813   ≤ cle 7989  ℕcn 8915  ℕ₀cn0 9172  ℤcz 9249  ℤ_≥cuz 9524  ↑cexp 10514  !cfa 10698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-frec 6389  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-inn 8916  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-rp 9650  df-seqfrec 10441  df-exp 10515  df-fac 10699

This theorem is referenced by: (None)