Theorem faclbnd3 10656

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd3	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9116	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2		nnre 8864	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
4		nnge1 8880	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
5	4	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ 𝑀)
6		nn0z 9211	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		uzid 9480	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
9		peano2uz 9521	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
10	7, 8, 9	3syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
11	3, 5, 10	leexp2ad 10617	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)))
12		nnnn0 9121	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
13		faclbnd 10654	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
14	12, 13	sylan 281	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
15		nn0re 9123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
16		reexpcl 10472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ∈ ℝ)
17	15, 16	sylan 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ∈ ℝ)
18		peano2nn0 9154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
19		reexpcl 10472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
20	15, 18, 19	syl2an 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
21		reexpcl 10472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑀) ∈ ℝ)
22	15, 21	mpancom 419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑𝑀) ∈ ℝ)
23		faccl 10648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
24	23	nnred 8870	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
25		remulcl 7881	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
26	22, 24, 25	syl2an 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
27		letr 7981	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((𝑀↑𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))))
28	17, 20, 26, 27	syl3anc 1228	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀↑𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))))
29	12, 28	sylan 281	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀↑𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))))
30	11, 14, 29	mp2and 430	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
31		elnn0 9116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
32		0exp 10490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
33		0le1 8379	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
34	32, 33	eqbrtrdi 4021	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) ≤ 1)
35		oveq2 5850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (0↑𝑁) = (0↑0))
36		0exp0e1 10460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0↑0) = 1
37		1le1 8470	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≤ 1
38	36, 37	eqbrtri 4003	. . . . . . . . 9 ⊢ (0↑0) ≤ 1
39	35, 38	eqbrtrdi 4021	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (0↑𝑁) ≤ 1)
40	34, 39	jaoi 706	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0↑𝑁) ≤ 1)
41	31, 40	sylbi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ≤ 1)
42		1nn 8868	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
43		nnmulcl 8878	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
44	42, 23, 43	sylancr 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
45	44	nnge1d 8900	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (1 · (!‘𝑁)))
46		0re 7899	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
47		reexpcl 10472	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0↑𝑁) ∈ ℝ)
48	46, 47	mpan 421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ∈ ℝ)
49		1re 7898	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
50		remulcl 7881	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
51	49, 24, 50	sylancr 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
52		letr 7981	. . . . . . . 8 ⊢ (((0↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
53	49, 52	mp3an2 1315	. . . . . . 7 ⊢ (((0↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
54	48, 51, 53	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
55	41, 45, 54	mp2and 430	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁)))
56	55	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁)))
57		oveq1 5849	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑𝑁) = (0↑𝑁))
58		oveq12 5851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀↑𝑀) = (0↑0))
59	58	anidms 395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑𝑀) = (0↑0))
60	59, 36	eqtrdi 2215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑𝑀) = 1)
61	60	oveq1d 5857	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) = (1 · (!‘𝑁)))
62	57, 61	breq12d 3995	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
63	62	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
64	56, 63	mpbird 166	. . 3 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
65	30, 64	jaoian 785	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
66	1, 65	sylanb 282	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758   ≤ cle 7934  ℕcn 8857  ℕ₀cn0 9114  ℤcz 9191  ℤ_≥cuz 9466  ↑cexp 10454  !cfa 10638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-fac 10639

This theorem is referenced by: (None)