Theorem faclbnd3 11004

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd3	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9403	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2		nnre 9149	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
4		nnge1 9165	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ 𝑀)
6		nn0z 9498	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		uzid 9769	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
9		peano2uz 9816	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
10	7, 8, 9	3syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
11	3, 5, 10	leexp2ad 10963	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)))
12		nnnn0 9408	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
13		faclbnd 11002	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
14	12, 13	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
15		nn0re 9410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
16		reexpcl 10817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ∈ ℝ)
17	15, 16	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ∈ ℝ)
18		peano2nn0 9441	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
19		reexpcl 10817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
20	15, 18, 19	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
21		reexpcl 10817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑀) ∈ ℝ)
22	15, 21	mpancom 422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑𝑀) ∈ ℝ)
23		faccl 10996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
24	23	nnred 9155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
25		remulcl 8159	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
26	22, 24, 25	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
27		letr 8261	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((𝑀↑𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))))
28	17, 20, 26, 27	syl3anc 1273	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀↑𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))))
29	12, 28	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀↑𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))))
30	11, 14, 29	mp2and 433	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
31		elnn0 9403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
32		0exp 10835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
33		0le1 8660	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
34	32, 33	eqbrtrdi 4127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) ≤ 1)
35		oveq2 6025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (0↑𝑁) = (0↑0))
36		0exp0e1 10805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0↑0) = 1
37		1le1 8751	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≤ 1
38	36, 37	eqbrtri 4109	. . . . . . . . 9 ⊢ (0↑0) ≤ 1
39	35, 38	eqbrtrdi 4127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (0↑𝑁) ≤ 1)
40	34, 39	jaoi 723	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0↑𝑁) ≤ 1)
41	31, 40	sylbi 121	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ≤ 1)
42		1nn 9153	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
43		nnmulcl 9163	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
44	42, 23, 43	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
45	44	nnge1d 9185	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (1 · (!‘𝑁)))
46		0re 8178	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
47		reexpcl 10817	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0↑𝑁) ∈ ℝ)
48	46, 47	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ∈ ℝ)
49		1re 8177	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
50		remulcl 8159	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
51	49, 24, 50	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
52		letr 8261	. . . . . . . 8 ⊢ (((0↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
53	49, 52	mp3an2 1361	. . . . . . 7 ⊢ (((0↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
54	48, 51, 53	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
55	41, 45, 54	mp2and 433	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁)))
56	55	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁)))
57		oveq1 6024	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑𝑁) = (0↑𝑁))
58		oveq12 6026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀↑𝑀) = (0↑0))
59	58	anidms 397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑𝑀) = (0↑0))
60	59, 36	eqtrdi 2280	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑𝑀) = 1)
61	60	oveq1d 6032	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) = (1 · (!‘𝑁)))
62	57, 61	breq12d 4101	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
63	62	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
64	56, 63	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
65	30, 64	jaoian 802	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
66	1, 65	sylanb 284	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  ℝcr 8030  0cc0 8031  1c1 8032   + caddc 8034   · cmul 8036   ≤ cle 8214  ℕcn 9142  ℕ₀cn0 9401  ℤcz 9478  ℤ_≥cuz 9754  ↑cexp 10799  !cfa 10986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-rp 9888  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-fac 10987

This theorem is referenced by: (None)