ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  faclbnd3 GIF version

Theorem faclbnd3 10069
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 8611 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2 nnre 8367 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
32adantr 270 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
4 nnge1 8383 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
54adantr 270 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ 𝑀)
6 nn0z 8706 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
76adantl 271 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
8 uzid 8968 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
9 peano2uz 9006 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
107, 8, 93syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
113, 5, 10leexp2ad 10033 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)))
12 nnnn0 8616 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
13 faclbnd 10067 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
1412, 13sylan 277 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
15 nn0re 8618 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
16 reexpcl 9892 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ∈ ℝ)
1715, 16sylan 277 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ∈ ℝ)
18 peano2nn0 8649 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
19 reexpcl 9892 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
2015, 18, 19syl2an 283 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
21 reexpcl 9892 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑀) ∈ ℝ)
2215, 21mpancom 413 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑀) ∈ ℝ)
23 faccl 10061 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2423nnred 8373 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
25 remulcl 7417 . . . . . . 7 (((𝑀𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
2622, 24, 25syl2an 283 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
27 letr 7515 . . . . . 6 (((𝑀𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((𝑀𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))))
2817, 20, 26, 27syl3anc 1172 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))))
2912, 28sylan 277 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))))
3011, 14, 29mp2and 424 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
31 elnn0 8611 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
32 0exp 9910 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
33 0le1 7906 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
3432, 33syl6eqbr 3859 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) ≤ 1)
35 oveq2 5623 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (0↑𝑁) = (0↑0))
36 0exp0e1 9880 . . . . . . . . . 10 (0↑0) = 1
37 1le1 7993 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 1
3836, 37eqbrtri 3841 . . . . . . . . 9 (0↑0) ≤ 1
3935, 38syl6eqbr 3859 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (0↑𝑁) ≤ 1)
4034, 39jaoi 669 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0↑𝑁) ≤ 1)
4131, 40sylbi 119 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ≤ 1)
42 1nn 8371 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
43 nnmulcl 8381 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
4442, 23, 43sylancr 405 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
4544nnge1d 8402 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (1 · (!‘𝑁)))
46 0re 7435 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
47 reexpcl 9892 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0↑𝑁) ∈ ℝ)
4846, 47mpan 415 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ∈ ℝ)
49 1re 7434 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
50 remulcl 7417 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
5149, 24, 50sylancr 405 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
52 letr 7515 . . . . . . . 8 (((0↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
5349, 52mp3an2 1259 . . . . . . 7 (((0↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
5448, 51, 53syl2anc 403 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
5541, 45, 54mp2and 424 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁)))
5655adantl 271 . . . 4 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁)))
57 oveq1 5622 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑁) = (0↑𝑁))
58 oveq12 5624 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀𝑀) = (0↑0))
5958anidms 389 . . . . . . . 8 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑀) = (0↑0))
6059, 36syl6eq 2133 . . . . . . 7 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑀) = 1)
6160oveq1d 5630 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) = (1 · (!‘𝑁)))
6257, 61breq12d 3835 . . . . 5 (𝑀 = 0 → ((𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
6362adantr 270 . . . 4 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
6456, 63mpbird 165 . . 3 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
6530, 64jaoian 742 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
661, 65sylanb 278 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662   = wceq 1287  wcel 1436   class class class wbr 3822  cfv 4983  (class class class)co 5615  cr 7296  0cc0 7297  1c1 7298   + caddc 7300   · cmul 7302  cle 7470  cn 8360  0cn0 8609  cz 8686  cuz 8954  cexp 9874  !cfa 10051
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409  ax-pre-mulext 7410
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-iord 4169  df-on 4171  df-ilim 4172  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-frec 6112  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-div 8082  df-inn 8361  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955  df-rp 9070  df-iseq 9784  df-iexp 9875  df-fac 10052
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator