Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | elnn0 9180 |
. 2
โข (๐ โ โ0
โ (๐ โ โ
โจ ๐ =
0)) |
2 | | nnre 8928 |
. . . . . 6
โข (๐ โ โ โ ๐ โ
โ) |
3 | 2 | adantr 276 |
. . . . 5
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ0)
โ ๐ โ
โ) |
4 | | nnge1 8944 |
. . . . . 6
โข (๐ โ โ โ 1 โค
๐) |
5 | 4 | adantr 276 |
. . . . 5
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ0)
โ 1 โค ๐) |
6 | | nn0z 9275 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โ0
โ ๐ โ
โค) |
7 | 6 | adantl 277 |
. . . . . 6
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ0)
โ ๐ โ
โค) |
8 | | uzid 9544 |
. . . . . 6
โข (๐ โ โค โ ๐ โ
(โคโฅโ๐)) |
9 | | peano2uz 9585 |
. . . . . 6
โข (๐ โ
(โคโฅโ๐) โ (๐ + 1) โ
(โคโฅโ๐)) |
10 | 7, 8, 9 | 3syl 17 |
. . . . 5
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ0)
โ (๐ + 1) โ
(โคโฅโ๐)) |
11 | 3, 5, 10 | leexp2ad 10685 |
. . . 4
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ0)
โ (๐โ๐) โค (๐โ(๐ + 1))) |
12 | | nnnn0 9185 |
. . . . 5
โข (๐ โ โ โ ๐ โ
โ0) |
13 | | faclbnd 10723 |
. . . . 5
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ โ
โ0) โ (๐โ(๐ + 1)) โค ((๐โ๐) ยท (!โ๐))) |
14 | 12, 13 | sylan 283 |
. . . 4
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ0)
โ (๐โ(๐ + 1)) โค ((๐โ๐) ยท (!โ๐))) |
15 | | nn0re 9187 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โ0
โ ๐ โ
โ) |
16 | | reexpcl 10539 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ0)
โ (๐โ๐) โ
โ) |
17 | 15, 16 | sylan 283 |
. . . . . 6
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ โ
โ0) โ (๐โ๐) โ โ) |
18 | | peano2nn0 9218 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โ0
โ (๐ + 1) โ
โ0) |
19 | | reexpcl 10539 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โ โ โง (๐ + 1) โ
โ0) โ (๐โ(๐ + 1)) โ โ) |
20 | 15, 18, 19 | syl2an 289 |
. . . . . 6
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ โ
โ0) โ (๐โ(๐ + 1)) โ โ) |
21 | | reexpcl 10539 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ0)
โ (๐โ๐) โ
โ) |
22 | 15, 21 | mpancom 422 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โ0
โ (๐โ๐) โ
โ) |
23 | | faccl 10717 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ โ0
โ (!โ๐) โ
โ) |
24 | 23 | nnred 8934 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โ0
โ (!โ๐) โ
โ) |
25 | | remulcl 7941 |
. . . . . . 7
โข (((๐โ๐) โ โ โง (!โ๐) โ โ) โ ((๐โ๐) ยท (!โ๐)) โ โ) |
26 | 22, 24, 25 | syl2an 289 |
. . . . . 6
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ โ
โ0) โ ((๐โ๐) ยท (!โ๐)) โ โ) |
27 | | letr 8042 |
. . . . . 6
โข (((๐โ๐) โ โ โง (๐โ(๐ + 1)) โ โ โง ((๐โ๐) ยท (!โ๐)) โ โ) โ (((๐โ๐) โค (๐โ(๐ + 1)) โง (๐โ(๐ + 1)) โค ((๐โ๐) ยท (!โ๐))) โ (๐โ๐) โค ((๐โ๐) ยท (!โ๐)))) |
28 | 17, 20, 26, 27 | syl3anc 1238 |
. . . . 5
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ โ
โ0) โ (((๐โ๐) โค (๐โ(๐ + 1)) โง (๐โ(๐ + 1)) โค ((๐โ๐) ยท (!โ๐))) โ (๐โ๐) โค ((๐โ๐) ยท (!โ๐)))) |
29 | 12, 28 | sylan 283 |
. . . 4
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ0)
โ (((๐โ๐) โค (๐โ(๐ + 1)) โง (๐โ(๐ + 1)) โค ((๐โ๐) ยท (!โ๐))) โ (๐โ๐) โค ((๐โ๐) ยท (!โ๐)))) |
30 | 11, 14, 29 | mp2and 433 |
. . 3
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ0)
โ (๐โ๐) โค ((๐โ๐) ยท (!โ๐))) |
31 | | elnn0 9180 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โ0
โ (๐ โ โ
โจ ๐ =
0)) |
32 | | 0exp 10557 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ โ
(0โ๐) =
0) |
33 | | 0le1 8440 |
. . . . . . . . 9
โข 0 โค
1 |
34 | 32, 33 | eqbrtrdi 4044 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ โ โ
(0โ๐) โค
1) |
35 | | oveq2 5885 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = 0 โ (0โ๐) = (0โ0)) |
36 | | 0exp0e1 10527 |
. . . . . . . . . 10
โข
(0โ0) = 1 |
37 | | 1le1 8531 |
. . . . . . . . . 10
โข 1 โค
1 |
38 | 36, 37 | eqbrtri 4026 |
. . . . . . . . 9
โข
(0โ0) โค 1 |
39 | 35, 38 | eqbrtrdi 4044 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = 0 โ (0โ๐) โค 1) |
40 | 34, 39 | jaoi 716 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โ โ โจ ๐ = 0) โ (0โ๐) โค 1) |
41 | 31, 40 | sylbi 121 |
. . . . . 6
โข (๐ โ โ0
โ (0โ๐) โค
1) |
42 | | 1nn 8932 |
. . . . . . . 8
โข 1 โ
โ |
43 | | nnmulcl 8942 |
. . . . . . . 8
โข ((1
โ โ โง (!โ๐) โ โ) โ (1 ยท
(!โ๐)) โ
โ) |
44 | 42, 23, 43 | sylancr 414 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โ0
โ (1 ยท (!โ๐)) โ โ) |
45 | 44 | nnge1d 8964 |
. . . . . 6
โข (๐ โ โ0
โ 1 โค (1 ยท (!โ๐))) |
46 | | 0re 7959 |
. . . . . . . 8
โข 0 โ
โ |
47 | | reexpcl 10539 |
. . . . . . . 8
โข ((0
โ โ โง ๐
โ โ0) โ (0โ๐) โ โ) |
48 | 46, 47 | mpan 424 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โ0
โ (0โ๐) โ
โ) |
49 | | 1re 7958 |
. . . . . . . 8
โข 1 โ
โ |
50 | | remulcl 7941 |
. . . . . . . 8
โข ((1
โ โ โง (!โ๐) โ โ) โ (1 ยท
(!โ๐)) โ
โ) |
51 | 49, 24, 50 | sylancr 414 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โ0
โ (1 ยท (!โ๐)) โ โ) |
52 | | letr 8042 |
. . . . . . . 8
โข
(((0โ๐) โ
โ โง 1 โ โ โง (1 ยท (!โ๐)) โ โ) โ (((0โ๐) โค 1 โง 1 โค (1
ยท (!โ๐)))
โ (0โ๐) โค (1
ยท (!โ๐)))) |
53 | 49, 52 | mp3an2 1325 |
. . . . . . 7
โข
(((0โ๐) โ
โ โง (1 ยท (!โ๐)) โ โ) โ (((0โ๐) โค 1 โง 1 โค (1
ยท (!โ๐)))
โ (0โ๐) โค (1
ยท (!โ๐)))) |
54 | 48, 51, 53 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
โข (๐ โ โ0
โ (((0โ๐) โค 1
โง 1 โค (1 ยท (!โ๐))) โ (0โ๐) โค (1 ยท (!โ๐)))) |
55 | 41, 45, 54 | mp2and 433 |
. . . . 5
โข (๐ โ โ0
โ (0โ๐) โค (1
ยท (!โ๐))) |
56 | 55 | adantl 277 |
. . . 4
โข ((๐ = 0 โง ๐ โ โ0) โ
(0โ๐) โค (1 ยท
(!โ๐))) |
57 | | oveq1 5884 |
. . . . . 6
โข (๐ = 0 โ (๐โ๐) = (0โ๐)) |
58 | | oveq12 5886 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ = 0 โง ๐ = 0) โ (๐โ๐) = (0โ0)) |
59 | 58 | anidms 397 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = 0 โ (๐โ๐) = (0โ0)) |
60 | 59, 36 | eqtrdi 2226 |
. . . . . . 7
โข (๐ = 0 โ (๐โ๐) = 1) |
61 | 60 | oveq1d 5892 |
. . . . . 6
โข (๐ = 0 โ ((๐โ๐) ยท (!โ๐)) = (1 ยท (!โ๐))) |
62 | 57, 61 | breq12d 4018 |
. . . . 5
โข (๐ = 0 โ ((๐โ๐) โค ((๐โ๐) ยท (!โ๐)) โ (0โ๐) โค (1 ยท (!โ๐)))) |
63 | 62 | adantr 276 |
. . . 4
โข ((๐ = 0 โง ๐ โ โ0) โ ((๐โ๐) โค ((๐โ๐) ยท (!โ๐)) โ (0โ๐) โค (1 ยท (!โ๐)))) |
64 | 56, 63 | mpbird 167 |
. . 3
โข ((๐ = 0 โง ๐ โ โ0) โ (๐โ๐) โค ((๐โ๐) ยท (!โ๐))) |
65 | 30, 64 | jaoian 795 |
. 2
โข (((๐ โ โ โจ ๐ = 0) โง ๐ โ โ0) โ (๐โ๐) โค ((๐โ๐) ยท (!โ๐))) |
66 | 1, 65 | sylanb 284 |
1
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ โ
โ0) โ (๐โ๐) โค ((๐โ๐) ยท (!โ๐))) |