ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  faclbnd3 GIF version

Theorem faclbnd3 10725
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))

Proof of Theorem faclbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 9180 . 2 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘€ = 0))
2 nnre 8928 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
32adantr 276 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
4 nnge1 8944 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘€)
54adantr 276 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘€)
6 nn0z 9275 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
76adantl 277 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
8 uzid 9544 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
9 peano2uz 9585 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
107, 8, 93syl 17 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
113, 5, 10leexp2ad 10685 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)))
12 nnnn0 9185 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
13 faclbnd 10723 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
1412, 13sylan 283 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
15 nn0re 9187 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
16 reexpcl 10539 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
1715, 16sylan 283 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
18 peano2nn0 9218 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
19 reexpcl 10539 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
2015, 18, 19syl2an 289 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
21 reexpcl 10539 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
2215, 21mpancom 422 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
23 faccl 10717 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
2423nnred 8934 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
25 remulcl 7941 . . . . . . 7 (((๐‘€โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
2622, 24, 25syl2an 289 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
27 letr 8042 . . . . . 6 (((๐‘€โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โˆง (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
2817, 20, 26, 27syl3anc 1238 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โˆง (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
2912, 28sylan 283 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โˆง (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
3011, 14, 29mp2and 433 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
31 elnn0 9180 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
32 0exp 10557 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0โ†‘๐‘) = 0)
33 0le1 8440 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 1
3432, 33eqbrtrdi 4044 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค 1)
35 oveq2 5885 . . . . . . . . 9 (๐‘ = 0 โ†’ (0โ†‘๐‘) = (0โ†‘0))
36 0exp0e1 10527 . . . . . . . . . 10 (0โ†‘0) = 1
37 1le1 8531 . . . . . . . . . 10 1 โ‰ค 1
3836, 37eqbrtri 4026 . . . . . . . . 9 (0โ†‘0) โ‰ค 1
3935, 38eqbrtrdi 4044 . . . . . . . 8 (๐‘ = 0 โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค 1)
4034, 39jaoi 716 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค 1)
4131, 40sylbi 121 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค 1)
42 1nn 8932 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•
43 nnmulcl 8942 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„• โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•)
4442, 23, 43sylancr 414 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•)
4544nnge1d 8964 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘)))
46 0re 7959 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
47 reexpcl 10539 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
4846, 47mpan 424 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
49 1re 7958 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
50 remulcl 7941 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
5149, 24, 50sylancr 414 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
52 letr 8042 . . . . . . . 8 (((0โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (((0โ†‘๐‘) โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))))
5349, 52mp3an2 1325 . . . . . . 7 (((0โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (((0โ†‘๐‘) โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))))
5448, 51, 53syl2anc 411 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((0โ†‘๐‘) โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))))
5541, 45, 54mp2and 433 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘)))
5655adantl 277 . . . 4 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘)))
57 oveq1 5884 . . . . . 6 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) = (0โ†‘๐‘))
58 oveq12 5886 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘€) = (0โ†‘0))
5958anidms 397 . . . . . . . 8 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘€) = (0โ†‘0))
6059, 36eqtrdi 2226 . . . . . . 7 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘€) = 1)
6160oveq1d 5892 . . . . . 6 (๐‘€ = 0 โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) = (1 ยท (!โ€˜๐‘)))
6257, 61breq12d 4018 . . . . 5 (๐‘€ = 0 โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โ†” (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))))
6362adantr 276 . . . 4 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โ†” (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))))
6456, 63mpbird 167 . . 3 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
6530, 64jaoian 795 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘€ = 0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
661, 65sylanb 284 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  โ„cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   ยท cmul 7818   โ‰ค cle 7995  โ„•cn 8921  โ„•0cn0 9178  โ„คcz 9255  โ„คโ‰ฅcuz 9530  โ†‘cexp 10521  !cfa 10707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-fac 10708
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator