Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ledivnn GIF version

Theorem nn0ledivnn 9585
 Description: Division of a nonnegative integer by a positive integer is less than or equal to the integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
nn0ledivnn ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ledivnn
StepHypRef Expression
1 elnn0 9004 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2 nnge1 8768 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐵)
32adantl 275 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐵)
4 nnrp 9481 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
5 nnledivrp 9584 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
64, 5sylan2 284 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
73, 6mpbid 146 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴)
87ex 114 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
9 nncn 8753 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
10 nnap0 8774 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 # 0)
119, 10jca 304 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
1211adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
13 div0ap 8487 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (0 / 𝐵) = 0)
1412, 13syl 14 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 / 𝐵) = 0)
15 0le0 8834 . . . . . . 7 0 ≤ 0
1614, 15eqbrtrdi 3975 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 / 𝐵) ≤ 0)
17 oveq1 5789 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (𝐴 / 𝐵) = (0 / 𝐵))
18 id 19 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
1917, 18breq12d 3950 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ 0))
2019adantr 274 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ 0))
2116, 20mpbird 166 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴)
2221ex 114 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
238, 22jaoi 706 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
241, 23sylbi 120 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
2524imp 123 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782  ℂcc 7643  0cc0 7645  1c1 7646   ≤ cle 7826   # cap 8368   / cdiv 8457  ℕcn 8745  ℕ0cn0 9002  ℝ+crp 9471 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7736  ax-resscn 7737  ax-1cn 7738  ax-1re 7739  ax-icn 7740  ax-addcl 7741  ax-addrcl 7742  ax-mulcl 7743  ax-mulrcl 7744  ax-addcom 7745  ax-mulcom 7746  ax-addass 7747  ax-mulass 7748  ax-distr 7749  ax-i2m1 7750  ax-0lt1 7751  ax-1rid 7752  ax-0id 7753  ax-rnegex 7754  ax-precex 7755  ax-cnre 7756  ax-pre-ltirr 7757  ax-pre-ltwlin 7758  ax-pre-lttrn 7759  ax-pre-apti 7760  ax-pre-ltadd 7761  ax-pre-mulgt0 7762  ax-pre-mulext 7763 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7827  df-mnf 7828  df-xr 7829  df-ltxr 7830  df-le 7831  df-sub 7960  df-neg 7961  df-reap 8362  df-ap 8369  df-div 8458  df-inn 8746  df-n0 9003  df-rp 9472 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator