Theorem nn0ledivnn 9975

Description: Division of a nonnegative integer by a positive integer is less than or equal to the integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ledivnn	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ledivnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9382	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2		nnge1 9144	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐵)
3	2	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐵)
4		nnrp 9871	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
5		nnledivrp 9974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
6	4, 5	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
7	3, 6	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴)
8	7	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
9		nncn 9129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
10		nnap0 9150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 # 0)
11	9, 10	jca 306	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
12	11	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
13		div0ap 8860	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (0 / 𝐵) = 0)
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 / 𝐵) = 0)
15		0le0 9210	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
16	14, 15	eqbrtrdi 4122	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 / 𝐵) ≤ 0)
17		oveq1 6014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 / 𝐵) = (0 / 𝐵))
18		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
19	17, 18	breq12d 4096	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ 0))
20	19	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ 0))
21	16, 20	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴)
22	21	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
23	8, 22	jaoi 721	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
24	1, 23	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
25	24	imp 124	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℂcc 8008  0cc0 8010  1c1 8011   ≤ cle 8193   # cap 8739   / cdiv 8830  ℕcn 9121  ℕ₀cn0 9380  ℝ⁺crp 9861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-n0 9381  df-rp 9862

This theorem is referenced by:  2lgslem1c  15785