ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ledivnn GIF version

Theorem nn0ledivnn 9170
Description: Division of a nonnegative integer by a positive integer is less than or equal to the integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
nn0ledivnn ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ledivnn
StepHypRef Expression
1 elnn0 8608 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2 nnge1 8380 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐵)
32adantl 271 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐵)
4 nnrp 9075 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
5 nnledivrp 9169 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
64, 5sylan2 280 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
73, 6mpbid 145 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴)
87ex 113 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
9 nncn 8365 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
10 nnap0 8386 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 # 0)
119, 10jca 300 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
1211adantl 271 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
13 div0ap 8108 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (0 / 𝐵) = 0)
1412, 13syl 14 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 / 𝐵) = 0)
15 0le0 8446 . . . . . . 7 0 ≤ 0
1614, 15syl6eqbr 3857 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (0 / 𝐵) ≤ 0)
17 oveq1 5620 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (𝐴 / 𝐵) = (0 / 𝐵))
18 id 19 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
1917, 18breq12d 3833 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ 0))
2019adantr 270 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ 0))
2116, 20mpbird 165 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴)
2221ex 113 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
238, 22jaoi 669 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
241, 23sylbi 119 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
2524imp 122 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662   = wceq 1287  wcel 1436   class class class wbr 3820  (class class class)co 5613  cc 7292  0cc0 7294  1c1 7295  cle 7467   # cap 7999   / cdiv 8078  cn 8357  0cn0 8606  +crp 9066
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-br 3821  df-opab 3875  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-n0 8607  df-rp 9067
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator