Theorem leexp1a 10752

Description: Weak base ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 18-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
leexp1a	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁))

Proof of Theorem leexp1a

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑0))
2		oveq2 5962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑0))
3	1, 2	breq12d 4061	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗) ↔ (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0)))
4	3	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))))
5		oveq2 5962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
6		oveq2 5962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑𝑘))
7	5, 6	breq12d 4061	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗) ↔ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)))
8	7	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘))))
9		oveq2 5962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
10		oveq2 5962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
11	9, 10	breq12d 4061	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1))))
12	11	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
13		oveq2 5962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
14		oveq2 5962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑𝑁))
15	13, 14	breq12d 4061	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗) ↔ (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁)))
16	15	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁))))
17		recn 8071	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
18		recn 8071	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
19		exp0 10701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
20	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) = 1)
21		1le1 8658	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 1
22	20, 21	eqbrtrdi 4087	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) ≤ 1)
23		exp0 10701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
24	23	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑0) = 1)
25	22, 24	breqtrrd 4076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))
26	17, 18, 25	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))
27	26	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))
28		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
29		reexpcl 10714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
30	28, 29	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
31		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
32		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
33		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
34		expge0 10733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴↑𝑘))
35	31, 32, 33, 34	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴↑𝑘))
36		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
37		reexpcl 10714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
38	36, 37	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
39	30, 35, 38	jca31 309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑘)) ∧ (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ))
40		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
41		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 ≤ 𝐴)
42	40, 41	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
43	42	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
44		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
45	39, 43, 44	jca32 310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑘)) ∧ (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
46	45	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → ((((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑘)) ∧ (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
47		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘))
48		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ 𝐵)
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
50	47, 49	jca 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → ((𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
51		lemul12a 8948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑘)) ∧ (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) ≤ ((𝐵↑𝑘) · 𝐵)))
52	46, 50, 51	sylc 62	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) ≤ ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
53		expp1 10704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
54	17, 53	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
55	54	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
56	55	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
57	56	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
58		expp1 10704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
59	18, 58	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
60	59	adantll 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
61	60	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
62	61	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
63	52, 57, 62	3brtr4d 4080	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))
64	63	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1))))
65	64	expcom 116	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
66	65	a2d 26	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
67	4, 8, 12, 16, 27, 66	nn0ind 9500	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁)))
68	67	exp4c 368	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁)))))
69	68	com3l 81	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁)))))
70	69	3imp1 1223	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4048  (class class class)co 5954  ℂcc 7936  ℝcr 7937  0cc0 7938  1c1 7939   + caddc 7941   · cmul 7943   ≤ cle 8121  ℕ₀cn0 9308  ↑cexp 10696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-iord 4418  df-on 4420  df-ilim 4421  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-recs 6401  df-frec 6487  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-n0 9309  df-z 9386  df-uz 9662  df-seqfrec 10606  df-exp 10697

This theorem is referenced by:  expubnd  10754  facubnd  10903  expcnvre  11864