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Theorem xltnegi 9648
Description: Forward direction of xltneg 9649. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xltnegi ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)

Proof of Theorem xltnegi
StepHypRef Expression
1 elxr 9593 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 elxr 9593 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3 ltneg 8248 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))
4 rexneg 9643 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
5 rexneg 9643 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
64, 5breqan12rd 3954 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 ↔ -𝐵 < -𝐴))
73, 6bitr4d 190 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
87biimpd 143 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
9 xnegeq 9640 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
10 xnegpnf 9641 . . . . . . . . . . 11 -𝑒+∞ = -∞
119, 10eqtrdi 2189 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -∞)
1211adantl 275 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -∞)
13 renegcl 8047 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
145, 13eqeltrd 2217 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
15 mnflt 9599 . . . . . . . . . . 11 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → -∞ < -𝑒𝐴)
1614, 15syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < -𝑒𝐴)
1716adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -∞ < -𝑒𝐴)
1812, 17eqbrtrd 3958 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)
1918a1d 22 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
20 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
2120breq2d 3949 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -∞))
22 rexr 7835 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
23 nltmnf 9604 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < -∞)
2524adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
2625pm2.21d 609 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < -∞ → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
2721, 26sylbid 149 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
288, 19, 273jaodan 1285 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
292, 28sylan2b 285 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
3029expimpd 361 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
31 simpl 108 . . . . . . 7 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = +∞)
3231breq1d 3947 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
33 pnfnlt 9603 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
3433adantl 275 . . . . . . 7 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ +∞ < 𝐵)
3534pm2.21d 609 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
3632, 35sylbid 149 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
3736expimpd 361 . . . 4 (𝐴 = +∞ → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
38 breq1 3940 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ -∞ < 𝐵))
3938anbi2d 460 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵)))
40 renegcl 8047 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
414, 40eqeltrd 2217 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
4241adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
43 ltpnf 9597 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 < +∞)
4442, 43syl 14 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
4511adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝐵 = +∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 = -∞)
46 mnfltpnf 9601 . . . . . . . . 9 -∞ < +∞
4745, 46eqbrtrdi 3975 . . . . . . . 8 ((𝐵 = +∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
48 breq2 3941 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < -∞))
49 mnfxr 7846 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
50 nltmnf 9604 . . . . . . . . . . . 12 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ¬ -∞ < -∞
5251pm2.21i 636 . . . . . . . . . 10 (-∞ < -∞ → -𝑒𝐵 < +∞)
5348, 52syl6bi 162 . . . . . . . . 9 (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 → -𝑒𝐵 < +∞))
5453imp 123 . . . . . . . 8 ((𝐵 = -∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
5544, 47, 543jaoian 1284 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞) ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
562, 55sylanb 282 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
57 xnegeq 9640 . . . . . . . 8 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
58 xnegmnf 9642 . . . . . . . 8 -𝑒-∞ = +∞
5957, 58eqtrdi 2189 . . . . . . 7 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
6059breq2d 3949 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 ↔ -𝑒𝐵 < +∞))
6156, 60syl5ibr 155 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
6239, 61sylbid 149 . . . 4 (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
6330, 37, 623jaoi 1282 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
641, 63sylbi 120 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
65643impib 1180 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  w3o 962  w3a 963   = wceq 1332  wcel 1481   class class class wbr 3937  cr 7643  +∞cpnf 7821  -∞cmnf 7822  *cxr 7823   < clt 7824  -cneg 7958  -𝑒cxne 9586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltadd 7760
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-sub 7959  df-neg 7960  df-xneg 9589
This theorem is referenced by:  xltneg  9649
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