Theorem dfrel2 5120

Description: Alternate definition of relation. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrel2	⊢ (Rel 𝑅 ↔ ◡◡𝑅 = 𝑅)

Proof of Theorem dfrel2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5047	. . 3 ⊢ Rel ◡◡𝑅
2		vex 2766	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		vex 2766	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
4	2, 3	opelcnv 4848	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡◡𝑅 ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅)
5	3, 2	opelcnv 4848	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)
6	4, 5	bitri 184	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡◡𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)
7	6	eqrelriv 4756	. . 3 ⊢ ((Rel ◡◡𝑅 ∧ Rel 𝑅) → ◡◡𝑅 = 𝑅)
8	1, 7	mpan 424	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → ◡◡𝑅 = 𝑅)
9		releq 4745	. . 3 ⊢ (◡◡𝑅 = 𝑅 → (Rel ◡◡𝑅 ↔ Rel 𝑅))
10	1, 9	mpbii 148	. 2 ⊢ (◡◡𝑅 = 𝑅 → Rel 𝑅)
11	8, 10	impbii 126	1 ⊢ (Rel 𝑅 ↔ ◡◡𝑅 = 𝑅)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ⟨cop 3625  ^◡ccnv 4662  Rel wrel 4668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671

This theorem is referenced by:  dfrel4v  5121  cnvcnv  5122  cnveqb  5125  dfrel3  5127  cnvcnvres  5133  cnvsn  5152  cores2  5182  co01  5184  coi2  5186  relcnvtr  5189  relcnvexb  5209  funcnvres2  5333  f1cnvcnv  5474  f1ocnv  5517  f1ocnvb  5518  f1ococnv1  5533  isores1  5861  cnvf1o  6283  tposf12  6327  ssenen  6912  relcnvfi  7007  caseinl  7157  caseinr  7158  fsumcnv  11602  fprodcnv  11790  structcnvcnv  12694  hmeocnv  14543  hmeocnvb  14554