Theorem dfrel2 4997

Description: Alternate definition of relation. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrel2	⊢ (Rel 𝑅 ↔ ◡◡𝑅 = 𝑅)

Proof of Theorem dfrel2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4925	. . 3 ⊢ Rel ◡◡𝑅
2		vex 2692	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		vex 2692	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
4	2, 3	opelcnv 4729	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡◡𝑅 ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅)
5	3, 2	opelcnv 4729	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)
6	4, 5	bitri 183	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡◡𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)
7	6	eqrelriv 4640	. . 3 ⊢ ((Rel ◡◡𝑅 ∧ Rel 𝑅) → ◡◡𝑅 = 𝑅)
8	1, 7	mpan 421	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → ◡◡𝑅 = 𝑅)
9		releq 4629	. . 3 ⊢ (◡◡𝑅 = 𝑅 → (Rel ◡◡𝑅 ↔ Rel 𝑅))
10	1, 9	mpbii 147	. 2 ⊢ (◡◡𝑅 = 𝑅 → Rel 𝑅)
11	8, 10	impbii 125	1 ⊢ (Rel 𝑅 ↔ ◡◡𝑅 = 𝑅)

Syntax hints:   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ⟨cop 3535  ^◡ccnv 4546  Rel wrel 4552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555

This theorem is referenced by:  dfrel4v  4998  cnvcnv  4999  cnveqb  5002  dfrel3  5004  cnvcnvres  5010  cnvsn  5029  cores2  5059  co01  5061  coi2  5063  relcnvtr  5066  relcnvexb  5086  funcnvres2  5206  f1cnvcnv  5347  f1ocnv  5388  f1ocnvb  5389  f1ococnv1  5404  isores1  5723  cnvf1o  6130  tposf12  6174  ssenen  6753  relcnvfi  6837  caseinl  6984  caseinr  6985  fsumcnv  11238  structcnvcnv  12014  hmeocnv  12515  hmeocnvb  12526