Theorem dfrel2 5218

Description: Alternate definition of relation. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrel2	⊢ (Rel 𝑅 ↔ ◡◡𝑅 = 𝑅)

Proof of Theorem dfrel2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5145	. . 3 ⊢ Rel ◡◡𝑅
2		vex 2818	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		vex 2818	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
4	2, 3	opelcnv 4942	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡◡𝑅 ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅)
5	3, 2	opelcnv 4942	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)
6	4, 5	bitri 184	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡◡𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)
7	6	eqrelriv 4848	. . 3 ⊢ ((Rel ◡◡𝑅 ∧ Rel 𝑅) → ◡◡𝑅 = 𝑅)
8	1, 7	mpan 424	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → ◡◡𝑅 = 𝑅)
9		releq 4837	. . 3 ⊢ (◡◡𝑅 = 𝑅 → (Rel ◡◡𝑅 ↔ Rel 𝑅))
10	1, 9	mpbii 148	. 2 ⊢ (◡◡𝑅 = 𝑅 → Rel 𝑅)
11	8, 10	impbii 126	1 ⊢ (Rel 𝑅 ↔ ◡◡𝑅 = 𝑅)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ⟨cop 3697  ^◡ccnv 4753  Rel wrel 4759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762

This theorem is referenced by:  dfrel4v  5219  cnvcnv  5220  cnveqb  5223  dfrel3  5225  cnvcnvres  5231  cnvsn  5250  cores2  5280  co01  5282  coi2  5284  relcnvtr  5287  relcnvexb  5307  funcnvres2  5436  f1cnvcnv  5589  f1ocnv  5632  f1ocnvb  5633  f1ococnv1  5648  isores1  5993  cnvf1o  6434  tposf12  6513  ssenen  7118  relcnvfi  7221  caseinl  7395  caseinr  7396  fsumcnv  12148  fprodcnv  12336  structcnvcnv  13312  hmeocnv  15284  hmeocnvb  15295