Theorem fvres 5274

Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fvres	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem fvres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2615	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	brres 4677	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ (𝐴𝐹𝑥 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	2	rbaib 864	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
4	3	iotabidv 4955	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥))
5		df-fv 4977	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥)
6		df-fv 4977	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥)
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2140	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1285   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3811   ↾ cres 4403  ℩cio 4932  ‘cfv 4969

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-xp 4407  df-res 4413  df-iota 4934  df-fv 4977

This theorem is referenced by:  funssfv  5275  feqresmpt  5303  fvreseq  5348  respreima  5372  ffvresb  5403  fnressn  5425  fressnfv  5426  fvresi  5432  fvunsng  5433  fvsnun1  5436  fvsnun2  5437  fsnunfv  5439  funfvima  5466  isoresbr  5528  isores3  5534  isoini2  5537  ovres  5719  ofres  5804  offres  5841  fo1stresm  5867  fo2ndresm  5868  fo2ndf  5927  f1o2ndf1  5928  smores  5989  smores2  5991  tfrlem1  6005  rdgival  6079  frec0g  6094  freccllem  6099  frecsuclem  6103  frecrdg  6105  djulclr  6648  djurclr  6649  updjudhcoinlf  6678  updjudhcoinrg  6679  updjud  6680  finomni  6701  exmidfodomrlemrALT  6732  addpiord  6778  mulpiord  6779  fseq1p1m1  9401  iseqfeq2  9764  shftidt  10095  climres  10516  eucialgcvga  10820  eucialg  10821  djucllem  11043