Theorem fvres 5656

Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fvres	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem fvres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2802	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	brres 5014	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ (𝐴𝐹𝑥 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	2	rbaib 926	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
4	3	iotabidv 5304	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥))
5		df-fv 5329	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥)
6		df-fv 5329	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥)
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2287	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083   ↾ cres 4722  ℩cio 5279  ‘cfv 5321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4726  df-res 4732  df-iota 5281  df-fv 5329

This theorem is referenced by:  fvresd  5657  funssfv  5658  feqresmpt  5693  fvreseq  5743  respreima  5768  ffvresb  5803  fnressn  5832  fressnfv  5833  fvresi  5839  fvunsng  5840  fvsnun1  5843  fvsnun2  5844  fsnunfv  5847  funfvima  5878  isoresbr  5942  isores3  5948  isoini2  5952  ovres  6154  ofres  6242  offres  6289  fo1stresm  6316  fo2ndresm  6317  fo2ndf  6384  f1o2ndf1  6385  smores  6449  smores2  6451  tfrlem1  6465  rdgival  6539  frec0g  6554  freccllem  6559  frecsuclem  6563  frecrdg  6565  resixp  6893  djulclr  7232  djurclr  7233  djur  7252  updjudhcoinlf  7263  updjudhcoinrg  7264  updjud  7265  finomni  7323  exmidfodomrlemrALT  7397  addpiord  7519  mulpiord  7520  suplocexprlemell  7916  fseq1p1m1  10307  seq3feq2  10715  seqf1oglem2  10759  seq3coll  11082  pfxccat1  11255  shftidt  11365  climres  11835  fisumss  11924  isumclim3  11955  fsum2dlemstep  11966  fprodssdc  12122  fprod2dlemstep  12154  reeff1  12232  eucalgcvga  12601  eucalg  12602  strslfv2d  13096  setsslid  13104  setsslnid  13105  resmhm  13541  resghm  13818  rngmgpf  13921  mgpf  13995  znf1o  14636  cnptopresti  14933  cnptoprest  14934  lmres  14943  tx1cn  14964  tx2cn  14965  cnmpt1st  14983  cnmpt2nd  14984  remetdval  15242  rescncf  15276  limcdifap  15357  limcresi  15361  plyreres  15459  reeff1o  15468  reefiso  15472  ioocosf1o  15549  relogcl  15557  relogef  15559  logltb  15569  mpodvdsmulf1o  15685  fsumdvdsmul  15686  djucllem  16273  012of  16470  2o01f  16471