Theorem fvres 5699

Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fvres	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem fvres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2818	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	brres 5049	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ (𝐴𝐹𝑥 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	2	rbaib 929	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
4	3	iotabidv 5340	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥))
5		df-fv 5365	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥)
6		df-fv 5365	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥)
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2292	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114   ↾ cres 4756  ℩cio 5315  ‘cfv 5357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-res 4766  df-iota 5317  df-fv 5365

This theorem is referenced by:  fvresd  5700  funssfv  5701  feqresmpt  5736  fvreseq  5786  respreima  5810  ffvresb  5845  fnressn  5875  fressnfv  5876  fvresi  5882  fvunsng  5883  fvsnun1  5886  fvsnun2  5887  fsnunfv  5890  funfvima  5923  isoresbr  5988  isores3  5994  isoini2  5998  ovres  6202  ofres  6290  offres  6341  fo1stresm  6368  fo2ndresm  6369  fo2ndf  6436  f1o2ndf1  6437  smores  6536  smores2  6538  tfrlem1  6552  rdgival  6626  frec0g  6641  freccllem  6646  frecsuclem  6650  frecrdg  6652  resixp  6981  djulclr  7353  djurclr  7354  djur  7373  updjudhcoinlf  7384  updjudhcoinrg  7385  updjud  7386  finomni  7444  exmidfodomrlemrALT  7519  addpiord  7647  mulpiord  7648  suplocexprlemell  8044  fseq1p1m1  10450  seq3feq2  10862  seqf1oglem2  10906  seq3coll  11239  pfxccat1  11419  shftidt  11543  climres  12013  fisumss  12103  isumclim3  12134  fsum2dlemstep  12145  fprodssdc  12301  fprod2dlemstep  12333  reeff1  12411  eucalgcvga  12780  eucalg  12781  strslfv2d  13339  setsslid  13347  setsslnid  13348  resmhm  13742  resghm  14013  rngmgpf  14176  mgpf  14254  znf1o  14925  cnptopresti  15229  cnptoprest  15230  lmres  15239  tx1cn  15260  tx2cn  15261  cnmpt1st  15279  cnmpt2nd  15280  remetdval  15538  rescncf  15572  limcdifap  15653  limcresi  15657  plyreres  15755  reeff1o  15764  reefiso  15768  ioocosf1o  15845  relogcl  15853  relogef  15855  logltb  15865  mpodvdsmulf1o  15984  fsumdvdsmul  15985  djucllem  16698  012of  16893  2o01f  16894