Theorem fvres 5485

Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fvres	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem fvres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2712	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	brres 4865	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ (𝐴𝐹𝑥 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	2	rbaib 907	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
4	3	iotabidv 5149	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥))
5		df-fv 5171	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥)
6		df-fv 5171	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥)
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2212	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1332   ∈ wcel 2125   class class class wbr 3961   ↾ cres 4581  ℩cio 5126  ‘cfv 5163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-v 2711  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-xp 4585  df-res 4591  df-iota 5128  df-fv 5171

This theorem is referenced by:  fvresd  5486  funssfv  5487  feqresmpt  5515  fvreseq  5564  respreima  5588  ffvresb  5623  fnressn  5646  fressnfv  5647  fvresi  5653  fvunsng  5654  fvsnun1  5657  fvsnun2  5658  fsnunfv  5661  funfvima  5689  isoresbr  5750  isores3  5756  isoini2  5760  ovres  5950  ofres  6036  offres  6073  fo1stresm  6099  fo2ndresm  6100  fo2ndf  6164  f1o2ndf1  6165  smores  6229  smores2  6231  tfrlem1  6245  rdgival  6319  frec0g  6334  freccllem  6339  frecsuclem  6343  frecrdg  6345  resixp  6667  djulclr  6979  djurclr  6980  djur  6999  updjudhcoinlf  7010  updjudhcoinrg  7011  updjud  7012  finomni  7062  exmidfodomrlemrALT  7117  addpiord  7215  mulpiord  7216  suplocexprlemell  7612  fseq1p1m1  9974  seq3feq2  10347  seq3coll  10690  shftidt  10710  climres  11177  fisumss  11266  isumclim3  11297  fsum2dlemstep  11308  fprodssdc  11464  fprod2dlemstep  11496  reeff1  11574  eucalgcvga  11907  eucalg  11908  strslfv2d  12179  setsslid  12187  setsslnid  12188  cnptopresti  12585  cnptoprest  12586  lmres  12595  tx1cn  12616  tx2cn  12617  cnmpt1st  12635  cnmpt2nd  12636  remetdval  12886  rescncf  12915  limcdifap  12978  limcresi  12982  reeff1o  13041  reefiso  13045  ioocosf1o  13122  relogcl  13130  relogef  13132  logltb  13142  djucllem  13320  012of  13514  2o01f  13515