Theorem fvres 5719

Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fvres	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem fvres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	brres 5069	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ (𝐴𝐹𝑥 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	2	rbaib 933	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
4	3	iotabidv 5360	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥))
5		df-fv 5385	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥)
6		df-fv 5385	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥)
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2296	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130   ↾ cres 4776  ℩cio 5335  ‘cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-res 4786  df-iota 5337  df-fv 5385

This theorem is used by:  fvresd  5720  funssfv  5721  feqresmpt  5757  fvreseq  5812  respreima  5836  ffvresb  5871  fnressn  5901  fressnfv  5902  fvresi  5908  fvunsng  5909  fvsnun1  5912  fvsnun2  5913  fsnunfv  5916  funfvima  5950  isoresbr  6015  isores3  6021  isoini2  6025  ovres  6229  ofres  6317  offres  6368  fo1stresm  6395  fo2ndresm  6396  fo2ndf  6463  f1o2ndf1  6464  smores  6563  smores2  6565  tfrlem1  6579  rdgival  6653  frec0g  6668  freccllem  6673  frecsuclem  6677  frecrdg  6679  resixp  7015  djulclr  7389  djurclr  7390  djur  7409  updjudhcoinlf  7420  updjudhcoinrg  7421  updjud  7422  finomni  7480  exmidfodomrlemrALT  7555  addpiord  7683  mulpiord  7684  suplocexprlemell  8080  fseq1p1m1  10511  seq3feq2  10926  seqf1oglem2  10970  hashf1lem1  11299  seq3coll  11308  pfxccat1  11488  shftidt  11612  climres  12085  fisumss  12175  isumclim3  12206  fsum2dlemstep  12217  fprodssdc  12373  fprod2dlemstep  12405  reeff1  12483  eucalgcvga  12852  eucalg  12853  strslfv2d  13444  setsslid  13452  setsslnid  13453  resmhm  13843  resghm  14112  gsummptfidmadd  14210  gsumsubmclfi  14212  rngmgpf  14285  mgpf  14364  znf1o  15035  cnptopresti  15388  cnptoprest  15389  lmres  15398  tx1cn  15419  tx2cn  15420  cnmpt1st  15438  cnmpt2nd  15439  remetdval  15697  rescncf  15731  limcdifap  15812  limcresi  15816  plyreres  15914  reeff1o  15923  reefiso  15927  ioocosf1o  16005  relogcl  16013  relogef  16015  logltb  16026  mpodvdsmulf1o  16185  fsumdvdsmul  16186  djucllem  16926  012of  17121  2o01f  17122