Theorem fvres 5510

Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fvres	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem fvres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2729	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	brres 4890	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ (𝐴𝐹𝑥 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	2	rbaib 911	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
4	3	iotabidv 5174	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥))
5		df-fv 5196	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥)
6		df-fv 5196	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥)
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2224	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982   ↾ cres 4606  ℩cio 5151  ‘cfv 5188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-res 4616  df-iota 5153  df-fv 5196

This theorem is referenced by:  fvresd  5511  funssfv  5512  feqresmpt  5540  fvreseq  5589  respreima  5613  ffvresb  5648  fnressn  5671  fressnfv  5672  fvresi  5678  fvunsng  5679  fvsnun1  5682  fvsnun2  5683  fsnunfv  5686  funfvima  5716  isoresbr  5777  isores3  5783  isoini2  5787  ovres  5981  ofres  6064  offres  6103  fo1stresm  6129  fo2ndresm  6130  fo2ndf  6195  f1o2ndf1  6196  smores  6260  smores2  6262  tfrlem1  6276  rdgival  6350  frec0g  6365  freccllem  6370  frecsuclem  6374  frecrdg  6376  resixp  6699  djulclr  7014  djurclr  7015  djur  7034  updjudhcoinlf  7045  updjudhcoinrg  7046  updjud  7047  finomni  7104  exmidfodomrlemrALT  7159  addpiord  7257  mulpiord  7258  suplocexprlemell  7654  fseq1p1m1  10029  seq3feq2  10405  seq3coll  10755  shftidt  10775  climres  11244  fisumss  11333  isumclim3  11364  fsum2dlemstep  11375  fprodssdc  11531  fprod2dlemstep  11563  reeff1  11641  eucalgcvga  11990  eucalg  11991  strslfv2d  12436  setsslid  12444  setsslnid  12445  cnptopresti  12878  cnptoprest  12879  lmres  12888  tx1cn  12909  tx2cn  12910  cnmpt1st  12928  cnmpt2nd  12929  remetdval  13179  rescncf  13208  limcdifap  13271  limcresi  13275  reeff1o  13334  reefiso  13338  ioocosf1o  13415  relogcl  13423  relogef  13425  logltb  13435  djucllem  13681  012of  13875  2o01f  13876