Theorem fvres 5540

Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fvres	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem fvres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2741	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	brres 4914	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ (𝐴𝐹𝑥 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	2	rbaib 921	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
4	3	iotabidv 5200	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥))
5		df-fv 5225	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥)
6		df-fv 5225	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥)
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2235	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004   ↾ cres 4629  ℩cio 5177  ‘cfv 5217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-res 4639  df-iota 5179  df-fv 5225

This theorem is referenced by:  fvresd  5541  funssfv  5542  feqresmpt  5571  fvreseq  5620  respreima  5645  ffvresb  5680  fnressn  5703  fressnfv  5704  fvresi  5710  fvunsng  5711  fvsnun1  5714  fvsnun2  5715  fsnunfv  5718  funfvima  5749  isoresbr  5810  isores3  5816  isoini2  5820  ovres  6014  ofres  6097  offres  6136  fo1stresm  6162  fo2ndresm  6163  fo2ndf  6228  f1o2ndf1  6229  smores  6293  smores2  6295  tfrlem1  6309  rdgival  6383  frec0g  6398  freccllem  6403  frecsuclem  6407  frecrdg  6409  resixp  6733  djulclr  7048  djurclr  7049  djur  7068  updjudhcoinlf  7079  updjudhcoinrg  7080  updjud  7081  finomni  7138  exmidfodomrlemrALT  7202  addpiord  7315  mulpiord  7316  suplocexprlemell  7712  fseq1p1m1  10094  seq3feq2  10470  seq3coll  10822  shftidt  10842  climres  11311  fisumss  11400  isumclim3  11431  fsum2dlemstep  11442  fprodssdc  11598  fprod2dlemstep  11630  reeff1  11708  eucalgcvga  12058  eucalg  12059  strslfv2d  12505  setsslid  12513  setsslnid  12514  mgpf  13194  cnptopresti  13741  cnptoprest  13742  lmres  13751  tx1cn  13772  tx2cn  13773  cnmpt1st  13791  cnmpt2nd  13792  remetdval  14042  rescncf  14071  limcdifap  14134  limcresi  14138  reeff1o  14197  reefiso  14201  ioocosf1o  14278  relogcl  14286  relogef  14288  logltb  14298  djucllem  14555  012of  14748  2o01f  14749