Theorem fvres 5719

Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fvres	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem fvres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	brres 5069	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ (𝐴𝐹𝑥 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	2	rbaib 933	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
4	3	iotabidv 5360	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥))
5		df-fv 5385	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥)
6		df-fv 5385	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥)
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2296	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130   ↾ cres 4776  ℩cio 5335  ‘cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-res 4786  df-iota 5337  df-fv 5385

This theorem is used by:  fvresd  5720  funssfv  5721  feqresmpt  5757  fvreseq  5812  respreima  5836  ffvresb  5871  fnressn  5901  fressnfv  5902  fvresi  5908  fvunsng  5909  fvsnun1  5912  fvsnun2  5913  fsnunfv  5916  funfvima  5950  isoresbr  6015  isores3  6021  isoini2  6025  ovres  6229  ofres  6317  offres  6368  fo1stresm  6395  fo2ndresm  6396  fo2ndf  6463  f1o2ndf1  6464  smores  6563  smores2  6565  tfrlem1  6579  rdgival  6653  frec0g  6668  freccllem  6673  frecsuclem  6677  frecrdg  6679  resixp  7015  djulclr  7389  djurclr  7390  djur  7409  updjudhcoinlf  7420  updjudhcoinrg  7421  updjud  7422  finomni  7480  exmidfodomrlemrALT  7555  addpiord  7683  mulpiord  7684  suplocexprlemell  8080  fseq1p1m1  10501  seq3feq2  10913  seqf1oglem2  10957  hashf1lem1  11285  seq3coll  11294  pfxccat1  11474  shftidt  11598  climres  12069  fisumss  12159  isumclim3  12190  fsum2dlemstep  12201  fprodssdc  12357  fprod2dlemstep  12389  reeff1  12467  eucalgcvga  12836  eucalg  12837  strslfv2d  13395  setsslid  13403  setsslnid  13404  resmhm  13794  resghm  14063  gsummptfidmadd  14161  gsumsubmclfi  14163  rngmgpf  14236  mgpf  14315  znf1o  14986  cnptopresti  15339  cnptoprest  15340  lmres  15349  tx1cn  15370  tx2cn  15371  cnmpt1st  15389  cnmpt2nd  15390  remetdval  15648  rescncf  15682  limcdifap  15763  limcresi  15767  plyreres  15865  reeff1o  15874  reefiso  15878  ioocosf1o  15955  relogcl  15963  relogef  15965  logltb  15975  mpodvdsmulf1o  16104  fsumdvdsmul  16105  djucllem  16828  012of  17023  2o01f  17024