Theorem fvres 5585

Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fvres	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem fvres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2766	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	brres 4953	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ (𝐴𝐹𝑥 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	2	rbaib 922	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
4	3	iotabidv 5242	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥))
5		df-fv 5267	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥)
6		df-fv 5267	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥)
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2254	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034   ↾ cres 4666  ℩cio 5218  ‘cfv 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-res 4676  df-iota 5220  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  fvresd  5586  funssfv  5587  feqresmpt  5618  fvreseq  5668  respreima  5693  ffvresb  5728  fnressn  5751  fressnfv  5752  fvresi  5758  fvunsng  5759  fvsnun1  5762  fvsnun2  5763  fsnunfv  5766  funfvima  5797  isoresbr  5859  isores3  5865  isoini2  5869  ovres  6067  ofres  6154  offres  6201  fo1stresm  6228  fo2ndresm  6229  fo2ndf  6294  f1o2ndf1  6295  smores  6359  smores2  6361  tfrlem1  6375  rdgival  6449  frec0g  6464  freccllem  6469  frecsuclem  6473  frecrdg  6475  resixp  6801  djulclr  7124  djurclr  7125  djur  7144  updjudhcoinlf  7155  updjudhcoinrg  7156  updjud  7157  finomni  7215  exmidfodomrlemrALT  7284  addpiord  7402  mulpiord  7403  suplocexprlemell  7799  fseq1p1m1  10188  seq3feq2  10587  seqf1oglem2  10631  seq3coll  10953  shftidt  11017  climres  11487  fisumss  11576  isumclim3  11607  fsum2dlemstep  11618  fprodssdc  11774  fprod2dlemstep  11806  reeff1  11884  eucalgcvga  12253  eucalg  12254  strslfv2d  12748  setsslid  12756  setsslnid  12757  resmhm  13191  resghm  13468  rngmgpf  13571  mgpf  13645  znf1o  14285  cnptopresti  14582  cnptoprest  14583  lmres  14592  tx1cn  14613  tx2cn  14614  cnmpt1st  14632  cnmpt2nd  14633  remetdval  14891  rescncf  14925  limcdifap  15006  limcresi  15010  plyreres  15108  reeff1o  15117  reefiso  15121  ioocosf1o  15198  relogcl  15206  relogef  15208  logltb  15218  mpodvdsmulf1o  15334  fsumdvdsmul  15335  djucllem  15554  012of  15748  2o01f  15749