Theorem fvres 5531

Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fvres	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem fvres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2738	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	brres 4906	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ (𝐴𝐹𝑥 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	2	rbaib 921	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
4	3	iotabidv 5191	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥))
5		df-fv 5216	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥)
6		df-fv 5216	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥)
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2233	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2146   class class class wbr 3998   ↾ cres 4622  ℩cio 5168  ‘cfv 5208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-xp 4626  df-res 4632  df-iota 5170  df-fv 5216

This theorem is referenced by:  fvresd  5532  funssfv  5533  feqresmpt  5562  fvreseq  5611  respreima  5636  ffvresb  5671  fnressn  5694  fressnfv  5695  fvresi  5701  fvunsng  5702  fvsnun1  5705  fvsnun2  5706  fsnunfv  5709  funfvima  5739  isoresbr  5800  isores3  5806  isoini2  5810  ovres  6004  ofres  6087  offres  6126  fo1stresm  6152  fo2ndresm  6153  fo2ndf  6218  f1o2ndf1  6219  smores  6283  smores2  6285  tfrlem1  6299  rdgival  6373  frec0g  6388  freccllem  6393  frecsuclem  6397  frecrdg  6399  resixp  6723  djulclr  7038  djurclr  7039  djur  7058  updjudhcoinlf  7069  updjudhcoinrg  7070  updjud  7071  finomni  7128  exmidfodomrlemrALT  7192  addpiord  7290  mulpiord  7291  suplocexprlemell  7687  fseq1p1m1  10064  seq3feq2  10440  seq3coll  10790  shftidt  10810  climres  11279  fisumss  11368  isumclim3  11399  fsum2dlemstep  11410  fprodssdc  11566  fprod2dlemstep  11598  reeff1  11676  eucalgcvga  12025  eucalg  12026  strslfv2d  12471  setsslid  12479  setsslnid  12480  mgpf  13000  cnptopresti  13318  cnptoprest  13319  lmres  13328  tx1cn  13349  tx2cn  13350  cnmpt1st  13368  cnmpt2nd  13369  remetdval  13619  rescncf  13648  limcdifap  13711  limcresi  13715  reeff1o  13774  reefiso  13778  ioocosf1o  13855  relogcl  13863  relogef  13865  logltb  13875  djucllem  14121  012of  14314  2o01f  14315