Theorem fvres 5694

Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fvres	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem fvres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2816	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	brres 5044	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ (𝐴𝐹𝑥 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	2	rbaib 929	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
4	3	iotabidv 5335	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥))
5		df-fv 5360	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥)
6		df-fv 5360	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥)
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2290	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109   ↾ cres 4751  ℩cio 5310  ‘cfv 5352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-res 4761  df-iota 5312  df-fv 5360

This theorem is referenced by:  fvresd  5695  funssfv  5696  feqresmpt  5731  fvreseq  5781  respreima  5805  ffvresb  5840  fnressn  5870  fressnfv  5871  fvresi  5877  fvunsng  5878  fvsnun1  5881  fvsnun2  5882  fsnunfv  5885  funfvima  5918  isoresbr  5982  isores3  5988  isoini2  5992  ovres  6194  ofres  6281  offres  6328  fo1stresm  6355  fo2ndresm  6356  fo2ndf  6423  f1o2ndf1  6424  smores  6523  smores2  6525  tfrlem1  6539  rdgival  6613  frec0g  6628  freccllem  6633  frecsuclem  6637  frecrdg  6639  resixp  6968  djulclr  7340  djurclr  7341  djur  7360  updjudhcoinlf  7371  updjudhcoinrg  7372  updjud  7373  finomni  7431  exmidfodomrlemrALT  7506  addpiord  7631  mulpiord  7632  suplocexprlemell  8028  fseq1p1m1  10428  seq3feq2  10838  seqf1oglem2  10882  seq3coll  11214  pfxccat1  11394  shftidt  11518  climres  11988  fisumss  12078  isumclim3  12109  fsum2dlemstep  12120  fprodssdc  12276  fprod2dlemstep  12308  reeff1  12386  eucalgcvga  12755  eucalg  12756  strslfv2d  13255  setsslid  13263  setsslnid  13264  resmhm  13700  resghm  13977  rngmgpf  14081  mgpf  14155  znf1o  14799  cnptopresti  15103  cnptoprest  15104  lmres  15113  tx1cn  15134  tx2cn  15135  cnmpt1st  15153  cnmpt2nd  15154  remetdval  15412  rescncf  15446  limcdifap  15527  limcresi  15531  plyreres  15629  reeff1o  15638  reefiso  15642  ioocosf1o  15719  relogcl  15727  relogef  15729  logltb  15739  mpodvdsmulf1o  15858  fsumdvdsmul  15859  djucllem  16572  012of  16767  2o01f  16768