Theorem fvres 5582

Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fvres	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem fvres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2766	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	brres 4952	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ (𝐴𝐹𝑥 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	2	rbaib 922	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
4	3	iotabidv 5241	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥))
5		df-fv 5266	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥)
6		df-fv 5266	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥)
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2254	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033   ↾ cres 4665  ℩cio 5217  ‘cfv 5258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-res 4675  df-iota 5219  df-fv 5266

This theorem is referenced by:  fvresd  5583  funssfv  5584  feqresmpt  5615  fvreseq  5665  respreima  5690  ffvresb  5725  fnressn  5748  fressnfv  5749  fvresi  5755  fvunsng  5756  fvsnun1  5759  fvsnun2  5760  fsnunfv  5763  funfvima  5794  isoresbr  5856  isores3  5862  isoini2  5866  ovres  6063  ofres  6150  offres  6192  fo1stresm  6219  fo2ndresm  6220  fo2ndf  6285  f1o2ndf1  6286  smores  6350  smores2  6352  tfrlem1  6366  rdgival  6440  frec0g  6455  freccllem  6460  frecsuclem  6464  frecrdg  6466  resixp  6792  djulclr  7115  djurclr  7116  djur  7135  updjudhcoinlf  7146  updjudhcoinrg  7147  updjud  7148  finomni  7206  exmidfodomrlemrALT  7270  addpiord  7383  mulpiord  7384  suplocexprlemell  7780  fseq1p1m1  10169  seq3feq2  10568  seqf1oglem2  10612  seq3coll  10934  shftidt  10998  climres  11468  fisumss  11557  isumclim3  11588  fsum2dlemstep  11599  fprodssdc  11755  fprod2dlemstep  11787  reeff1  11865  eucalgcvga  12226  eucalg  12227  strslfv2d  12721  setsslid  12729  setsslnid  12730  resmhm  13119  resghm  13390  rngmgpf  13493  mgpf  13567  znf1o  14207  cnptopresti  14474  cnptoprest  14475  lmres  14484  tx1cn  14505  tx2cn  14506  cnmpt1st  14524  cnmpt2nd  14525  remetdval  14783  rescncf  14817  limcdifap  14898  limcresi  14902  plyreres  15000  reeff1o  15009  reefiso  15013  ioocosf1o  15090  relogcl  15098  relogef  15100  logltb  15110  mpodvdsmulf1o  15226  fsumdvdsmul  15227  djucllem  15446  012of  15640  2o01f  15641