Theorem fvres 5653

Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fvres	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem fvres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2802	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	brres 5011	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ (𝐴𝐹𝑥 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	2	rbaib 926	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
4	3	iotabidv 5301	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥))
5		df-fv 5326	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥)
6		df-fv 5326	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥)
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2287	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083   ↾ cres 4721  ℩cio 5276  ‘cfv 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-res 4731  df-iota 5278  df-fv 5326

This theorem is referenced by:  fvresd  5654  funssfv  5655  feqresmpt  5690  fvreseq  5740  respreima  5765  ffvresb  5800  fnressn  5829  fressnfv  5830  fvresi  5836  fvunsng  5837  fvsnun1  5840  fvsnun2  5841  fsnunfv  5844  funfvima  5875  isoresbr  5939  isores3  5945  isoini2  5949  ovres  6151  ofres  6239  offres  6286  fo1stresm  6313  fo2ndresm  6314  fo2ndf  6379  f1o2ndf1  6380  smores  6444  smores2  6446  tfrlem1  6460  rdgival  6534  frec0g  6549  freccllem  6554  frecsuclem  6558  frecrdg  6560  resixp  6888  djulclr  7227  djurclr  7228  djur  7247  updjudhcoinlf  7258  updjudhcoinrg  7259  updjud  7260  finomni  7318  exmidfodomrlemrALT  7392  addpiord  7514  mulpiord  7515  suplocexprlemell  7911  fseq1p1m1  10302  seq3feq2  10710  seqf1oglem2  10754  seq3coll  11077  pfxccat1  11249  shftidt  11359  climres  11829  fisumss  11918  isumclim3  11949  fsum2dlemstep  11960  fprodssdc  12116  fprod2dlemstep  12148  reeff1  12226  eucalgcvga  12595  eucalg  12596  strslfv2d  13090  setsslid  13098  setsslnid  13099  resmhm  13535  resghm  13812  rngmgpf  13915  mgpf  13989  znf1o  14630  cnptopresti  14927  cnptoprest  14928  lmres  14937  tx1cn  14958  tx2cn  14959  cnmpt1st  14977  cnmpt2nd  14978  remetdval  15236  rescncf  15270  limcdifap  15351  limcresi  15355  plyreres  15453  reeff1o  15462  reefiso  15466  ioocosf1o  15543  relogcl  15551  relogef  15553  logltb  15563  mpodvdsmulf1o  15679  fsumdvdsmul  15680  djucllem  16219  012of  16416  2o01f  16417