Theorem fvres 5714

Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fvres	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem fvres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	brres 5064	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ (𝐴𝐹𝑥 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	2	rbaib 933	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
4	3	iotabidv 5355	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥))
5		df-fv 5380	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥)
6		df-fv 5380	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥)
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2296	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125   ↾ cres 4771  ℩cio 5330  ‘cfv 5372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-res 4781  df-iota 5332  df-fv 5380

This theorem is referenced by:  fvresd  5715  funssfv  5716  feqresmpt  5751  fvreseq  5803  respreima  5827  ffvresb  5862  fnressn  5892  fressnfv  5893  fvresi  5899  fvunsng  5900  fvsnun1  5903  fvsnun2  5904  fsnunfv  5907  funfvima  5940  isoresbr  6005  isores3  6011  isoini2  6015  ovres  6219  ofres  6307  offres  6358  fo1stresm  6385  fo2ndresm  6386  fo2ndf  6453  f1o2ndf1  6454  smores  6553  smores2  6555  tfrlem1  6569  rdgival  6643  frec0g  6658  freccllem  6663  frecsuclem  6667  frecrdg  6669  resixp  7005  djulclr  7379  djurclr  7380  djur  7399  updjudhcoinlf  7410  updjudhcoinrg  7411  updjud  7412  finomni  7470  exmidfodomrlemrALT  7545  addpiord  7673  mulpiord  7674  suplocexprlemell  8070  fseq1p1m1  10479  seq3feq2  10891  seqf1oglem2  10935  hashf1lem1  11263  seq3coll  11272  pfxccat1  11452  shftidt  11576  climres  12047  fisumss  12137  isumclim3  12168  fsum2dlemstep  12179  fprodssdc  12335  fprod2dlemstep  12367  reeff1  12445  eucalgcvga  12814  eucalg  12815  strslfv2d  13373  setsslid  13381  setsslnid  13382  resmhm  13771  resghm  14040  gsummptfidmadd  14138  gsumsubmclfi  14140  rngmgpf  14211  mgpf  14289  znf1o  14958  cnptopresti  15262  cnptoprest  15263  lmres  15272  tx1cn  15293  tx2cn  15294  cnmpt1st  15312  cnmpt2nd  15313  remetdval  15571  rescncf  15605  limcdifap  15686  limcresi  15690  plyreres  15788  reeff1o  15797  reefiso  15801  ioocosf1o  15878  relogcl  15886  relogef  15888  logltb  15898  mpodvdsmulf1o  16018  fsumdvdsmul  16019  djucllem  16742  012of  16937  2o01f  16938