Theorem fvres 5722

Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fvres	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem fvres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	brres 5071	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ (𝐴𝐹𝑥 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	2	rbaib 933	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
4	3	iotabidv 5363	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥))
5		df-fv 5388	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥)
6		df-fv 5388	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥)
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2296	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131   ↾ cres 4778  ℩cio 5338  ‘cfv 5380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-res 4788  df-iota 5340  df-fv 5388

This theorem is used by:  fvresd  5723  funssfv  5724  feqresmpt  5760  fvreseq  5815  respreima  5839  ffvresb  5874  fnressn  5904  fressnfv  5905  fvresi  5911  fvunsng  5912  fvsnun1  5915  fvsnun2  5916  fsnunfv  5919  funfvima  5953  isoresbr  6018  isores3  6024  isoini2  6028  ovres  6232  ofres  6321  offres  6372  fo1stresm  6399  fo2ndresm  6400  fo2ndf  6467  f1o2ndf1  6468  smores  6567  smores2  6569  tfrlem1  6583  rdgival  6657  frec0g  6672  freccllem  6677  frecsuclem  6681  frecrdg  6683  resixp  7019  djulclr  7395  djurclr  7396  djur  7415  updjudhcoinlf  7426  updjudhcoinrg  7427  updjud  7428  finomni  7486  exmidfodomrlemrALT  7561  addpiord  7689  mulpiord  7690  suplocexprlemell  8086  fseq1p1m1  10518  seq3feq2  10934  seqf1oglem2  10978  hashf1lem1  11307  seq3coll  11316  pfxccat1  11496  shftidt  11620  climres  12094  fisumss  12184  isumclim3  12215  fsum2dlemstep  12226  fprodssdc  12382  fprod2dlemstep  12414  reeff1  12492  eucalgcvga  12861  eucalg  12862  strslfv2d  13453  setsslid  13461  setsslnid  13462  resmhm  13853  resghm  14122  gsummptfidmadd  14251  gsumsubmclfi  14253  rngmgpf  14343  mgpf  14422  znf1o  15095  cnptopresti  15464  cnptoprest  15465  lmres  15474  tx1cn  15495  tx2cn  15496  cnmpt1st  15514  cnmpt2nd  15515  remetdval  15773  rescncf  15807  limcdifap  15888  limcresi  15892  plyreres  15990  reeff1o  15999  reefiso  16003  ioocosf1o  16082  relogcl  16091  relogef  16093  logltb  16104  mpodvdsmulf1o  16284  fsumdvdsmul  16285  djucllem  17033  012of  17228  2o01f  17229