Theorem fvres 5539

Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fvres	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem fvres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2740	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	brres 4913	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ (𝐴𝐹𝑥 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	2	rbaib 921	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
4	3	iotabidv 5199	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥))
5		df-fv 5224	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥)
6		df-fv 5224	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥)
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2235	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4003   ↾ cres 4628  ℩cio 5176  ‘cfv 5216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632  df-res 4638  df-iota 5178  df-fv 5224

This theorem is referenced by:  fvresd  5540  funssfv  5541  feqresmpt  5570  fvreseq  5619  respreima  5644  ffvresb  5679  fnressn  5702  fressnfv  5703  fvresi  5709  fvunsng  5710  fvsnun1  5713  fvsnun2  5714  fsnunfv  5717  funfvima  5748  isoresbr  5809  isores3  5815  isoini2  5819  ovres  6013  ofres  6096  offres  6135  fo1stresm  6161  fo2ndresm  6162  fo2ndf  6227  f1o2ndf1  6228  smores  6292  smores2  6294  tfrlem1  6308  rdgival  6382  frec0g  6397  freccllem  6402  frecsuclem  6406  frecrdg  6408  resixp  6732  djulclr  7047  djurclr  7048  djur  7067  updjudhcoinlf  7078  updjudhcoinrg  7079  updjud  7080  finomni  7137  exmidfodomrlemrALT  7201  addpiord  7314  mulpiord  7315  suplocexprlemell  7711  fseq1p1m1  10093  seq3feq2  10469  seq3coll  10821  shftidt  10841  climres  11310  fisumss  11399  isumclim3  11430  fsum2dlemstep  11441  fprodssdc  11597  fprod2dlemstep  11629  reeff1  11707  eucalgcvga  12057  eucalg  12058  strslfv2d  12504  setsslid  12512  setsslnid  12513  mgpf  13192  cnptopresti  13708  cnptoprest  13709  lmres  13718  tx1cn  13739  tx2cn  13740  cnmpt1st  13758  cnmpt2nd  13759  remetdval  14009  rescncf  14038  limcdifap  14101  limcresi  14105  reeff1o  14164  reefiso  14168  ioocosf1o  14245  relogcl  14253  relogef  14255  logltb  14265  djucllem  14522  012of  14715  2o01f  14716