ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvres GIF version

Theorem fvres 5413
Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
fvres (𝐴𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝐴) = (𝐹𝐴))

Proof of Theorem fvres
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2663 . . . . 5 𝑥 ∈ V
21brres 4795 . . . 4 (𝐴(𝐹𝐵)𝑥 ↔ (𝐴𝐹𝑥𝐴𝐵))
32rbaib 891 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝐴(𝐹𝐵)𝑥𝐴𝐹𝑥))
43iotabidv 5079 . 2 (𝐴𝐵 → (℩𝑥𝐴(𝐹𝐵)𝑥) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥))
5 df-fv 5101 . 2 ((𝐹𝐵)‘𝐴) = (℩𝑥𝐴(𝐹𝐵)𝑥)
6 df-fv 5101 . 2 (𝐹𝐴) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥)
74, 5, 63eqtr4g 2175 1 (𝐴𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝐴) = (𝐹𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1316  wcel 1465   class class class wbr 3899  cres 4511  cio 5056  cfv 5093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-res 4521  df-iota 5058  df-fv 5101
This theorem is referenced by:  fvresd  5414  funssfv  5415  feqresmpt  5443  fvreseq  5492  respreima  5516  ffvresb  5551  fnressn  5574  fressnfv  5575  fvresi  5581  fvunsng  5582  fvsnun1  5585  fvsnun2  5586  fsnunfv  5589  funfvima  5617  isoresbr  5678  isores3  5684  isoini2  5688  ovres  5878  ofres  5964  offres  6001  fo1stresm  6027  fo2ndresm  6028  fo2ndf  6092  f1o2ndf1  6093  smores  6157  smores2  6159  tfrlem1  6173  rdgival  6247  frec0g  6262  freccllem  6267  frecsuclem  6271  frecrdg  6273  resixp  6595  djulclr  6902  djurclr  6903  djur  6922  updjudhcoinlf  6933  updjudhcoinrg  6934  updjud  6935  finomni  6980  exmidfodomrlemrALT  7027  addpiord  7092  mulpiord  7093  suplocexprlemell  7489  fseq1p1m1  9842  seq3feq2  10211  seq3coll  10553  shftidt  10573  climres  11040  fisumss  11129  isumclim3  11160  fsum2dlemstep  11171  reeff1  11334  eucalgcvga  11666  eucalg  11667  strslfv2d  11928  setsslid  11936  setsslnid  11937  cnptopresti  12334  cnptoprest  12335  lmres  12344  tx1cn  12365  tx2cn  12366  cnmpt1st  12384  cnmpt2nd  12385  remetdval  12635  rescncf  12664  limcdifap  12727  limcresi  12731  djucllem  12934  isomninnlem  13152
  Copyright terms: Public domain W3C validator