ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvres GIF version

Theorem fvres 5411
Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
fvres (𝐴𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝐴) = (𝐹𝐴))

Proof of Theorem fvres
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2661 . . . . 5 𝑥 ∈ V
21brres 4793 . . . 4 (𝐴(𝐹𝐵)𝑥 ↔ (𝐴𝐹𝑥𝐴𝐵))
32rbaib 889 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝐴(𝐹𝐵)𝑥𝐴𝐹𝑥))
43iotabidv 5077 . 2 (𝐴𝐵 → (℩𝑥𝐴(𝐹𝐵)𝑥) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥))
5 df-fv 5099 . 2 ((𝐹𝐵)‘𝐴) = (℩𝑥𝐴(𝐹𝐵)𝑥)
6 df-fv 5099 . 2 (𝐹𝐴) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥)
74, 5, 63eqtr4g 2173 1 (𝐴𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝐴) = (𝐹𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1314  wcel 1463   class class class wbr 3897  cres 4509  cio 5054  cfv 5091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-xp 4513  df-res 4519  df-iota 5056  df-fv 5099
This theorem is referenced by:  fvresd  5412  funssfv  5413  feqresmpt  5441  fvreseq  5490  respreima  5514  ffvresb  5549  fnressn  5572  fressnfv  5573  fvresi  5579  fvunsng  5580  fvsnun1  5583  fvsnun2  5584  fsnunfv  5587  funfvima  5615  isoresbr  5676  isores3  5682  isoini2  5686  ovres  5876  ofres  5962  offres  5999  fo1stresm  6025  fo2ndresm  6026  fo2ndf  6090  f1o2ndf1  6091  smores  6155  smores2  6157  tfrlem1  6171  rdgival  6245  frec0g  6260  freccllem  6265  frecsuclem  6269  frecrdg  6271  resixp  6593  djulclr  6900  djurclr  6901  djur  6920  updjudhcoinlf  6931  updjudhcoinrg  6932  updjud  6933  finomni  6978  exmidfodomrlemrALT  7023  addpiord  7088  mulpiord  7089  suplocexprlemell  7485  fseq1p1m1  9825  seq3feq2  10194  seq3coll  10536  shftidt  10556  climres  11023  fisumss  11112  isumclim3  11143  fsum2dlemstep  11154  reeff1  11317  eucalgcvga  11646  eucalg  11647  strslfv2d  11907  setsslid  11915  setsslnid  11916  cnptopresti  12313  cnptoprest  12314  lmres  12323  tx1cn  12344  tx2cn  12345  cnmpt1st  12363  cnmpt2nd  12364  remetdval  12614  rescncf  12643  limcdifap  12706  limcresi  12710  djucllem  12841  isomninnlem  13059
  Copyright terms: Public domain W3C validator