Theorem relogef 14425

Description: Relationship between the natural logarithm function and the exponential function. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
relogef	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (log‘(exp‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem relogef

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpefcl 11696	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ+)
2		reeflog 14424	. . . 4 ⊢ ((exp‘𝐴) ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘(exp‘𝐴))) = (exp‘𝐴))
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(log‘(exp‘𝐴))) = (exp‘𝐴))
4		relogcl 14423	. . . . 5 ⊢ ((exp‘𝐴) ∈ ℝ+ → (log‘(exp‘𝐴)) ∈ ℝ)
5	1, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (log‘(exp‘𝐴)) ∈ ℝ)
6	5	fvresd 5542	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘(log‘(exp‘𝐴))) = (exp‘(log‘(exp‘𝐴))))
7		fvres 5541	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝐴) = (exp‘𝐴))
8	3, 6, 7	3eqtr4d 2220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘(log‘(exp‘𝐴))) = ((exp ↾ ℝ)‘𝐴))
9		reeff1 11711	. . . 4 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
10		f1fveq 5776	. . . 4 ⊢ (((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ ∧ ((log‘(exp‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (((exp ↾ ℝ)‘(log‘(exp‘𝐴))) = ((exp ↾ ℝ)‘𝐴) ↔ (log‘(exp‘𝐴)) = 𝐴))
11	9, 10	mpan 424	. . 3 ⊢ (((log‘(exp‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((exp ↾ ℝ)‘(log‘(exp‘𝐴))) = ((exp ↾ ℝ)‘𝐴) ↔ (log‘(exp‘𝐴)) = 𝐴))
12	5, 11	mpancom 422	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp ↾ ℝ)‘(log‘(exp‘𝐴))) = ((exp ↾ ℝ)‘𝐴) ↔ (log‘(exp‘𝐴)) = 𝐴))
13	8, 12	mpbid 147	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (log‘(exp‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ↾ cres 4630  –1-1→wf1 5215  ‘cfv 5218  ℝcr 7813  ℝ⁺crp 9656  expce 11653  logclog 14417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934  ax-pre-suploc 7935  ax-addf 7936  ax-mulf 7937

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-disj 3983  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-of 6086  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-er 6538  df-map 6653  df-pm 6654  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-sup 6986  df-inf 6987  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-xneg 9775  df-xadd 9776  df-ioo 9895  df-ico 9897  df-icc 9898  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-fac 10709  df-bc 10731  df-ihash 10759  df-shft 10827  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-sumdc 11365  df-ef 11659  df-e 11660  df-rest 12696  df-topgen 12715  df-psmet 13587  df-xmet 13588  df-met 13589  df-bl 13590  df-mopn 13591  df-top 13638  df-topon 13651  df-bases 13683  df-ntr 13736  df-cn 13828  df-cnp 13829  df-tx 13893  df-cncf 14198  df-limced 14265  df-dvap 14266  df-relog 14419

This theorem is referenced by:  relogeftb  14426  relogoprlem  14429  relogexp  14433  relogefd  14448