Theorem iedgvalg 15691

Description: The set of indexed edges of a graph. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iedgvalg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))

Proof of Theorem iedgvalg

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iedg 15689	. 2 ⊢ iEdg = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 ∈ (V × V), (2nd ‘𝑔), (.ef‘𝑔)))
2		eleq1 2269	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔 ∈ (V × V) ↔ 𝐺 ∈ (V × V)))
3		fveq2 5589	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (2nd ‘𝑔) = (2nd ‘𝐺))
4		fveq2 5589	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (.ef‘𝑔) = (.ef‘𝐺))
5	2, 3, 4	ifbieq12d 3602	. 2 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → if(𝑔 ∈ (V × V), (2nd ‘𝑔), (.ef‘𝑔)) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))
6		elex 2785	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
7		2ndexg 6267	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (2nd ‘𝐺) ∈ V)
8		edgfid 15680	. . . . 5 ⊢ .ef = Slot (.ef‘ndx)
9		edgfndxnn 15682	. . . . 5 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
10	8, 9	ndxslid 12932	. . . 4 ⊢ (.ef = Slot (.ef‘ndx) ∧ (.ef‘ndx) ∈ ℕ)
11	10	slotex 12934	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.ef‘𝐺) ∈ V)
12	7, 11	ifexd 4539	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)) ∈ V)
13	1, 5, 6, 12	fvmptd3 5686	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773  ifcif 3575   × cxp 4681  ‘cfv 5280  2^nd c2nd 6238  ndxcnx 12904  .efcedgf 15678  iEdgciedg 15687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fo 5286  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-2nd 6240  df-sub 8265  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121  df-9 9122  df-n0 9316  df-dec 9525  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-edgf 15679  df-iedg 15689

This theorem is referenced by:  iedgex  15693  opiedgval  15698  funiedgdm2domval  15704  funiedgdm2vald  15706  iedgval0  15726  edgvalg  15731