Theorem iedgvalg 15833

Description: The set of indexed edges of a graph. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iedgvalg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))

Proof of Theorem iedgvalg

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iedg 15831	. 2 ⊢ iEdg = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 ∈ (V × V), (2nd ‘𝑔), (.ef‘𝑔)))
2		eleq1 2292	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔 ∈ (V × V) ↔ 𝐺 ∈ (V × V)))
3		fveq2 5629	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (2nd ‘𝑔) = (2nd ‘𝐺))
4		fveq2 5629	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (.ef‘𝑔) = (.ef‘𝐺))
5	2, 3, 4	ifbieq12d 3629	. 2 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → if(𝑔 ∈ (V × V), (2nd ‘𝑔), (.ef‘𝑔)) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))
6		elex 2811	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
7		2ndexg 6320	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (2nd ‘𝐺) ∈ V)
8		edgfid 15822	. . . . 5 ⊢ .ef = Slot (.ef‘ndx)
9		edgfndxnn 15824	. . . . 5 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
10	8, 9	ndxslid 13072	. . . 4 ⊢ (.ef = Slot (.ef‘ndx) ∧ (.ef‘ndx) ∈ ℕ)
11	10	slotex 13074	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.ef‘𝐺) ∈ V)
12	7, 11	ifexd 4575	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)) ∈ V)
13	1, 5, 6, 12	fvmptd3 5730	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ifcif 3602   × cxp 4717  ‘cfv 5318  2^nd c2nd 6291  ndxcnx 13044  .efcedgf 15820  iEdgciedg 15829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fo 5324  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-2nd 6293  df-sub 8330  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-dec 9590  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-edgf 15821  df-iedg 15831

This theorem is referenced by:  iedgex  15835  opiedgval  15840  funiedgdm2domval  15846  funiedgdm2vald  15848  iedgval0  15870  edgvalg  15875