Theorem iedgvalg 16172

Description: The set of indexed edges of a graph. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iedgvalg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))

Proof of Theorem iedgvalg

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iedg 16170	. 2 ⊢ iEdg = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 ∈ (V × V), (2nd ‘𝑔), (.ef‘𝑔)))
2		eleq1 2301	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔 ∈ (V × V) ↔ 𝐺 ∈ (V × V)))
3		fveq2 5690	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (2nd ‘𝑔) = (2nd ‘𝐺))
4		fveq2 5690	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (.ef‘𝑔) = (.ef‘𝐺))
5	2, 3, 4	ifbieq12d 3664	. 2 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → if(𝑔 ∈ (V × V), (2nd ‘𝑔), (.ef‘𝑔)) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))
6		elex 2833	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
7		2ndexg 6392	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (2nd ‘𝐺) ∈ V)
8		edgfid 16161	. . . . 5 ⊢ .ef = Slot (.ef‘ndx)
9		edgfndxnn 16163	. . . . 5 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
10	8, 9	ndxslid 13355	. . . 4 ⊢ (.ef = Slot (.ef‘ndx) ∧ (.ef‘ndx) ∈ ℕ)
11	10	slotex 13357	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.ef‘𝐺) ∈ V)
12	7, 11	ifexd 4625	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)) ∈ V)
13	1, 5, 6, 12	fvmptd3 5793	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ifcif 3635   × cxp 4767  ‘cfv 5372  2^nd c2nd 6363  ndxcnx 13327  .efcedgf 16159  iEdgciedg 16168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fo 5378  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-2nd 6365  df-sub 8489  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-dec 9757  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-edgf 16160  df-iedg 16170

This theorem is referenced by:  iedgex  16174  opiedgval  16179  funiedgdm2domval  16185  funiedgdm2vald  16187  iedgval0  16209  edgvalg  16214