Theorem iedgvalg 16258

Description: The set of indexed edges of a graph. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iedgvalg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))

Proof of Theorem iedgvalg

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iedg 16256	. 2 ⊢ iEdg = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 ∈ (V × V), (2nd ‘𝑔), (.ef‘𝑔)))
2		eleq1 2301	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔 ∈ (V × V) ↔ 𝐺 ∈ (V × V)))
3		fveq2 5695	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (2nd ‘𝑔) = (2nd ‘𝐺))
4		fveq2 5695	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (.ef‘𝑔) = (.ef‘𝐺))
5	2, 3, 4	ifbieq12d 3667	. 2 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → if(𝑔 ∈ (V × V), (2nd ‘𝑔), (.ef‘𝑔)) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))
6		elex 2833	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
7		2ndexg 6402	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (2nd ‘𝐺) ∈ V)
8		edgfid 16247	. . . . 5 ⊢ .ef = Slot (.ef‘ndx)
9		edgfndxnn 16249	. . . . 5 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
10	8, 9	ndxslid 13377	. . . 4 ⊢ (.ef = Slot (.ef‘ndx) ∧ (.ef‘ndx) ∈ ℕ)
11	10	slotex 13379	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.ef‘𝐺) ∈ V)
12	7, 11	ifexd 4630	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)) ∈ V)
13	1, 5, 6, 12	fvmptd3 5799	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ifcif 3638   × cxp 4772  ‘cfv 5377  2^nd c2nd 6373  ndxcnx 13349  .efcedgf 16245  iEdgciedg 16254

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fo 5383  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-2nd 6375  df-sub 8499  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-dec 9778  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-edgf 16246  df-iedg 16256

This theorem is used by:  iedgex  16260  opiedgval  16265  funiedgdm2domval  16271  funiedgdm2vald  16273  iedgval0  16295  edgvalg  16300