Theorem pfxval 11254

Description: Value of a prefix operation. (Contributed by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxval	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))

Proof of Theorem pfxval

Dummy variables 𝑙 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pfx 11253	. . 3 ⊢ prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩))
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩)))
3		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑙 = 𝐿) → 𝑠 = 𝑆)
4		opeq2 3863	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → ⟨0, 𝑙⟩ = ⟨0, 𝐿⟩)
5	4	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑙 = 𝐿) → ⟨0, 𝑙⟩ = ⟨0, 𝐿⟩)
6	3, 5	oveq12d 6035	. . 3 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
7	6	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑙 = 𝐿)) → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
8		elex 2814	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ V)
9	8	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ V)
10		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ0)
11		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ 𝑉)
12		0zd 9490	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
13	10	nn0zd 9599	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℤ)
14		swrdval 11228	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = if((0..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))), ∅))
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = if((0..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))), ∅))
16		0z 9489	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
17	13, 12	zsubcld 9606	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 − 0) ∈ ℤ)
18		fzofig 10693	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 0) ∈ ℤ) → (0..^(𝐿 − 0)) ∈ Fin)
19	16, 17, 18	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0..^(𝐿 − 0)) ∈ Fin)
20	19	mptexd 5880	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))) ∈ V)
21		0ex 4216	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
22	21	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ∅ ∈ V)
23	20, 22	ifexd 4581	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → if((0..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))), ∅) ∈ V)
24	15, 23	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ V)
25	2, 7, 9, 10, 24	ovmpod 6148	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494  ifcif 3605  ⟨cop 3672   ↦ cmpt 4150  dom cdm 4725  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017   ∈ cmpo 6019  Fincfn 6908  0cc0 8031   + caddc 8034   − cmin 8349  ℕ₀cn0 9401  ℤcz 9478  ..^cfzo 10376   substr csubstr 11225   prefix cpfx 11252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-substr 11226  df-pfx 11253

This theorem is referenced by:  pfx00g  11255  pfx0g  11256  pfxclg  11258  pfxmpt  11260  pfxfv  11264  pfxnd  11269  pfxwrdsymbg  11270  pfx1  11283  pfxswrd  11286  swrdpfx  11287  pfxpfx  11288  swrdccat  11315  pfxccatpfx1  11316  pfxccatpfx2  11317