Theorem pfxval 11321

Description: Value of a prefix operation. (Contributed by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxval	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))

Proof of Theorem pfxval

Dummy variables 𝑙 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pfx 11320	. . 3 ⊢ prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩))
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩)))
3		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑙 = 𝐿) → 𝑠 = 𝑆)
4		opeq2 3868	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → ⟨0, 𝑙⟩ = ⟨0, 𝐿⟩)
5	4	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑙 = 𝐿) → ⟨0, 𝑙⟩ = ⟨0, 𝐿⟩)
6	3, 5	oveq12d 6046	. . 3 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
7	6	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑙 = 𝐿)) → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
8		elex 2815	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ V)
9	8	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ V)
10		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ0)
11		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ 𝑉)
12		0zd 9552	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
13	10	nn0zd 9661	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℤ)
14		swrdval 11295	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = if((0..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))), ∅))
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = if((0..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))), ∅))
16		0z 9551	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
17	13, 12	zsubcld 9668	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 − 0) ∈ ℤ)
18		fzofig 10757	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 0) ∈ ℤ) → (0..^(𝐿 − 0)) ∈ Fin)
19	16, 17, 18	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0..^(𝐿 − 0)) ∈ Fin)
20	19	mptexd 5891	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))) ∈ V)
21		0ex 4221	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
22	21	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ∅ ∈ V)
23	20, 22	ifexd 4587	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → if((0..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))), ∅) ∈ V)
24	15, 23	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ V)
25	2, 7, 9, 10, 24	ovmpod 6159	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   ⊆ wss 3201  ∅c0 3496  ifcif 3607  ⟨cop 3676   ↦ cmpt 4155  dom cdm 4731  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   ∈ cmpo 6030  Fincfn 6952  0cc0 8092   + caddc 8095   − cmin 8409  ℕ₀cn0 9461  ℤcz 9540  ..^cfzo 10439   substr csubstr 11292   prefix cpfx 11319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-substr 11293  df-pfx 11320

This theorem is referenced by:  pfx00g  11322  pfx0g  11323  pfxclg  11325  pfxmpt  11327  pfxfv  11331  pfxnd  11336  pfxwrdsymbg  11337  pfx1  11350  pfxswrd  11353  swrdpfx  11354  pfxpfx  11355  swrdccat  11382  pfxccatpfx1  11383  pfxccatpfx2  11384