Theorem pfxval 11446

Description: Value of a prefix operation. (Contributed by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxval	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))

Proof of Theorem pfxval

Dummy variables 𝑙 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pfx 11445	. . 3 ⊢ prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩))
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩)))
3		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑙 = 𝐿) → 𝑠 = 𝑆)
4		opeq2 3905	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → ⟨0, 𝑙⟩ = ⟨0, 𝐿⟩)
5	4	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑙 = 𝐿) → ⟨0, 𝑙⟩ = ⟨0, 𝐿⟩)
6	3, 5	oveq12d 6103	. . 3 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
7	6	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑙 = 𝐿)) → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
8		elex 2833	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ V)
9	8	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ V)
10		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ0)
11		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ 𝑉)
12		0zd 9656	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
13	10	nn0zd 9766	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℤ)
14		swrdval 11420	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = if((0..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))), ∅))
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = if((0..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))), ∅))
16		0z 9655	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
17	13, 12	zsubcld 9773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 − 0) ∈ ℤ)
18		fzofig 10869	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 0) ∈ ℤ) → (0..^(𝐿 − 0)) ∈ Fin)
19	16, 17, 18	sylancr 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0..^(𝐿 − 0)) ∈ Fin)
20	19	mptexd 5944	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))) ∈ V)
21		0ex 4260	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
22	21	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ∅ ∈ V)
23	20, 22	ifexd 4630	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → if((0..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))), ∅) ∈ V)
24	15, 23	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ V)
25	2, 7, 9, 10, 24	ovmpod 6216	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  ifcif 3638  ⟨cop 3712   ↦ cmpt 4192  dom cdm 4774  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   ∈ cmpo 6087  Fincfn 7022  0cc0 8179   + caddc 8182   − cmin 8497  ℕ₀cn0 9563  ℤcz 9644  ..^cfzo 10549   substr csubstr 11417   prefix cpfx 11444

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-substr 11418  df-pfx 11445

This theorem is used by:  pfx00g  11447  pfx0g  11448  pfxclg  11450  pfxmpt  11452  pfxfv  11456  pfxnd  11461  pfxwrdsymbg  11462  pfx1  11475  pfxswrd  11478  swrdpfx  11479  pfxpfx  11480  swrdccat  11507  pfxccatpfx1  11508  pfxccatpfx2  11509