Theorem edgvalg 15876

Description: The edges of a graph. (Contributed by AV, 1-Jan-2020.) (Revised by AV, 13-Oct-2020.) (Revised by AV, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
edgvalg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))

Proof of Theorem edgvalg

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-edg 15875	. 2 ⊢ Edg = (𝑔 ∈ V ↦ ran (iEdg‘𝑔))
2		fveq2 5629	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (iEdg‘𝑔) = (iEdg‘𝐺))
3	2	rneqd 4953	. 2 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ran (iEdg‘𝑔) = ran (iEdg‘𝐺))
4		elex 2811	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
5		iedgvalg 15834	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))
6		2ndexg 6320	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (2nd ‘𝐺) ∈ V)
7		edgfid 15823	. . . . . . 7 ⊢ .ef = Slot (.ef‘ndx)
8		edgfndxnn 15825	. . . . . . 7 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
9	7, 8	ndxslid 13073	. . . . . 6 ⊢ (.ef = Slot (.ef‘ndx) ∧ (.ef‘ndx) ∈ ℕ)
10	9	slotex 13075	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.ef‘𝐺) ∈ V)
11	6, 10	ifexd 4575	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)) ∈ V)
12	5, 11	eqeltrd 2306	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
13		rnexg 4989	. . 3 ⊢ ((iEdg‘𝐺) ∈ V → ran (iEdg‘𝐺) ∈ V)
14	12, 13	syl 14	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ran (iEdg‘𝐺) ∈ V)
15	1, 3, 4, 14	fvmptd3 5730	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ifcif 3602   × cxp 4717  ran crn 4720  ‘cfv 5318  2^nd c2nd 6291  ndxcnx 13045  .efcedgf 15821  iEdgciedg 15830  Edgcedg 15874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fo 5324  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-2nd 6293  df-sub 8330  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-dec 9590  df-ndx 13051  df-slot 13052  df-edgf 15822  df-iedg 15832  df-edg 15875

This theorem is referenced by:  iedgedgg  15877  edgiedgbg  15881  edg0iedg0g  15882  uhgredgm  15950  upgredgssen  15953  umgredgssen  15954  edgupgren  15955  edgumgren  15956  uhgrvtxedgiedgb  15957  upgredg  15958  usgredgssen  15976  usgrausgrien  15983  ausgrumgrien  15984  ausgrusgrien  15985  uspgrf1oedg  15990  uspgrupgrushgr  15996  usgrumgruspgr  15999  usgruspgrben  16000  usgrf1oedg  16019  uhgr2edg  16020  usgrsizedgen  16027  usgredg3  16028  ushgredgedg  16040  ushgredgedgloop  16042  edginwlkd  16101  wlkl1loop  16104  wlkvtxedg  16109  uspgr2wlkeq  16111