Theorem edgvalg 16214

Description: The edges of a graph. (Contributed by AV, 1-Jan-2020.) (Revised by AV, 13-Oct-2020.) (Revised by AV, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
edgvalg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))

Proof of Theorem edgvalg

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-edg 16213	. 2 ⊢ Edg = (𝑔 ∈ V ↦ ran (iEdg‘𝑔))
2		fveq2 5690	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (iEdg‘𝑔) = (iEdg‘𝐺))
3	2	rneqd 5006	. 2 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ran (iEdg‘𝑔) = ran (iEdg‘𝐺))
4		elex 2833	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
5		iedgvalg 16172	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))
6		2ndexg 6392	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (2nd ‘𝐺) ∈ V)
7		edgfid 16161	. . . . . . 7 ⊢ .ef = Slot (.ef‘ndx)
8		edgfndxnn 16163	. . . . . . 7 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
9	7, 8	ndxslid 13355	. . . . . 6 ⊢ (.ef = Slot (.ef‘ndx) ∧ (.ef‘ndx) ∈ ℕ)
10	9	slotex 13357	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.ef‘𝐺) ∈ V)
11	6, 10	ifexd 4625	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)) ∈ V)
12	5, 11	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
13		rnexg 5042	. . 3 ⊢ ((iEdg‘𝐺) ∈ V → ran (iEdg‘𝐺) ∈ V)
14	12, 13	syl 14	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ran (iEdg‘𝐺) ∈ V)
15	1, 3, 4, 14	fvmptd3 5793	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ifcif 3635   × cxp 4767  ran crn 4770  ‘cfv 5372  2^nd c2nd 6363  ndxcnx 13327  .efcedgf 16159  iEdgciedg 16168  Edgcedg 16212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fo 5378  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-2nd 6365  df-sub 8489  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-dec 9757  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-edgf 16160  df-iedg 16170  df-edg 16213

This theorem is referenced by:  edgval  16215  iedgedgg  16216  edgiedgbg  16220  edg0iedg0g  16221  uhgredgm  16291  upgredgssen  16294  umgredgssen  16295  edgupgren  16296  edgumgren  16297  uhgrvtxedgiedgb  16298  upgredg  16299  usgredgssen  16317  usgrausgrien  16324  ausgrumgrien  16325  ausgrusgrien  16326  uspgrf1oedg  16331  uspgrupgrushgr  16337  usgrumgruspgr  16340  usgruspgrben  16341  usgrf1oedg  16360  uhgr2edg  16361  usgrsizedgen  16368  usgredg3  16369  ushgredgedg  16381  ushgredgedgloop  16383  usgr1e  16396  edg0usgr  16402  edginwlkd  16510  wlkl1loop  16513  wlkvtxedg  16518  uspgr2wlkeq  16520