Theorem edgvalg 15654

Description: The edges of a graph. (Contributed by AV, 1-Jan-2020.) (Revised by AV, 13-Oct-2020.) (Revised by AV, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
edgvalg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))

Proof of Theorem edgvalg

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-edg 15653	. 2 ⊢ Edg = (𝑔 ∈ V ↦ ran (iEdg‘𝑔))
2		fveq2 5576	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (iEdg‘𝑔) = (iEdg‘𝐺))
3	2	rneqd 4907	. 2 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ran (iEdg‘𝑔) = ran (iEdg‘𝐺))
4		elex 2783	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
5		iedgvalg 15616	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))
6		2ndexg 6254	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (2nd ‘𝐺) ∈ V)
7		edgfid 15605	. . . . . . 7 ⊢ .ef = Slot (.ef‘ndx)
8		edgfndxnn 15607	. . . . . . 7 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
9	7, 8	ndxslid 12857	. . . . . 6 ⊢ (.ef = Slot (.ef‘ndx) ∧ (.ef‘ndx) ∈ ℕ)
10	9	slotex 12859	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.ef‘𝐺) ∈ V)
11	6, 10	ifexd 4531	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)) ∈ V)
12	5, 11	eqeltrd 2282	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
13		rnexg 4943	. . 3 ⊢ ((iEdg‘𝐺) ∈ V → ran (iEdg‘𝐺) ∈ V)
14	12, 13	syl 14	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ran (iEdg‘𝐺) ∈ V)
15	1, 3, 4, 14	fvmptd3 5673	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  Vcvv 2772  ifcif 3571   × cxp 4673  ran crn 4676  ‘cfv 5271  2^nd c2nd 6225  ndxcnx 12829  .efcedgf 15603  iEdgciedg 15612  Edgcedg 15652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fo 5277  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-2nd 6227  df-sub 8245  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-9 9102  df-n0 9296  df-dec 9505  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-edgf 15604  df-iedg 15614  df-edg 15653

This theorem is referenced by:  iedgedgg  15655  edgiedgbg  15659  edg0iedg0g  15660