Theorem edgvalg 16522

Description: The edges of a graph. (Contributed by AV, 1-Jan-2020.) (Revised by AV, 13-Oct-2020.) (Revised by AV, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
edgvalg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))

Proof of Theorem edgvalg

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-edg 16521	. 2 ⊢ Edg = (𝑔 ∈ V ↦ ran (iEdg‘𝑔))
2		fveq2 5698	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (iEdg‘𝑔) = (iEdg‘𝐺))
3	2	rneqd 5013	. 2 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ran (iEdg‘𝑔) = ran (iEdg‘𝐺))
4		elex 2833	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
5		iedgvalg 16480	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))
6		2ndexg 6406	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (2nd ‘𝐺) ∈ V)
7		edgfid 16469	. . . . . . 7 ⊢ .ef = Slot (.ef‘ndx)
8		edgfndxnn 16471	. . . . . . 7 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
9	7, 8	ndxslid 13434	. . . . . 6 ⊢ (.ef = Slot (.ef‘ndx) ∧ (.ef‘ndx) ∈ ℕ)
10	9	slotex 13436	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.ef‘𝐺) ∈ V)
11	6, 10	ifexd 4632	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)) ∈ V)
12	5, 11	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
13		rnexg 5049	. . 3 ⊢ ((iEdg‘𝐺) ∈ V → ran (iEdg‘𝐺) ∈ V)
14	12, 13	syl 14	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ran (iEdg‘𝐺) ∈ V)
15	1, 3, 4, 14	fvmptd3 5802	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ifcif 3638   × cxp 4774  ran crn 4777  ‘cfv 5380  2^nd c2nd 6377  ndxcnx 13406  .efcedgf 16467  iEdgciedg 16476  Edgcedg 16520

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fo 5386  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-2nd 6379  df-sub 8506  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-dec 9788  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-edgf 16468  df-iedg 16478  df-edg 16521

This theorem is used by:  edgval  16523  iedgedgg  16524  edgiedgbg  16528  edg0iedg0g  16529  uhgredgm  16599  upgredgssen  16602  umgredgssen  16603  edgupgren  16604  edgumgren  16605  uhgrvtxedgiedgb  16606  upgredg  16607  usgredgssen  16625  usgrausgrien  16632  ausgrumgrien  16633  ausgrusgrien  16634  uspgrf1oedg  16639  uspgrupgrushgr  16645  usgrumgruspgr  16648  usgruspgrben  16649  usgrf1oedg  16668  uhgr2edg  16669  usgrsizedgen  16676  usgredg3  16677  ushgredgedg  16689  ushgredgedgloop  16691  usgr1e  16704  edg0usgr  16710  edginwlkd  16818  wlkl1loop  16821  wlkvtxedg  16826  uspgr2wlkeq  16828