Theorem edgvalg 16054

Description: The edges of a graph. (Contributed by AV, 1-Jan-2020.) (Revised by AV, 13-Oct-2020.) (Revised by AV, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
edgvalg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))

Proof of Theorem edgvalg

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-edg 16053	. 2 ⊢ Edg = (𝑔 ∈ V ↦ ran (iEdg‘𝑔))
2		fveq2 5670	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (iEdg‘𝑔) = (iEdg‘𝐺))
3	2	rneqd 4986	. 2 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ran (iEdg‘𝑔) = ran (iEdg‘𝐺))
4		elex 2825	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
5		iedgvalg 16012	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))
6		2ndexg 6362	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (2nd ‘𝐺) ∈ V)
7		edgfid 16001	. . . . . . 7 ⊢ .ef = Slot (.ef‘ndx)
8		edgfndxnn 16003	. . . . . . 7 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
9	7, 8	ndxslid 13237	. . . . . 6 ⊢ (.ef = Slot (.ef‘ndx) ∧ (.ef‘ndx) ∈ ℕ)
10	9	slotex 13239	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.ef‘𝐺) ∈ V)
11	6, 10	ifexd 4605	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)) ∈ V)
12	5, 11	eqeltrd 2309	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
13		rnexg 5022	. . 3 ⊢ ((iEdg‘𝐺) ∈ V → ran (iEdg‘𝐺) ∈ V)
14	12, 13	syl 14	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ran (iEdg‘𝐺) ∈ V)
15	1, 3, 4, 14	fvmptd3 5771	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813  ifcif 3620   × cxp 4747  ran crn 4750  ‘cfv 5352  2^nd c2nd 6333  ndxcnx 13209  .efcedgf 15999  iEdgciedg 16008  Edgcedg 16052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fo 5358  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-2nd 6335  df-sub 8446  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-dec 9710  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-edgf 16000  df-iedg 16010  df-edg 16053

This theorem is referenced by:  edgval  16055  iedgedgg  16056  edgiedgbg  16060  edg0iedg0g  16061  uhgredgm  16131  upgredgssen  16134  umgredgssen  16135  edgupgren  16136  edgumgren  16137  uhgrvtxedgiedgb  16138  upgredg  16139  usgredgssen  16157  usgrausgrien  16164  ausgrumgrien  16165  ausgrusgrien  16166  uspgrf1oedg  16171  uspgrupgrushgr  16177  usgrumgruspgr  16180  usgruspgrben  16181  usgrf1oedg  16200  uhgr2edg  16201  usgrsizedgen  16208  usgredg3  16209  ushgredgedg  16221  ushgredgedgloop  16223  usgr1e  16236  edg0usgr  16242  edginwlkd  16350  wlkl1loop  16353  wlkvtxedg  16358  uspgr2wlkeq  16360