Theorem subgrfun 16191

Description: The edge function of a subgraph of a graph whose edge function is actually a function is a function. (Contributed by AV, 20-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
subgrfun	⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑆 SubGraph 𝐺) → Fun (iEdg‘𝑆))

Proof of Theorem subgrfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝑆)
2		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝑆) = (iEdg‘𝑆)
4		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
5		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝑆) = (Edg‘𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	subgrprop2 16184	. . 3 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → ((Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (iEdg‘𝑆) ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 (Vtx‘𝑆)))
7		funss 5352	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝑆) ⊆ (iEdg‘𝐺) → (Fun (iEdg‘𝐺) → Fun (iEdg‘𝑆)))
8	7	3ad2ant2 1046	. . 3 ⊢ (((Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (iEdg‘𝑆) ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 (Vtx‘𝑆)) → (Fun (iEdg‘𝐺) → Fun (iEdg‘𝑆)))
9	6, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (Fun (iEdg‘𝐺) → Fun (iEdg‘𝑆)))
10	9	impcom 125	1 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑆 SubGraph 𝐺) → Fun (iEdg‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   ⊆ wss 3201  𝒫 cpw 3656   class class class wbr 4093  Fun wfun 5327  ‘cfv 5333  Vtxcvtx 15936  iEdgciedg 15937  Edgcedg 15981   SubGraph csubgr 16177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-subgr 16178

This theorem is referenced by:  subgruhgrfun  16192