Theorem vtocl2g 2828

Description: Implicit substitution of 2 classes for 2 setvar variables. (Contributed by NM, 25-Apr-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtocl2g.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtocl2g.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜒))
vtocl2g.3	⊢ 𝜑

Assertion

Ref	Expression
vtocl2g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝜓,𝑥   𝜒,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem vtocl2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2339	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2339	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
3		nfcv 2339	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
4		nfv 1542	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
5		nfv 1542	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜒
6		vtocl2g.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
7		vtocl2g.2	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜒))
8		vtocl2g.3	. 2 ⊢ 𝜑
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	vtocl2gf 2826	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765

This theorem is referenced by:  uniprg  3855  intprg  3908  opthg  4272  opelopabsb  4295  unexb  4478  vtoclr  4712  elimasng  5038  cnvsng  5156  funopg  5293  f1osng  5548  fsng  5738  fvsng  5761  op1stg  6217  op2ndg  6218  xpsneng  6890  xpcomeng  6896  mhmlem  13320  bdunexb  15650  bj-unexg  15651