Theorem wepo 4361

Description: A well-ordering is a partial ordering. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wepo	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 Po 𝐴)

Proof of Theorem wepo

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wefr 4360	. . . 4 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐴)
2		frirrg 4352	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥𝑅𝑥)
3	1, 2	syl3an1 1271	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥𝑅𝑥)
4	3	3expa 1203	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥𝑅𝑥)
5		df-3an 980	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
6		df-wetr 4336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 We 𝐴 ↔ (𝑅 Fr 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
7	6	simprbi 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
8	7	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
9	8	r19.21bi 2565	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
10	9	r19.21bi 2565	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
11	10	anasss 399	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
12	11	r19.21bi 2565	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
13	12	anasss 399	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
14	5, 13	sylan2b 287	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
15	4, 14	ispod 4306	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 Po 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455   class class class wbr 4005   Po wpo 4296   Fr wfr 4330   We wwe 4332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-po 4298  df-frfor 4333  df-frind 4334  df-wetr 4336

This theorem is referenced by: (None)