Theorem wepo 4337

Description: A well-ordering is a partial ordering. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wepo	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 Po 𝐴)

Proof of Theorem wepo

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wefr 4336	. . . 4 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐴)
2		frirrg 4328	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥𝑅𝑥)
3	1, 2	syl3an1 1261	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥𝑅𝑥)
4	3	3expa 1193	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥𝑅𝑥)
5		df-3an 970	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
6		df-wetr 4312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 We 𝐴 ↔ (𝑅 Fr 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
7	6	simprbi 273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
8	7	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
9	8	r19.21bi 2554	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
10	9	r19.21bi 2554	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
11	10	anasss 397	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
12	11	r19.21bi 2554	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
13	12	anasss 397	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
14	5, 13	sylan2b 285	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
15	4, 14	ispod 4282	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 Po 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 968   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444   class class class wbr 3982   Po wpo 4272   Fr wfr 4306   We wwe 4308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-sep 4100

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-po 4274  df-frfor 4309  df-frind 4310  df-wetr 4312

This theorem is referenced by: (None)