ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  wepo GIF version

Theorem wepo 4288
Description: A well-ordering is a partial ordering. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
wepo ((𝑅 We 𝐴𝐴𝑉) → 𝑅 Po 𝐴)

Proof of Theorem wepo
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wefr 4287 . . . 4 (𝑅 We 𝐴𝑅 Fr 𝐴)
2 frirrg 4279 . . . 4 ((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝑥𝐴) → ¬ 𝑥𝑅𝑥)
31, 2syl3an1 1250 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝐴𝑉𝑥𝐴) → ¬ 𝑥𝑅𝑥)
433expa 1182 . 2 (((𝑅 We 𝐴𝐴𝑉) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥𝑅𝑥)
5 df-3an 965 . . 3 ((𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴))
6 df-wetr 4263 . . . . . . . . . 10 (𝑅 We 𝐴 ↔ (𝑅 Fr 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
76simprbi 273 . . . . . . . . 9 (𝑅 We 𝐴 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
87adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝑅 We 𝐴𝐴𝑉) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
98r19.21bi 2523 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝐴𝑉) ∧ 𝑥𝐴) → ∀𝑦𝐴𝑧𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
109r19.21bi 2523 . . . . . 6 ((((𝑅 We 𝐴𝐴𝑉) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ∀𝑧𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
1110anasss 397 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ∀𝑧𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
1211r19.21bi 2523 . . . 4 ((((𝑅 We 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
1312anasss 397 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝐴𝑉) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
145, 13sylan2b 285 . 2 (((𝑅 We 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
154, 14ispod 4233 1 ((𝑅 We 𝐴𝐴𝑉) → 𝑅 Po 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  w3a 963  wcel 1481  wral 2417   class class class wbr 3936   Po wpo 4223   Fr wfr 4257   We wwe 4259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-v 2691  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-br 3937  df-po 4225  df-frfor 4260  df-frind 4261  df-wetr 4263
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator