Theorem wepo 4153

Description: A well-ordering is a partial ordering. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wepo	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 Po 𝐴)

Proof of Theorem wepo

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wefr 4152	. . . 4 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐴)
2		frirrg 4144	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥𝑅𝑥)
3	1, 2	syl3an1 1205	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥𝑅𝑥)
4	3	3expa 1141	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥𝑅𝑥)
5		df-3an 924	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
6		df-wetr 4128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 We 𝐴 ↔ (𝑅 Fr 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
7	6	simprbi 269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
8	7	adantr 270	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
9	8	r19.21bi 2457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
10	9	r19.21bi 2457	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
11	10	anasss 391	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
12	11	r19.21bi 2457	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
13	12	anasss 391	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
14	5, 13	sylan2b 281	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
15	4, 14	ispod 4098	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 Po 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ∧ w3a 922   ∈ wcel 1436  ∀wral 2355   class class class wbr 3814   Po wpo 4088   Fr wfr 4122   We wwe 4124

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-v 2616  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-br 3815  df-po 4090  df-frfor 4125  df-frind 4126  df-wetr 4128

This theorem is referenced by: (None)