Theorem wepo 4456

Description: A well-ordering is a partial ordering. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wepo	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 Po 𝐴)

Proof of Theorem wepo

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wefr 4455	. . . 4 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐴)
2		frirrg 4447	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥𝑅𝑥)
3	1, 2	syl3an1 1306	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥𝑅𝑥)
4	3	3expa 1229	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥𝑅𝑥)
5		df-3an 1006	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
6		df-wetr 4431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 We 𝐴 ↔ (𝑅 Fr 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
7	6	simprbi 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
8	7	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
9	8	r19.21bi 2620	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
10	9	r19.21bi 2620	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
11	10	anasss 399	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
12	11	r19.21bi 2620	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
13	12	anasss 399	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
14	5, 13	sylan2b 287	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
15	4, 14	ispod 4401	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 Po 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   class class class wbr 4088   Po wpo 4391   Fr wfr 4425   We wwe 4427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-sep 4207

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-po 4393  df-frfor 4428  df-frind 4429  df-wetr 4431

This theorem is referenced by: (None)