Theorem wetrep 4290

Description: An epsilon well-ordering is a transitive relation. (Contributed by NM, 22-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
wetrep	⊢ (( E We 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem wetrep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 965	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
2		df-wetr 4264	. . . . . . . . 9 ⊢ ( E We 𝐴 ↔ ( E Fr 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧)))
3	2	simprbi 273	. . . . . . . 8 ⊢ ( E We 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
4	3	r19.21bi 2523	. . . . . . 7 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
5	4	r19.21bi 2523	. . . . . 6 ⊢ ((( E We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
6	5	anasss 397	. . . . 5 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
7	6	r19.21bi 2523	. . . 4 ⊢ ((( E We 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
8	7	anasss 397	. . 3 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
9	1, 8	sylan2b 285	. 2 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
10		epel 4222	. . 3 ⊢ (𝑥 E 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦)
11		epel 4222	. . 3 ⊢ (𝑦 E 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)
12	10, 11	anbi12i 456	. 2 ⊢ ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧))
13		epel 4222	. 2 ⊢ (𝑥 E 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ 𝑧)
14	9, 12, 13	3imtr3g 203	1 ⊢ (( E We 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417   class class class wbr 3937   E cep 4217   Fr wfr 4258   We wwe 4260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-eprel 4219  df-wetr 4264

This theorem is referenced by:  wessep  4500