Theorem 1p1times 11484

Description: Two times a number. (Contributed by NM, 18-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1p1times	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 1p1times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11305	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
2		id 23	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		mullid 11310	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4	3, 3	oveq12d 7438	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
5	1, 2, 1, 4	joinlmuladdmuld 11339	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-mulcl 11265  ax-mulcom 11267  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-1rid 11273  ax-cnre 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7423

This theorem is used by:  addcom  11499  addcomd  11515  eqneg  12040  2times  12481