MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1p1times Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1p1times 10799
Description: Two times a number. (Contributed by NM, 18-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
1p1times (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 1p1times
StepHypRef Expression
1 1cnd 10624 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
2 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 mulid2 10628 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
43, 3oveq12d 7163 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
51, 2, 1, 4joinlmuladdmuld 10656 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  cc 10523  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-mulcl 10587  ax-mulcom 10589  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-1rid 10595  ax-cnre 10598
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-iota 6307  df-fv 6356  df-ov 7148
This theorem is referenced by:  addcom  10814  addcomd  10830  eqneg  11348  2times  11761
  Copyright terms: Public domain W3C validator