Theorem 1p1times 11294

Description: Two times a number. (Contributed by NM, 18-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1p1times	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 1p1times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11117	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
2		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		mullid 11121	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4	3, 3	oveq12d 7373	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
5	1, 2, 1, 4	joinlmuladdmuld 11149	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  1c1 11017   + caddc 11019   · cmul 11021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-mulcl 11078  ax-mulcom 11080  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-1rid 11086  ax-cnre 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-iota 6445  df-fv 6497  df-ov 7358

This theorem is referenced by:  addcom  11309  addcomd  11325  eqneg  11851  2times  12266