MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1p1times Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1p1times 10803
Description: Two times a number. (Contributed by NM, 18-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
1p1times (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 1p1times
StepHypRef Expression
1 1cnd 10628 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
2 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 mulid2 10632 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
43, 3oveq12d 7166 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
51, 2, 1, 4joinlmuladdmuld 10660 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1531  wcel 2108  (class class class)co 7148  cc 10527  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-mulcl 10591  ax-mulcom 10593  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-1rid 10599  ax-cnre 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-iota 6307  df-fv 6356  df-ov 7151
This theorem is referenced by:  addcom  10818  addcomd  10834  eqneg  11352  2times  11765
  Copyright terms: Public domain W3C validator