Theorem eqneg 11960

Description: A number equal to its negative is zero. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
eqneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = -𝐴 ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem eqneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1p1times 11406	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
2		ax-1cn 11183	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
3	2, 2	addcli 11240	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) ∈ ℂ
4	3	mul01i 11425	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) · 0) = 0
5		negid 11530	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
6	4, 5	eqtr4id 2814	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 0) = (𝐴 + -𝐴))
7	1, 6	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + 1) · 𝐴) = ((1 + 1) · 0) ↔ (𝐴 + 𝐴) = (𝐴 + -𝐴)))
8		id 23	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
9		0cnd 11224	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
10	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 1) ∈ ℂ)
11		1re 11233	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
12	11, 11	readdcli 11249	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) ∈ ℝ
13		0lt1 11761	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
14	11, 11, 13, 13	addgt0ii 11781	. . . . 5 ⊢ 0 < (1 + 1)
15	12, 14	gt0ne0ii 11775	. . . 4 ⊢ (1 + 1) ≠ 0
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 1) ≠ 0)
17	8, 9, 10, 16	mulcand 11872	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + 1) · 𝐴) = ((1 + 1) · 0) ↔ 𝐴 = 0))
18		negcl 11482	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
19	8, 8, 18	addcand 11438	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) = (𝐴 + -𝐴) ↔ 𝐴 = -𝐴))
20	7, 17, 19	3bitr3rd 313	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = -𝐴 ↔ 𝐴 = 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128   · cmul 11130  -cneg 11467

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is used by:  eqnegd  11961  eqnegi  11969  addsubeq0  48185