Theorem eqneg 12047

Description: A number equal to its negative is zero. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
eqneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = -𝐴 ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem eqneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1p1times 11491	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
2		ax-1cn 11268	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
3	2, 2	addcli 11325	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) ∈ ℂ
4	3	mul01i 11510	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) · 0) = 0
5		negid 11615	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
6	4, 5	eqtr4id 2817	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 0) = (𝐴 + -𝐴))
7	1, 6	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + 1) · 𝐴) = ((1 + 1) · 0) ↔ (𝐴 + 𝐴) = (𝐴 + -𝐴)))
8		id 23	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
9		0cnd 11309	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
10	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 1) ∈ ℂ)
11		1re 11318	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
12	11, 11	readdcli 11334	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) ∈ ℝ
13		0lt1 11848	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
14	11, 11, 13, 13	addgt0ii 11868	. . . . 5 ⊢ 0 < (1 + 1)
15	12, 14	gt0ne0ii 11862	. . . 4 ⊢ (1 + 1) ≠ 0
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 1) ≠ 0)
17	8, 9, 10, 16	mulcand 11959	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + 1) · 𝐴) = ((1 + 1) · 0) ↔ 𝐴 = 0))
18		negcl 11567	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
19	8, 8, 18	addcand 11523	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) = (𝐴 + -𝐴) ↔ 𝐴 = -𝐴))
20	7, 17, 19	3bitr3rd 313	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = -𝐴 ↔ 𝐴 = 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  (class class class)co 7427  ℂcc 11208  0cc0 11210  1c1 11211   + caddc 11213   · cmul 11215   -cneg 11552

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-po 5562  df-so 5563  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554

This theorem is used by:  eqnegd  12048  eqnegi  12056  addsubeq0  48505