Theorem eqneg 11987

Description: A number equal to its negative is zero. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
eqneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = -𝐴 ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem eqneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1p1times 11432	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
2		ax-1cn 11213	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
3	2, 2	addcli 11267	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) ∈ ℂ
4	3	mul01i 11451	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) · 0) = 0
5		negid 11556	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
6	4, 5	eqtr4id 2796	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 0) = (𝐴 + -𝐴))
7	1, 6	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + 1) · 𝐴) = ((1 + 1) · 0) ↔ (𝐴 + 𝐴) = (𝐴 + -𝐴)))
8		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
9		0cnd 11254	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
10	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 1) ∈ ℂ)
11		1re 11261	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
12	11, 11	readdcli 11276	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) ∈ ℝ
13		0lt1 11785	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
14	11, 11, 13, 13	addgt0ii 11805	. . . . 5 ⊢ 0 < (1 + 1)
15	12, 14	gt0ne0ii 11799	. . . 4 ⊢ (1 + 1) ≠ 0
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 1) ≠ 0)
17	8, 9, 10, 16	mulcand 11896	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + 1) · 𝐴) = ((1 + 1) · 0) ↔ 𝐴 = 0))
18		negcl 11508	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
19	8, 8, 18	addcand 11464	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) = (𝐴 + -𝐴) ↔ 𝐴 = -𝐴))
20	7, 17, 19	3bitr3rd 310	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = -𝐴 ↔ 𝐴 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  -cneg 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495

This theorem is referenced by:  eqnegd  11988  eqnegi  11996  addsubeq0  47308