MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqneg 11363
Description: A number equal to its negative is zero. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
eqneg (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = -𝐴𝐴 = 0))

Proof of Theorem eqneg
StepHypRef Expression
1 1p1times 10814 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
2 negid 10936 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
3 ax-1cn 10598 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
43, 3addcli 10650 . . . . 5 (1 + 1) ∈ ℂ
54mul01i 10833 . . . 4 ((1 + 1) · 0) = 0
62, 5syl6reqr 2878 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 0) = (𝐴 + -𝐴))
71, 6eqeq12d 2840 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + 1) · 𝐴) = ((1 + 1) · 0) ↔ (𝐴 + 𝐴) = (𝐴 + -𝐴)))
8 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
9 0cnd 10637 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
104a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 1) ∈ ℂ)
11 1re 10644 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
1211, 11readdcli 10659 . . . . 5 (1 + 1) ∈ ℝ
13 0lt1 11165 . . . . . 6 0 < 1
1411, 11, 13, 13addgt0ii 11185 . . . . 5 0 < (1 + 1)
1512, 14gt0ne0ii 11179 . . . 4 (1 + 1) ≠ 0
1615a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 1) ≠ 0)
178, 9, 10, 16mulcand 11276 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + 1) · 𝐴) = ((1 + 1) · 0) ↔ 𝐴 = 0))
18 negcl 10889 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
198, 8, 18addcand 10846 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) = (𝐴 + -𝐴) ↔ 𝐴 = -𝐴))
207, 17, 193bitr3rd 312 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = -𝐴𝐴 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208   = wceq 1536  wcel 2113  wne 3019  (class class class)co 7159  cc 10538  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543   · cmul 10545  -cneg 10874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876
This theorem is referenced by:  eqnegd  11364  eqnegi  11372  addsubeq0  43503
  Copyright terms: Public domain W3C validator