Theorem mullid 11108

Description: Identity law for multiplication. See mulrid 11107 for commuted version. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mullid	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mullid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11061	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulcom 11089	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
3	1, 2	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
4		mulrid 11107	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  1c1 11004   · cmul 11008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-mulcl 11065  ax-mulcom 11067  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-1rid 11073  ax-cnre 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-iota 6437  df-fv 6489  df-ov 7349

This theorem is referenced by:  mullidi  11114  mullidd  11127  muladd11  11280  1p1times  11281  mul02lem1  11286  cnegex2  11292  mulm1  11555  div1  11808  subdivcomb2  11814  recdiv  11824  divdiv2  11830  conjmul  11835  ser1const  13962  expp1  13972  recan  15241  arisum  15764  geo2sum  15777  prodrblem  15833  prodmolem2a  15838  risefac1  15937  fallfac1  15938  bpoly3  15962  bpoly4  15963  sinhval  16060  coshval  16061  demoivreALT  16107  gcdadd  16434  gcdid  16435  cncrng  21323  cncrngOLD  21324  cnfld1  21328  cnfld1OLD  21329  blcvx  24711  icccvx  24873  cnlmod  25065  coeidp  26194  dgrid  26195  quartlem1  26792  asinsinlem  26826  asinsin  26827  atantan  26858  musumsum  27127  brbtwn2  28881  axsegconlem1  28893  ax5seglem1  28904  ax5seglem2  28905  ax5seglem4  28908  ax5seglem5  28909  axeuclid  28939  axcontlem2  28941  axcontlem4  28943  cncvcOLD  30558  dvcosax  45963