Theorem mullid 11141

Description: Identity law for multiplication. See mulrid 11140 for commuted version. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mullid	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mullid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11094	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulcom 11122	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
3	1, 2	mpan 696	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
4		mulrid 11140	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  1c1 11037   · cmul 11041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-mulcl 11098  ax-mulcom 11100  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-1rid 11106  ax-cnre 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7366

This theorem is referenced by:  mullidi  11148  mullidd  11161  muladd11  11314  1p1times  11315  mul02lem1  11320  cnegex2  11326  mulm1  11589  div1  11842  subdivcomb2  11849  recdiv  11859  divdiv2  11865  conjmul  11870  ser1const  14018  expp1  14028  recan  15297  arisum  15823  geo2sum  15836  prodrblem  15892  prodmolem2a  15897  risefac1  15996  fallfac1  15997  bpoly3  16021  bpoly4  16022  sinhval  16119  coshval  16120  demoivreALT  16166  gcdadd  16493  gcdid  16494  cncrng  21375  cnfld1  21379  blcvx  24788  icccvx  24942  cnlmod  25132  coeidp  26253  dgrid  26254  quartlem1  26846  asinsinlem  26880  asinsin  26881  atantan  26912  musumsum  27180  brbtwn2  28999  axsegconlem1  29011  ax5seglem1  29022  ax5seglem2  29023  ax5seglem4  29026  ax5seglem5  29027  axeuclid  29057  axcontlem2  29059  axcontlem4  29061  cncvcOLD  30679  dvcosax  46376  sin3t  47341  cos3t  47342  sin5tlem4  47346