Theorem mullid 11143

Description: Identity law for multiplication. See mulrid 11142 for commuted version. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mullid	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mullid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11096	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulcom 11124	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
3	1, 2	mpan 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
4		mulrid 11142	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  1c1 11039   · cmul 11043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-mulcl 11100  ax-mulcom 11102  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-1rid 11108  ax-cnre 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ov 7370

This theorem is referenced by:  mullidi  11150  mullidd  11163  muladd11  11316  1p1times  11317  mul02lem1  11322  cnegex2  11328  mulm1  11591  div1  11844  subdivcomb2  11851  recdiv  11861  divdiv2  11867  conjmul  11872  ser1const  14020  expp1  14030  recan  15299  arisum  15825  geo2sum  15838  prodrblem  15894  prodmolem2a  15899  risefac1  15998  fallfac1  15999  bpoly3  16023  bpoly4  16024  sinhval  16121  coshval  16122  demoivreALT  16168  gcdadd  16495  gcdid  16496  cncrng  21373  cnfld1  21377  blcvx  24763  icccvx  24917  cnlmod  25107  coeidp  26228  dgrid  26229  quartlem1  26821  asinsinlem  26855  asinsin  26856  atantan  26887  musumsum  27155  brbtwn2  28974  axsegconlem1  28986  ax5seglem1  28997  ax5seglem2  28998  ax5seglem4  29001  ax5seglem5  29002  axeuclid  29032  axcontlem2  29034  axcontlem4  29036  cncvcOLD  30654  dvcosax  46354  sin3t  47319  cos3t  47320  sin5tlem4  47324