Theorem mullid 11289

Description: Identity law for multiplication. See mulrid 11288 for commuted version. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mullid	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mullid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11242	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulcom 11270	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
3	1, 2	mpan 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
4		mulrid 11288	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  1c1 11185   · cmul 11189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-mulcl 11246  ax-mulcom 11248  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-1rid 11254  ax-cnre 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-iota 6525  df-fv 6581  df-ov 7451

This theorem is referenced by:  mullidi  11295  mullidd  11308  muladd11  11460  1p1times  11461  mul02lem1  11466  cnegex2  11472  mulm1  11731  div1  11984  subdivcomb2  11990  recdiv  12000  divdiv2  12006  conjmul  12011  ser1const  14109  expp1  14119  recan  15385  arisum  15908  geo2sum  15921  prodrblem  15977  prodmolem2a  15982  risefac1  16081  fallfac1  16082  bpoly3  16106  bpoly4  16107  sinhval  16202  coshval  16203  demoivreALT  16249  gcdadd  16572  gcdid  16573  cncrng  21424  cncrngOLD  21425  cnfld1  21429  cnfld1OLD  21430  blcvx  24839  icccvx  25000  cnlmod  25192  coeidp  26323  dgrid  26324  quartlem1  26918  asinsinlem  26952  asinsin  26953  atantan  26984  musumsum  27253  brbtwn2  28938  axsegconlem1  28950  ax5seglem1  28961  ax5seglem2  28962  ax5seglem4  28965  ax5seglem5  28966  axeuclid  28996  axcontlem2  28998  axcontlem4  29000  cncvcOLD  30615  dvcosax  45847