Theorem mullid 11195

Description: Identity law for multiplication. See mulrid 11194 for commuted version. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mullid	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mullid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11146	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulcom 11174	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
3	1, 2	mpan 702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
4		mulrid 11194	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  1c1 11089   · cmul 11093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-mulcl 11150  ax-mulcom 11152  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-1rid 11158  ax-cnre 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-iota 6481  df-fv 6533  df-ov 7403

This theorem is referenced by:  mullidi  11202  mullidd  11215  muladd11  11368  1p1times  11369  mul02lem1  11374  cnegex2  11380  mulm1  11643  div1  11895  subdivcomb2  11902  recdiv  11912  divdiv2  11918  conjmul  11923  ser1const  14085  expp1  14095  recan  15378  arisum  15904  geo2sum  15917  prodrblem  15973  prodmolem2a  15978  risefac1  16077  fallfac1  16078  bpoly3  16102  bpoly4  16103  sinhval  16200  coshval  16201  demoivreALT  16247  gcdadd  16574  gcdid  16575  cncrng  21503  cnfld1  21507  blcvx  24916  icccvx  25070  cnlmod  25260  coeidp  26381  dgrid  26382  quartlem1  26980  asinsinlem  27014  asinsin  27015  atantan  27046  musumsum  27314  brbtwn2  29164  axsegconlem1  29176  ax5seglem1  29187  ax5seglem2  29188  ax5seglem4  29191  ax5seglem5  29192  axeuclid  29222  axcontlem2  29224  axcontlem4  29226  cncvcOLD  30844  dvcosax  46498  sin3t  47463  cos3t  47464  sin5tlem4  47468