Theorem mullid 11180

Description: Identity law for multiplication. See mulrid 11179 for commuted version. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mullid	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mullid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11133	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulcom 11161	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
3	1, 2	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
4		mulrid 11179	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  1c1 11076   · cmul 11080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-mulcl 11137  ax-mulcom 11139  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-1rid 11145  ax-cnre 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-iota 6467  df-fv 6522  df-ov 7393

This theorem is referenced by:  mullidi  11186  mullidd  11199  muladd11  11351  1p1times  11352  mul02lem1  11357  cnegex2  11363  mulm1  11626  div1  11879  subdivcomb2  11885  recdiv  11895  divdiv2  11901  conjmul  11906  ser1const  14030  expp1  14040  recan  15310  arisum  15833  geo2sum  15846  prodrblem  15902  prodmolem2a  15907  risefac1  16006  fallfac1  16007  bpoly3  16031  bpoly4  16032  sinhval  16129  coshval  16130  demoivreALT  16176  gcdadd  16503  gcdid  16504  cncrng  21307  cncrngOLD  21308  cnfld1  21312  cnfld1OLD  21313  blcvx  24693  icccvx  24855  cnlmod  25047  coeidp  26176  dgrid  26177  quartlem1  26774  asinsinlem  26808  asinsin  26809  atantan  26840  musumsum  27109  brbtwn2  28839  axsegconlem1  28851  ax5seglem1  28862  ax5seglem2  28863  ax5seglem4  28866  ax5seglem5  28867  axeuclid  28897  axcontlem2  28899  axcontlem4  28901  cncvcOLD  30519  dvcosax  45931