Theorem addcomd 11435

Description: Addition commutes. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addcomd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem addcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2	1, 1	addcld 11252	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) ∈ ℂ)
3		muld.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		addcomd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	adddid 11257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) · (𝐴 + 𝐵)) = (((1 + 1) · 𝐴) + ((1 + 1) · 𝐵)))
6	3, 4	addcld 11252	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
7		1p1times 11404	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → ((1 + 1) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
9		1p1times 11404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
10	3, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
11		1p1times 11404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
12	4, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
13	10, 12	oveq12d 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 + 1) · 𝐴) + ((1 + 1) · 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐴) + (𝐵 + 𝐵)))
14	5, 8, 13	3eqtr3rd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + (𝐵 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
15	3, 3	addcld 11252	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℂ)
16	15, 4, 4	addassd 11255	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐴) + (𝐵 + 𝐵)))
17	6, 3, 4	addassd 11255	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
18	14, 16, 17	3eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵))
19	15, 4	addcld 11252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) ∈ ℂ)
20	6, 3	addcld 11252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) ∈ ℂ)
21		addcan2 11418	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴)))
22	19, 20, 4, 21	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴)))
23	18, 22	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴))
24	3, 3, 4	addassd 11255	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = (𝐴 + (𝐴 + 𝐵)))
25	3, 4, 3	addassd 11255	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)))
26	23, 24, 25	3eqtr3d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)))
27	4, 3	addcld 11252	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ)
28		addcan 11417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐴 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
29	3, 6, 27, 28	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
30	26, 29	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272

This theorem is referenced by:  muladd11r  11446  comraddd  11447  subadd2  11484  pncan  11486  npcan  11489  subcan  11536  mvlladdd  11646  subaddeqd  11650  addrsub  11652  mulsubaddmulsub  11699  ltadd1  11702  leadd2  11704  ltsubadd2  11706  lesubadd2  11708  lesub3d  11853  supadd  12208  ltaddrp2d  13083  lincmb01cmp  13510  iccf1o  13511  elfzoext  13736  modaddabs  13924  muladdmodid  13926  negmod  13932  modadd2mod  13937  modadd12d  13943  modaddmulmod  13954  addmodlteq  13962  expaddz  14122  bcn2m1  14340  bcn2p1  14341  spllen  14770  splfv2a  14772  relexpaddnn  15068  relexpaddg  15070  rtrclreclem3  15077  remullem  15145  sqreulem  15376  bhmafibid2  15483  climaddc2  15650  iseraltlem2  15697  fsumsplit1  15759  telfsumo  15816  fsumparts  15820  bcxmas  15849  bpoly4  16073  sinadd  16180  sincossq  16192  cos2t  16194  absefi  16212  dvdsaddre2b  16324  pwp1fsum  16408  sadadd2lem2  16467  bitsres  16490  bezoutlem2  16557  bezoutlem4  16559  pythagtrip  16852  pcadd2  16908  vdwapun  16992  vdwlem5  17003  vdwlem6  17004  vdwlem8  17006  gsumsgrpccat  18816  mulgnndir  19084  mulgdirlem  19086  cyccom  19184  efgcpbllemb  19734  ablfacrp  20047  cncrng  21349  rzgrp  21581  icccvx  24897  cnlmod  25089  cphipval  25193  pjthlem1  25387  cmmbl  25485  voliunlem1  25501  dvle  25962  dvcvx  25975  dvfsumlem2  25983  dvfsumlem2OLD  25984  dvfsumlem4  25986  dvfsum2  25991  ply1divex  26092  plymullem1  26169  coeeulem  26179  aaliou3lem6  26306  dvtaylp  26328  ulmcn  26358  abelthlem7  26398  pilem3  26413  lawcos  26776  affineequiv  26783  affineequiv3  26785  heron  26798  dcubic1lem  26803  dcubic2  26804  dcubic  26806  mcubic  26807  quart1lem  26815  quart1  26816  asinlem2  26829  asinsin  26852  cosasin  26864  atanlogaddlem  26873  atanlogadd  26874  cvxcl  26945  lgamgulmlem2  26990  lgamcvg2  27015  lgam1  27024  bposlem9  27253  lgseisenlem1  27336  2sqlem3  27381  2sqblem  27392  2sqmod  27397  addsqn2reu  27402  2sqreulem1  27407  2sqreunnlem1  27410  dchrisumlem2  27451  selberg  27509  selberg2  27512  selberg4  27522  pntrlog2bndlem1  27538  pntlemb  27558  pntlemf  27566  padicabv  27591  colinearalglem2  28832  axsegconlem9  28850  axeuclidlem  28887  eupth2lem3lem3  30157  numclwwlk3lem1  30309  smcnlem  30624  ipval2  30634  hhph  31105  pjhthlem1  31318  golem1  32198  stcltrlem1  32203  pythagreim  32669  quad3d  32673  omndmul2  33026  cycpmco2lem3  33085  cycpmco2lem4  33086  cycpmco2lem5  33087  cycpmco2lem6  33088  cycpmco2  33090  archirngz  33133  archiabllem1a  33135  archiabllem1  33137  archiabllem2c  33139  constrrtcc  33715  cos9thpiminplylem1  33762  cos9thpiminplylem2  33763  cos9thpiminplylem3  33764  cos9thpinconstrlem1  33769  ballotlemsdom  34490  fsum2dsub  34585  revwlk  35093  resconn  35214  iprodgam  35705  faclimlem1  35706  faclimlem3  35708  faclim  35709  iprodfac  35710  fwddifnp1  36129  dnibndlem7  36448  dnibndlem8  36449  knoppndvlem14  36489  bj-bary1  37276  dvtan  37640  itgaddnclem2  37649  itgmulc2nc  37658  ftc1anclem8  37670  dvasin  37674  areacirclem1  37678  lcmineqlem19  42006  aks4d1p1p2  42029  posbezout  42059  sticksstones7  42111  sticksstones12a  42116  sticksstones12  42117  bcle2d  42138  aks6d1c7lem1  42139  metakunt15  42178  metakunt16  42179  dffltz  42604  fltbccoprm  42611  flt4lem3  42618  flt4lem5c  42624  flt4lem5d  42625  flt4lem5e  42626  flt4lem7  42629  nna4b4nsq  42630  fltnltalem  42632  3cubeslem2  42655  3cubeslem3l  42656  3cubeslem3r  42657  pellexlem2  42800  pell14qrgt0  42829  rmxyadd  42892  rmxluc  42907  fzmaxdif  42952  acongeq  42954  jm2.19lem2  42961  jm2.26lem3  42972  areaquad  43187  sqrtcval  43612  int-addcomd  44144  int-leftdistd  44150  subadd4b  45259  sub31  45267  coseq0  45841  coskpi2  45843  cosknegpi  45846  fperdvper  45896  dvbdfbdioolem2  45906  dvnmul  45920  dvmptfprodlem  45921  itgsincmulx  45951  itgsbtaddcnst  45959  stoweidlem11  45988  stirlinglem5  46055  stirlinglem7  46057  dirkertrigeqlem1  46075  dirkertrigeqlem2  46076  dirkertrigeqlem3  46077  dirkertrigeq  46078  dirkercncflem2  46081  fourierdlem4  46088  fourierdlem26  46110  fourierdlem40  46124  fourierdlem42  46126  fourierdlem47  46130  fourierdlem63  46146  fourierdlem64  46147  fourierdlem65  46148  fourierdlem74  46157  fourierdlem75  46158  fourierdlem78  46161  fourierdlem79  46162  fourierdlem84  46167  fourierdlem93  46176  fourierdlem103  46186  fourierdlem111  46194  fourierswlem  46207  fouriersw  46208  etransclem32  46243  etransclem46  46257  sge0gtfsumgt  46420  hoidmv1lelem2  46569  hoidmvlelem2  46573  hspmbllem1  46603  smfmullem1  46768  sigarperm  46837  2elfz2melfz  47295  fargshiftfo  47404  ichexmpl2  47432  fmtnorec3  47510  2zrngacmnd  48171  2zrngagrp  48172  ply1mulgsumlem1  48310  m1modmmod  48449  ackval1  48609  ackval2  48610  resum2sqorgt0  48637  eenglngeehlnmlem2  48666  rrx2linest2  48672  line2xlem  48681  itsclc0yqsollem1  48690  itsclc0yqsol  48692  itscnhlc0xyqsol  48693  itsclc0xyqsolr  48697  itsclinecirc0b  48702  itsclquadb  48704  2itscplem1  48706  2itscp  48709  onetansqsecsq  49573