Theorem addcomd 11186

Description: Addition commutes. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addcomd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem addcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 10979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2	1, 1	addcld 11003	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) ∈ ℂ)
3		muld.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		addcomd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	adddid 11008	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) · (𝐴 + 𝐵)) = (((1 + 1) · 𝐴) + ((1 + 1) · 𝐵)))
6	3, 4	addcld 11003	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
7		1p1times 11155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → ((1 + 1) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
9		1p1times 11155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
10	3, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
11		1p1times 11155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
12	4, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
13	10, 12	oveq12d 7302	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 + 1) · 𝐴) + ((1 + 1) · 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐴) + (𝐵 + 𝐵)))
14	5, 8, 13	3eqtr3rd 2788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + (𝐵 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
15	3, 3	addcld 11003	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℂ)
16	15, 4, 4	addassd 11006	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐴) + (𝐵 + 𝐵)))
17	6, 3, 4	addassd 11006	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
18	14, 16, 17	3eqtr4d 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵))
19	15, 4	addcld 11003	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) ∈ ℂ)
20	6, 3	addcld 11003	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) ∈ ℂ)
21		addcan2 11169	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴)))
22	19, 20, 4, 21	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴)))
23	18, 22	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴))
24	3, 3, 4	addassd 11006	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = (𝐴 + (𝐴 + 𝐵)))
25	3, 4, 3	addassd 11006	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)))
26	23, 24, 25	3eqtr3d 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)))
27	4, 3	addcld 11003	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ)
28		addcan 11168	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐴 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
29	3, 6, 27, 28	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
30	26, 29	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7284  ℂcc 10878  1c1 10881   + caddc 10883   · cmul 10885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-ov 7287  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-ltxr 11023

This theorem is referenced by:  muladd11r  11197  comraddd  11198  subadd2  11234  pncan  11236  npcan  11239  subcan  11285  mvlladdd  11395  subaddeqd  11399  addrsub  11401  mulsubaddmulsub  11448  ltadd1  11451  leadd2  11453  ltsubadd2  11455  lesubadd2  11457  lesub3d  11602  supadd  11952  ltaddrp2d  12815  lincmb01cmp  13236  iccf1o  13237  modaddabs  13638  muladdmodid  13640  negmod  13645  modadd2mod  13650  modadd12d  13656  modaddmulmod  13667  addmodlteq  13675  expaddz  13836  bcn2m1  14047  bcn2p1  14048  spllen  14476  splfv2a  14478  relexpaddnn  14771  relexpaddg  14773  rtrclreclem3  14780  remullem  14848  sqreulem  15080  bhmafibid2  15187  climaddc2  15354  iseraltlem2  15403  fsumsplit1  15466  telfsumo  15523  fsumparts  15527  bcxmas  15556  bpoly4  15778  sinadd  15882  sincossq  15894  cos2t  15896  absefi  15914  dvdsaddre2b  16025  pwp1fsum  16109  sadadd2lem2  16166  bitsres  16189  bezoutlem2  16257  bezoutlem4  16259  pythagtrip  16544  pcadd2  16600  vdwapun  16684  vdwlem5  16695  vdwlem6  16696  vdwlem8  16698  gsumsgrpccat  18487  gsumccatOLD  18488  mulgnndir  18741  mulgdirlem  18743  cyccom  18831  efgcpbllemb  19370  cygablOLD  19501  ablfacrp  19678  rzgrp  20837  icccvx  24122  cnlmod  24312  cphipval  24416  pjthlem1  24610  cmmbl  24707  voliunlem1  24723  dvle  25180  dvcvx  25193  dvfsumlem2  25200  dvfsumlem4  25202  dvfsum2  25207  ply1divex  25310  plymullem1  25384  coeeulem  25394  aaliou3lem6  25517  dvtaylp  25538  ulmcn  25567  abelthlem7  25606  pilem3  25621  lawcos  25975  affineequiv  25982  affineequiv3  25984  heron  25997  dcubic1lem  26002  dcubic2  26003  dcubic  26005  mcubic  26006  quart1lem  26014  quart1  26015  asinlem2  26028  asinsin  26051  cosasin  26063  atanlogaddlem  26072  atanlogadd  26073  cvxcl  26143  lgamgulmlem2  26188  lgamcvg2  26213  lgam1  26222  bposlem9  26449  lgseisenlem1  26532  2sqlem3  26577  2sqblem  26588  2sqmod  26593  addsqn2reu  26598  2sqreulem1  26603  2sqreunnlem1  26606  dchrisumlem2  26647  selberg  26705  selberg2  26708  selberg4  26718  pntrlog2bndlem1  26734  pntlemb  26754  pntlemf  26762  padicabv  26787  colinearalglem2  27284  axsegconlem9  27302  axeuclidlem  27339  eupth2lem3lem3  28603  numclwwlk3lem1  28755  smcnlem  29068  ipval2  29078  hhph  29549  pjhthlem1  29762  golem1  30642  stcltrlem1  30647  omndmul2  31347  cycpmco2lem3  31404  cycpmco2lem4  31405  cycpmco2lem5  31406  cycpmco2lem6  31407  cycpmco2  31409  archirngz  31452  archiabllem1a  31454  archiabllem1  31456  archiabllem2c  31458  ballotlemsdom  32487  fsum2dsub  32596  revwlk  33095  resconn  33217  iprodgam  33717  faclimlem1  33718  faclimlem3  33720  faclim  33721  iprodfac  33722  fwddifnp1  34476  dnibndlem7  34673  dnibndlem8  34674  knoppndvlem14  34714  bj-bary1  35492  dvtan  35836  itgaddnclem2  35845  itgmulc2nc  35854  ftc1anclem8  35866  dvasin  35870  areacirclem1  35874  lcmineqlem19  40062  aks4d1p1p2  40085  sticksstones7  40115  sticksstones12a  40120  sticksstones12  40121  metakunt15  40146  metakunt16  40147  dffltz  40478  fltbccoprm  40485  flt4lem3  40492  flt4lem5c  40498  flt4lem5d  40499  flt4lem5e  40500  flt4lem7  40503  nna4b4nsq  40504  fltnltalem  40506  3cubeslem2  40514  3cubeslem3l  40515  3cubeslem3r  40516  pellexlem2  40659  pell14qrgt0  40688  rmxyadd  40750  rmxluc  40765  fzmaxdif  40810  acongeq  40812  jm2.19lem2  40819  jm2.26lem3  40830  areaquad  41054  sqrtcval  41256  int-addcomd  41791  int-leftdistd  41797  subadd4b  42828  sub31  42836  coseq0  43412  coskpi2  43414  cosknegpi  43417  fperdvper  43467  dvbdfbdioolem2  43477  dvnmul  43491  dvmptfprodlem  43492  itgsincmulx  43522  itgsbtaddcnst  43530  stoweidlem11  43559  stirlinglem5  43626  stirlinglem7  43628  dirkertrigeqlem1  43646  dirkertrigeqlem2  43647  dirkertrigeqlem3  43648  dirkertrigeq  43649  dirkercncflem2  43652  fourierdlem4  43659  fourierdlem26  43681  fourierdlem40  43695  fourierdlem42  43697  fourierdlem47  43701  fourierdlem63  43717  fourierdlem64  43718  fourierdlem65  43719  fourierdlem74  43728  fourierdlem75  43729  fourierdlem78  43732  fourierdlem79  43733  fourierdlem84  43738  fourierdlem93  43747  fourierdlem103  43757  fourierdlem111  43765  fourierswlem  43778  fouriersw  43779  etransclem32  43814  etransclem46  43828  sge0gtfsumgt  43988  hoidmv1lelem2  44137  hoidmvlelem2  44141  hspmbllem1  44171  smfmullem1  44336  sigarperm  44387  2elfz2melfz  44821  fargshiftfo  44905  ichexmpl2  44933  fmtnorec3  45011  2zrngacmnd  45511  2zrngagrp  45512  ply1mulgsumlem1  45738  m1modmmod  45878  ackval1  46038  ackval2  46039  resum2sqorgt0  46066  eenglngeehlnmlem2  46095  rrx2linest2  46101  line2xlem  46110  itsclc0yqsollem1  46119  itsclc0yqsol  46121  itscnhlc0xyqsol  46122  itsclc0xyqsolr  46126  itsclinecirc0b  46131  itsclquadb  46133  2itscplem1  46135  2itscp  46138  onetansqsecsq  46474