Theorem addcomd 11492

Description: Addition commutes. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addcomd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem addcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2	1, 1	addcld 11309	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) ∈ ℂ)
3		muld.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		addcomd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	adddid 11314	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) · (𝐴 + 𝐵)) = (((1 + 1) · 𝐴) + ((1 + 1) · 𝐵)))
6	3, 4	addcld 11309	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
7		1p1times 11461	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → ((1 + 1) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
9		1p1times 11461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
10	3, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
11		1p1times 11461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
12	4, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
13	10, 12	oveq12d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 + 1) · 𝐴) + ((1 + 1) · 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐴) + (𝐵 + 𝐵)))
14	5, 8, 13	3eqtr3rd 2789	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + (𝐵 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
15	3, 3	addcld 11309	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℂ)
16	15, 4, 4	addassd 11312	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐴) + (𝐵 + 𝐵)))
17	6, 3, 4	addassd 11312	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
18	14, 16, 17	3eqtr4d 2790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵))
19	15, 4	addcld 11309	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) ∈ ℂ)
20	6, 3	addcld 11309	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) ∈ ℂ)
21		addcan2 11475	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴)))
22	19, 20, 4, 21	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴)))
23	18, 22	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴))
24	3, 3, 4	addassd 11312	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = (𝐴 + (𝐴 + 𝐵)))
25	3, 4, 3	addassd 11312	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)))
26	23, 24, 25	3eqtr3d 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)))
27	4, 3	addcld 11309	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ)
28		addcan 11474	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐴 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
29	3, 6, 27, 28	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
30	26, 29	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329

This theorem is referenced by:  muladd11r  11503  comraddd  11504  subadd2  11540  pncan  11542  npcan  11545  subcan  11591  mvlladdd  11701  subaddeqd  11705  addrsub  11707  mulsubaddmulsub  11754  ltadd1  11757  leadd2  11759  ltsubadd2  11761  lesubadd2  11763  lesub3d  11908  supadd  12263  ltaddrp2d  13133  lincmb01cmp  13555  iccf1o  13556  modaddabs  13960  muladdmodid  13962  negmod  13967  modadd2mod  13972  modadd12d  13978  modaddmulmod  13989  addmodlteq  13997  expaddz  14157  bcn2m1  14373  bcn2p1  14374  spllen  14802  splfv2a  14804  relexpaddnn  15100  relexpaddg  15102  rtrclreclem3  15109  remullem  15177  sqreulem  15408  bhmafibid2  15515  climaddc2  15682  iseraltlem2  15731  fsumsplit1  15793  telfsumo  15850  fsumparts  15854  bcxmas  15883  bpoly4  16107  sinadd  16212  sincossq  16224  cos2t  16226  absefi  16244  dvdsaddre2b  16355  pwp1fsum  16439  sadadd2lem2  16496  bitsres  16519  bezoutlem2  16587  bezoutlem4  16589  pythagtrip  16881  pcadd2  16937  vdwapun  17021  vdwlem5  17032  vdwlem6  17033  vdwlem8  17035  gsumsgrpccat  18875  mulgnndir  19143  mulgdirlem  19145  cyccom  19243  efgcpbllemb  19797  ablfacrp  20110  cncrng  21424  rzgrp  21664  icccvx  25000  cnlmod  25192  cphipval  25296  pjthlem1  25490  cmmbl  25588  voliunlem1  25604  dvle  26066  dvcvx  26079  dvfsumlem2  26087  dvfsumlem2OLD  26088  dvfsumlem4  26090  dvfsum2  26095  ply1divex  26196  plymullem1  26273  coeeulem  26283  aaliou3lem6  26408  dvtaylp  26430  ulmcn  26460  abelthlem7  26500  pilem3  26515  lawcos  26877  affineequiv  26884  affineequiv3  26886  heron  26899  dcubic1lem  26904  dcubic2  26905  dcubic  26907  mcubic  26908  quart1lem  26916  quart1  26917  asinlem2  26930  asinsin  26953  cosasin  26965  atanlogaddlem  26974  atanlogadd  26975  cvxcl  27046  lgamgulmlem2  27091  lgamcvg2  27116  lgam1  27125  bposlem9  27354  lgseisenlem1  27437  2sqlem3  27482  2sqblem  27493  2sqmod  27498  addsqn2reu  27503  2sqreulem1  27508  2sqreunnlem1  27511  dchrisumlem2  27552  selberg  27610  selberg2  27613  selberg4  27623  pntrlog2bndlem1  27639  pntlemb  27659  pntlemf  27667  padicabv  27692  colinearalglem2  28940  axsegconlem9  28958  axeuclidlem  28995  eupth2lem3lem3  30262  numclwwlk3lem1  30414  smcnlem  30729  ipval2  30739  hhph  31210  pjhthlem1  31423  golem1  32303  stcltrlem1  32308  quad3d  32757  omndmul2  33062  cycpmco2lem3  33121  cycpmco2lem4  33122  cycpmco2lem5  33123  cycpmco2lem6  33124  cycpmco2  33126  archirngz  33169  archiabllem1a  33171  archiabllem1  33173  archiabllem2c  33175  constrrtcc  33726  ballotlemsdom  34476  fsum2dsub  34584  revwlk  35092  resconn  35214  iprodgam  35704  faclimlem1  35705  faclimlem3  35707  faclim  35708  iprodfac  35709  fwddifnp1  36129  dnibndlem7  36450  dnibndlem8  36451  knoppndvlem14  36491  bj-bary1  37278  dvtan  37630  itgaddnclem2  37639  itgmulc2nc  37648  ftc1anclem8  37660  dvasin  37664  areacirclem1  37668  lcmineqlem19  42004  aks4d1p1p2  42027  posbezout  42057  sticksstones7  42109  sticksstones12a  42114  sticksstones12  42115  bcle2d  42136  aks6d1c7lem1  42137  metakunt15  42176  metakunt16  42177  dffltz  42589  fltbccoprm  42596  flt4lem3  42603  flt4lem5c  42609  flt4lem5d  42610  flt4lem5e  42611  flt4lem7  42614  nna4b4nsq  42615  fltnltalem  42617  3cubeslem2  42641  3cubeslem3l  42642  3cubeslem3r  42643  pellexlem2  42786  pell14qrgt0  42815  rmxyadd  42878  rmxluc  42893  fzmaxdif  42938  acongeq  42940  jm2.19lem2  42947  jm2.26lem3  42958  areaquad  43177  sqrtcval  43603  int-addcomd  44135  int-leftdistd  44141  subadd4b  45197  sub31  45205  coseq0  45785  coskpi2  45787  cosknegpi  45790  fperdvper  45840  dvbdfbdioolem2  45850  dvnmul  45864  dvmptfprodlem  45865  itgsincmulx  45895  itgsbtaddcnst  45903  stoweidlem11  45932  stirlinglem5  45999  stirlinglem7  46001  dirkertrigeqlem1  46019  dirkertrigeqlem2  46020  dirkertrigeqlem3  46021  dirkertrigeq  46022  dirkercncflem2  46025  fourierdlem4  46032  fourierdlem26  46054  fourierdlem40  46068  fourierdlem42  46070  fourierdlem47  46074  fourierdlem63  46090  fourierdlem64  46091  fourierdlem65  46092  fourierdlem74  46101  fourierdlem75  46102  fourierdlem78  46105  fourierdlem79  46106  fourierdlem84  46111  fourierdlem93  46120  fourierdlem103  46130  fourierdlem111  46138  fourierswlem  46151  fouriersw  46152  etransclem32  46187  etransclem46  46201  sge0gtfsumgt  46364  hoidmv1lelem2  46513  hoidmvlelem2  46517  hspmbllem1  46547  smfmullem1  46712  sigarperm  46781  2elfz2melfz  47233  fargshiftfo  47316  ichexmpl2  47344  fmtnorec3  47422  2zrngacmnd  47971  2zrngagrp  47972  ply1mulgsumlem1  48115  m1modmmod  48255  ackval1  48415  ackval2  48416  resum2sqorgt0  48443  eenglngeehlnmlem2  48472  rrx2linest2  48478  line2xlem  48487  itsclc0yqsollem1  48496  itsclc0yqsol  48498  itscnhlc0xyqsol  48499  itsclc0xyqsolr  48503  itsclinecirc0b  48508  itsclquadb  48510  2itscplem1  48512  2itscp  48515  onetansqsecsq  48853