Theorem addcom 11424

Description: Addition is commutative. This used to be one of our complex number axioms, until it was found to be dependent on the others. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
addcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem addcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
2	1, 1	addcld 11256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 + 1) ∈ ℂ)
3		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	adddid 11261	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 1) · (𝐴 + 𝐵)) = (((1 + 1) · 𝐴) + ((1 + 1) · 𝐵)))
6	3, 4	addcld 11256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
7		1p1times 11409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → ((1 + 1) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
8	6, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 1) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
9		1p1times 11409	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
10		1p1times 11409	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
11	9, 10	oveqan12d 7436	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((1 + 1) · 𝐴) + ((1 + 1) · 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐴) + (𝐵 + 𝐵)))
12	5, 8, 11	3eqtr3rd 2806	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) + (𝐵 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
13	3, 3	addcld 11256	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℂ)
14	13, 4, 4	addassd 11259	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐴) + (𝐵 + 𝐵)))
15	6, 3, 4	addassd 11259	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
16	12, 14, 15	3eqtr4d 2807	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵))
17	13, 4	addcld 11256	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) ∈ ℂ)
18	6, 3	addcld 11256	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) ∈ ℂ)
19		addcan2 11423	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴)))
20	17, 18, 4, 19	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴)))
21	16, 20	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴))
22	3, 3, 4	addassd 11259	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = (𝐴 + (𝐴 + 𝐵)))
23	3, 4, 3	addassd 11259	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)))
24	21, 22, 23	3eqtr3d 2805	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)))
25	4, 3	addcld 11256	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ)
26		addcan 11422	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐴 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
27	3, 6, 25, 26	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
28	24, 27	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276

This theorem is used by:  addcomi  11429  ltaddnegr  11455  add12  11456  add32  11457  add42  11460  subsub23  11490  pncan2  11492  addsub  11496  addsub12  11498  addsubeq4  11500  sub32  11520  pnpcan2  11526  ppncan  11528  sub4  11531  negsubdi2  11545  ltaddsub2  11717  leaddsub2  11719  leltadd  11726  ltaddpos2  11733  addge02  11753  conjmul  11960  recp1lt1  12141  recreclt  12142  avgle1  12512  avgle2  12513  avgle  12514  nn0nnaddcl  12563  xaddcom  13296  fzen  13599  fzshftral  13674  fzo0addelr  13779  flzadd  13891  addmodidr  13988  modadd2mod  13989  nn0ennn  14047  seradd  14112  bernneq2  14298  ccatrn  14659  ccatalpha  14664  revccat  14839  2cshwcom  14891  shftval2  15152  shftval4  15154  crim  15206  absmax  15421  climshft2  15673  summolem3  15804  binom1dif  15926  isumshft  15932  arisum  15953  mertenslem1  15977  bpolydiflem  16146  addcos  16268  demoivreALT  16295  dvdsaddr  16399  sumodd  16484  divalglem4  16492  divalgb  16500  gcdaddm  16621  hashdvds  16872  phiprmpw  16873  pythagtriplem2  16915  prmgaplem7  17155  mulgnndir  19232  cnaddablx  20001  cnaddabl  20002  zaddablx  20005  psdmvr  22403  ioo2bl  25025  icopnfcnv  25176  uniioombllem3  25819  fta1glem1  26400  plyremlem  26541  fta1lem  26544  vieta1lem1  26549  vieta1lem2  26550  aaliou3lem2  26586  dvradcnv  26664  pserdv2  26673  reeff1olem  26689  ptolemy  26741  logcnlem4  26890  cxpsqrt  26948  atandm2  27122  atandm4  27124  atanlogsublem  27160  2efiatan  27163  dvatan  27180  birthdaylem2  27197  emcllem2  27241  fsumharmonic  27256  wilthlem1  27312  wilthlem2  27313  basellem8  27332  1sgmprm  27443  perfectlem2  27474  pntibndlem1  27833  pntibndlem2  27835  pntlemd  27838  pntlemc  27839  eucrctshift  30731  cnaddabloOLD  31070  cdj3lem3b  32929  isarchi3  33635  archiabllem2c  33643  cos2h  38373  tan2h  38374  lcmineqlem4  42906  eldioph2lem1  43613  addcomgi  45286  fz0addcom  48213  epoo  48627  perfectALTVlem2  48646  sbgoldbaltlem2  48704