MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcom 10811
Description: Addition commutes. This used to be one of our complex number axioms, until it was found to be dependent on the others. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
addcom ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem addcom
StepHypRef Expression
1 1cnd 10621 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
21, 1addcld 10645 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 + 1) ∈ ℂ)
3 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
52, 3, 4adddid 10650 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 1) · (𝐴 + 𝐵)) = (((1 + 1) · 𝐴) + ((1 + 1) · 𝐵)))
63, 4addcld 10645 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
7 1p1times 10796 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → ((1 + 1) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 1) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
9 1p1times 10796 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
10 1p1times 10796 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
119, 10oveqan12d 7157 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((1 + 1) · 𝐴) + ((1 + 1) · 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐴) + (𝐵 + 𝐵)))
125, 8, 113eqtr3rd 2868 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) + (𝐵 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
133, 3addcld 10645 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℂ)
1413, 4, 4addassd 10648 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐴) + (𝐵 + 𝐵)))
156, 3, 4addassd 10648 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
1612, 14, 153eqtr4d 2869 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵))
1713, 4addcld 10645 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) ∈ ℂ)
186, 3addcld 10645 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) ∈ ℂ)
19 addcan2 10810 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴)))
2017, 18, 4, 19syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) + 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴)))
2116, 20mpbid 235 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴))
223, 3, 4addassd 10648 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) + 𝐵) = (𝐴 + (𝐴 + 𝐵)))
233, 4, 3addassd 10648 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)))
2421, 22, 233eqtr3d 2867 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)))
254, 3addcld 10645 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ)
26 addcan 10809 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐴 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
273, 6, 25, 26syl3anc 1368 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
2824, 27mpbid 235 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7138  cc 10520  1c1 10523   + caddc 10525   · cmul 10527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-po 5455  df-so 5456  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-ov 7141  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-ltxr 10665
This theorem is referenced by:  addcomi  10816  ltaddnegr  10841  add12  10842  add32  10843  add42  10846  subsub23  10876  pncan2  10878  addsub  10882  addsub12  10884  addsubeq4  10886  sub32  10905  pnpcan2  10911  ppncan  10913  sub4  10916  negsubdi2  10930  ltaddsub2  11100  leaddsub2  11102  leltadd  11109  ltaddpos2  11116  addge02  11136  conjmul  11342  recp1lt1  11523  recreclt  11524  avgle1  11863  avgle2  11864  avgle  11865  nn0nnaddcl  11914  xaddcom  12619  fzen  12917  fzshftral  12988  fzo0addelr  13085  elfzoext  13087  flzadd  13189  addmodidr  13281  modadd2mod  13282  nn0ennn  13340  seradd  13406  bernneq2  13585  ccatrn  13932  ccatalpha  13936  revccat  14117  2cshwcom  14167  shftval2  14423  shftval4  14425  crim  14463  absmax  14678  climshft2  14928  summolem3  15060  binom1dif  15177  isumshft  15183  arisum  15204  mertenslem1  15229  bpolydiflem  15397  addcos  15516  demoivreALT  15543  dvdsaddr  15642  sumodd  15726  divalglem4  15734  divalgb  15742  gcdaddm  15860  hashdvds  16099  phiprmpw  16100  pythagtriplem2  16141  prmgaplem7  16380  mulgnndir  18245  cnaddablx  18977  cnaddabl  18978  zaddablx  18981  cncrng  20552  ioo2bl  23387  icopnfcnv  23536  uniioombllem3  24178  fta1glem1  24755  plyremlem  24889  fta1lem  24892  vieta1lem1  24895  vieta1lem2  24896  aaliou3lem2  24928  dvradcnv  25005  pserdv2  25014  reeff1olem  25030  ptolemy  25078  logcnlem4  25225  cxpsqrt  25283  atandm2  25452  atandm4  25454  atanlogsublem  25490  2efiatan  25493  dvatan  25510  birthdaylem2  25527  emcllem2  25571  fsumharmonic  25586  wilthlem1  25642  wilthlem2  25643  basellem8  25662  1sgmprm  25772  perfectlem2  25803  pntibndlem1  26162  pntibndlem2  26164  pntlemd  26167  pntlemc  26168  eucrctshift  28017  cnaddabloOLD  28353  cdj3lem3b  30212  isarchi3  30834  archiabllem2c  30842  cos2h  34948  tan2h  34949  lcmineqlem4  39216  2xp3dxp2ge1d  39248  eldioph2lem1  39533  addcomgi  40996  fz0addcom  43716  epoo  44063  perfectALTVlem2  44082  sbgoldbaltlem2  44140
  Copyright terms: Public domain W3C validator