MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ecoptocl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2ecoptocl 8384
Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)
Hypotheses
Ref Expression
2ecoptocl.1 𝑆 = ((𝐶 × 𝐷) / 𝑅)
2ecoptocl.2 ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑𝜓))
2ecoptocl.3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓𝜒))
2ecoptocl.4 (((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → 𝜑)
Assertion
Ref Expression
2ecoptocl ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → 𝜒)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝐴   𝑧,𝐵,𝑤   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤   𝑧,𝑆,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝜓,𝑥,𝑦   𝜒,𝑧,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝜓(𝑧,𝑤)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem 2ecoptocl
StepHypRef Expression
1 2ecoptocl.1 . . 3 𝑆 = ((𝐶 × 𝐷) / 𝑅)
2 2ecoptocl.3 . . . 4 ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓𝜒))
32imbi2d 344 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → ((𝐴𝑆𝜓) ↔ (𝐴𝑆𝜒)))
4 2ecoptocl.2 . . . . . 6 ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑𝜓))
54imbi2d 344 . . . . 5 ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝜑) ↔ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝜓)))
6 2ecoptocl.4 . . . . . 6 (((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → 𝜑)
76ex 416 . . . . 5 ((𝑥𝐶𝑦𝐷) → ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝜑))
81, 5, 7ecoptocl 8383 . . . 4 (𝐴𝑆 → ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝜓))
98com12 32 . . 3 ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → (𝐴𝑆𝜓))
101, 3, 9ecoptocl 8383 . 2 (𝐵𝑆 → (𝐴𝑆𝜒))
1110impcom 411 1 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → 𝜒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cop 4556   × cxp 5540  [cec 8283   / cqs 8284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pr 5317
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-br 5053  df-opab 5115  df-xp 5548  df-cnv 5550  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-ec 8287  df-qs 8291
This theorem is referenced by:  3ecoptocl  8385  ecovcom  8399  addclsr  10503  mulclsr  10504  ltsosr  10514  mulgt0sr  10525
  Copyright terms: Public domain W3C validator