Theorem 2ecoptocl 8815

Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
2ecoptocl.1	⊢ 𝑆 = ((𝐶 × 𝐷) / 𝑅)
2ecoptocl.2	⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2ecoptocl.3	⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2ecoptocl.4	⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
2ecoptocl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝐴   𝑧,𝐵,𝑤   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤   𝑧,𝑆,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝜓,𝑥,𝑦   𝜒,𝑧,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝜓(𝑧, 𝑤)   𝜒(𝑥, 𝑦)   𝐵(𝑥, 𝑦)   𝑆(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem 2ecoptocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ecoptocl.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((𝐶 × 𝐷) / 𝑅)
2		2ecoptocl.3	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜒))
3	2	imbi2d 343	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜓) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜒)))
4		2ecoptocl.2	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
5	4	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝜑) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝜓)))
6		2ecoptocl.4	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝜑)
7	6	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝜑))
8	1, 5, 7	ecoptocl 8814	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝜓))
9	8	com12 33	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜓))
10	1, 3, 9	ecoptocl 8814	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜒))
11	10	impcom 413	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝜒)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4600   × cxp 5664  [cec 8701   / cqs 8702

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5115  df-opab 5179  df-xp 5672  df-cnv 5674  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ec 8705  df-qs 8709

This theorem is used by:  3ecoptocl  8816  ecovcom  8830  addclsr  11086  mulclsr  11087  ltsosr  11097  mulgt0sr  11108