Theorem addclsr 11006

Description: Closure of addition on signed reals. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addclsr	⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 +R 𝐵) ∈ R)

Proof of Theorem addclsr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 10979	. . 3 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		oveq1 7374	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = (𝐴 +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ))
3	2	eleq1d 2821	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R ) ↔ (𝐴 +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R )))
4		oveq2 7375	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R = 𝐵 → (𝐴 +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = (𝐴 +R 𝐵))
5	4	eleq1d 2821	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R = 𝐵 → ((𝐴 +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R ) ↔ (𝐴 +R 𝐵) ∈ ((P × P) / ~R )))
6		addsrpr 10998	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R )
7		addclpr 10941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑥 +P 𝑧) ∈ P)
8		addclpr 10941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) → (𝑦 +P 𝑤) ∈ P)
9	7, 8	anim12i 614	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P))
10	9	an4s 661	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P))
11		opelxpi 5668	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P) → ⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩ ∈ (P × P))
12		enrex 10990	. . . . . 6 ⊢ ~R ∈ V
13	12	ecelqsi 8716	. . . . 5 ⊢ (⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩ ∈ (P × P) → [⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
14	10, 11, 13	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → [⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
15	6, 14	eqeltrd 2836	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R ))
16	1, 3, 5, 15	2ecoptocl 8755	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 +R 𝐵) ∈ ((P × P) / ~R ))
17	16, 1	eleqtrrdi 2847	1 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 +R 𝐵) ∈ R)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4573   × cxp 5629  (class class class)co 7367  [cec 8641   / cqs 8642  Pcnp 10782   +_P cpp 10784   ~_R cer 10787  Rcnr 10788   +_R cplr 10792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-ec 8645  df-qs 8649  df-ni 10795  df-pli 10796  df-mi 10797  df-lti 10798  df-plpq 10831  df-mpq 10832  df-ltpq 10833  df-enq 10834  df-nq 10835  df-erq 10836  df-plq 10837  df-mq 10838  df-1nq 10839  df-rq 10840  df-ltnq 10841  df-np 10904  df-plp 10906  df-ltp 10908  df-enr 10978  df-nr 10979  df-plr 10980

This theorem is referenced by:  dmaddsr  11008  map2psrpr  11033  axaddf  11068  axmulf  11069  axaddrcl  11075  axaddass  11079  axmulass  11080  axdistr  11081