MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addclsr 11121
Description: Closure of addition on signed reals. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclsr ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 +R 𝐵) ∈ R)

Proof of Theorem addclsr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 11094 . . 3 R = ((P × P) / ~R )
2 oveq1 7438 . . . 4 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = (𝐴 +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ))
32eleq1d 2824 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R ) ↔ (𝐴 +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R )))
4 oveq2 7439 . . . 4 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R = 𝐵 → (𝐴 +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = (𝐴 +R 𝐵))
54eleq1d 2824 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R = 𝐵 → ((𝐴 +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R ) ↔ (𝐴 +R 𝐵) ∈ ((P × P) / ~R )))
6 addsrpr 11113 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R )
7 addclpr 11056 . . . . . . 7 ((𝑥P𝑧P) → (𝑥 +P 𝑧) ∈ P)
8 addclpr 11056 . . . . . . 7 ((𝑦P𝑤P) → (𝑦 +P 𝑤) ∈ P)
97, 8anim12i 613 . . . . . 6 (((𝑥P𝑧P) ∧ (𝑦P𝑤P)) → ((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P))
109an4s 660 . . . . 5 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P))
11 opelxpi 5726 . . . . 5 (((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P) → ⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩ ∈ (P × P))
12 enrex 11105 . . . . . 6 ~R ∈ V
1312ecelqsi 8812 . . . . 5 (⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩ ∈ (P × P) → [⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
1410, 11, 133syl 18 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → [⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
156, 14eqeltrd 2839 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R ))
161, 3, 5, 152ecoptocl 8847 . 2 ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 +R 𝐵) ∈ ((P × P) / ~R ))
1716, 1eleqtrrdi 2850 1 ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 +R 𝐵) ∈ R)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cop 4637   × cxp 5687  (class class class)co 7431  [cec 8742   / cqs 8743  Pcnp 10897   +P cpp 10899   ~R cer 10902  Rcnr 10903   +R cplr 10907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-ni 10910  df-pli 10911  df-mi 10912  df-lti 10913  df-plpq 10946  df-mpq 10947  df-ltpq 10948  df-enq 10949  df-nq 10950  df-erq 10951  df-plq 10952  df-mq 10953  df-1nq 10954  df-rq 10955  df-ltnq 10956  df-np 11019  df-plp 11021  df-ltp 11023  df-enr 11093  df-nr 11094  df-plr 11095
This theorem is referenced by:  dmaddsr  11123  map2psrpr  11148  axaddf  11183  axmulf  11184  axaddrcl  11190  axaddass  11194  axmulass  11195  axdistr  11196
  Copyright terms: Public domain W3C validator