Theorem addclsr 10889

Description: Closure of addition on signed reals. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addclsr	⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 +R 𝐵) ∈ R)

Proof of Theorem addclsr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 10862	. . 3 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		oveq1 7314	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = (𝐴 +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ))
3	2	eleq1d 2821	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R ) ↔ (𝐴 +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R )))
4		oveq2 7315	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R = 𝐵 → (𝐴 +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = (𝐴 +R 𝐵))
5	4	eleq1d 2821	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R = 𝐵 → ((𝐴 +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R ) ↔ (𝐴 +R 𝐵) ∈ ((P × P) / ~R )))
6		addsrpr 10881	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R )
7		addclpr 10824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑥 +P 𝑧) ∈ P)
8		addclpr 10824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) → (𝑦 +P 𝑤) ∈ P)
9	7, 8	anim12i 614	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P))
10	9	an4s 658	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P))
11		opelxpi 5637	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P) → ⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩ ∈ (P × P))
12		enrex 10873	. . . . . 6 ⊢ ~R ∈ V
13	12	ecelqsi 8593	. . . . 5 ⊢ (⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩ ∈ (P × P) → [⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
14	10, 11, 13	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → [⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
15	6, 14	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R ))
16	1, 3, 5, 15	2ecoptocl 8628	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 +R 𝐵) ∈ ((P × P) / ~R ))
17	16, 1	eleqtrrdi 2848	1 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 +R 𝐵) ∈ R)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ⟨cop 4571   × cxp 5598  (class class class)co 7307  [cec 8527   / cqs 8528  Pcnp 10665   +_P cpp 10667   ~_R cer 10670  Rcnr 10671   +_R cplr 10675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9447

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-oadd 8332  df-omul 8333  df-er 8529  df-ec 8531  df-qs 8535  df-ni 10678  df-pli 10679  df-mi 10680  df-lti 10681  df-plpq 10714  df-mpq 10715  df-ltpq 10716  df-enq 10717  df-nq 10718  df-erq 10719  df-plq 10720  df-mq 10721  df-1nq 10722  df-rq 10723  df-ltnq 10724  df-np 10787  df-plp 10789  df-ltp 10791  df-enr 10861  df-nr 10862  df-plr 10863

This theorem is referenced by:  dmaddsr  10891  map2psrpr  10916  axaddf  10951  axmulf  10952  axaddrcl  10958  axaddass  10962  axmulass  10963  axdistr  10964