Theorem 3ecoptocl 8791

Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
3ecoptocl.1	⊢ 𝑆 = ((𝐷 × 𝐷) / 𝑅)
3ecoptocl.2	⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3ecoptocl.3	⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜒))
3ecoptocl.4	⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩]𝑅 = 𝐶 → (𝜒 ↔ 𝜃))
3ecoptocl.5	⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
3ecoptocl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝜃)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝐴   𝑧,𝐵,𝑤,𝑣,𝑢   𝑣,𝐶,𝑢   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢   𝑧,𝑆,𝑤,𝑣,𝑢   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢   𝜓,𝑥,𝑦   𝜒,𝑧,𝑤   𝜃,𝑣,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝜓(𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem 3ecoptocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3ecoptocl.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((𝐷 × 𝐷) / 𝑅)
2		3ecoptocl.3	. . . . 5 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜒))
3	2	imbi2d 342	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜓) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜒)))
4		3ecoptocl.4	. . . . 5 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩]𝑅 = 𝐶 → (𝜒 ↔ 𝜃))
5	4	imbi2d 342	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩]𝑅 = 𝐶 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜒) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜃)))
6		3ecoptocl.2	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
7	6	imbi2d 342	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → ((((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → 𝜑) ↔ (((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → 𝜓)))
8		3ecoptocl.5	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → 𝜑)
9	8	3expib 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → 𝜑))
10	1, 7, 9	ecoptocl 8789	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → 𝜓))
11	10	com12 32	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜓))
12	1, 3, 5, 11	2ecoptocl 8790	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜃))
13	12	com12 32	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝜃))
14	13	3impib 1129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝜃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ⟨cop 4588   × cxp 5645  [cec 8676   / cqs 8677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-sb 2091  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5653  df-cnv 5655  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ec 8680  df-qs 8684

This theorem is referenced by:  ecovass  8806  ecovdi  8807  ltsosr  11052  ltasr  11058