MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3ecoptocl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3ecoptocl 8749
Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)
Hypotheses
Ref Expression
3ecoptocl.1 𝑆 = ((𝐷 × 𝐷) / 𝑅)
3ecoptocl.2 ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑𝜓))
3ecoptocl.3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓𝜒))
3ecoptocl.4 ([⟨𝑣, 𝑢⟩]𝑅 = 𝐶 → (𝜒𝜃))
3ecoptocl.5 (((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷) ∧ (𝑣𝐷𝑢𝐷)) → 𝜑)
Assertion
Ref Expression
3ecoptocl ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐶𝑆) → 𝜃)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝐴   𝑧,𝐵,𝑤,𝑣,𝑢   𝑣,𝐶,𝑢   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢   𝑧,𝑆,𝑤,𝑣,𝑢   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢   𝜓,𝑥,𝑦   𝜒,𝑧,𝑤   𝜃,𝑣,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝜓(𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem 3ecoptocl
StepHypRef Expression
1 3ecoptocl.1 . . . 4 𝑆 = ((𝐷 × 𝐷) / 𝑅)
2 3ecoptocl.3 . . . . 5 ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓𝜒))
32imbi2d 341 . . . 4 ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → ((𝐴𝑆𝜓) ↔ (𝐴𝑆𝜒)))
4 3ecoptocl.4 . . . . 5 ([⟨𝑣, 𝑢⟩]𝑅 = 𝐶 → (𝜒𝜃))
54imbi2d 341 . . . 4 ([⟨𝑣, 𝑢⟩]𝑅 = 𝐶 → ((𝐴𝑆𝜒) ↔ (𝐴𝑆𝜃)))
6 3ecoptocl.2 . . . . . . 7 ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑𝜓))
76imbi2d 341 . . . . . 6 ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → ((((𝑧𝐷𝑤𝐷) ∧ (𝑣𝐷𝑢𝐷)) → 𝜑) ↔ (((𝑧𝐷𝑤𝐷) ∧ (𝑣𝐷𝑢𝐷)) → 𝜓)))
8 3ecoptocl.5 . . . . . . 7 (((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷) ∧ (𝑣𝐷𝑢𝐷)) → 𝜑)
983expib 1123 . . . . . 6 ((𝑥𝐷𝑦𝐷) → (((𝑧𝐷𝑤𝐷) ∧ (𝑣𝐷𝑢𝐷)) → 𝜑))
101, 7, 9ecoptocl 8747 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (((𝑧𝐷𝑤𝐷) ∧ (𝑣𝐷𝑢𝐷)) → 𝜓))
1110com12 32 . . . 4 (((𝑧𝐷𝑤𝐷) ∧ (𝑣𝐷𝑢𝐷)) → (𝐴𝑆𝜓))
121, 3, 5, 112ecoptocl 8748 . . 3 ((𝐵𝑆𝐶𝑆) → (𝐴𝑆𝜃))
1312com12 32 . 2 (𝐴𝑆 → ((𝐵𝑆𝐶𝑆) → 𝜃))
14133impib 1117 1 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐶𝑆) → 𝜃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cop 4593   × cxp 5632  [cec 8647   / cqs 8648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5107  df-opab 5169  df-xp 5640  df-cnv 5642  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ec 8651  df-qs 8655
This theorem is referenced by:  ecovass  8764  ecovdi  8765  ltsosr  11031  ltasr  11037
  Copyright terms: Public domain W3C validator