Theorem 3ecoptocl 8868

Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
3ecoptocl.1	⊢ 𝑆 = ((𝐷 × 𝐷) / 𝑅)
3ecoptocl.2	⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3ecoptocl.3	⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜒))
3ecoptocl.4	⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩]𝑅 = 𝐶 → (𝜒 ↔ 𝜃))
3ecoptocl.5	⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
3ecoptocl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝜃)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝐴   𝑧,𝐵,𝑤,𝑣,𝑢   𝑣,𝐶,𝑢   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢   𝑧,𝑆,𝑤,𝑣,𝑢   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢   𝜓,𝑥,𝑦   𝜒,𝑧,𝑤   𝜃,𝑣,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑢)   𝜓(𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑢)   𝜒(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑢)   𝜃(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝐵(𝑥, 𝑦)   𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝑆(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem 3ecoptocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3ecoptocl.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((𝐷 × 𝐷) / 𝑅)
2		3ecoptocl.3	. . . . 5 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜒))
3	2	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜓) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜒)))
4		3ecoptocl.4	. . . . 5 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩]𝑅 = 𝐶 → (𝜒 ↔ 𝜃))
5	4	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩]𝑅 = 𝐶 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜒) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜃)))
6		3ecoptocl.2	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
7	6	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → ((((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → 𝜑) ↔ (((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → 𝜓)))
8		3ecoptocl.5	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → 𝜑)
9	8	3expib 1140	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → 𝜑))
10	1, 7, 9	ecoptocl 8866	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → 𝜓))
11	10	com12 33	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜓))
12	1, 3, 5, 11	2ecoptocl 8867	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜃))
13	12	com12 33	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝜃))
14	13	3impib 1134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝜃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4840   × cxp 5656  [cec 8753   / cqs 8754

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-xp 5664  df-cnv 5666  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ec 8757  df-qs 8761

This theorem is used by:  ecovass  8883  ecovdi  8884  ltsosr  11218  ltasr  11224