Theorem 3ecoptocl 8758

Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
3ecoptocl.1	⊢ 𝑆 = ((𝐷 × 𝐷) / 𝑅)
3ecoptocl.2	⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3ecoptocl.3	⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜒))
3ecoptocl.4	⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩]𝑅 = 𝐶 → (𝜒 ↔ 𝜃))
3ecoptocl.5	⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
3ecoptocl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝜃)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝐴   𝑧,𝐵,𝑤,𝑣,𝑢   𝑣,𝐶,𝑢   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢   𝑧,𝑆,𝑤,𝑣,𝑢   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢   𝜓,𝑥,𝑦   𝜒,𝑧,𝑤   𝜃,𝑣,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝜓(𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem 3ecoptocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3ecoptocl.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((𝐷 × 𝐷) / 𝑅)
2		3ecoptocl.3	. . . . 5 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜒))
3	2	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜓) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜒)))
4		3ecoptocl.4	. . . . 5 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩]𝑅 = 𝐶 → (𝜒 ↔ 𝜃))
5	4	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩]𝑅 = 𝐶 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜒) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜃)))
6		3ecoptocl.2	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
7	6	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → ((((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → 𝜑) ↔ (((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → 𝜓)))
8		3ecoptocl.5	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → 𝜑)
9	8	3expib 1123	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → 𝜑))
10	1, 7, 9	ecoptocl 8756	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → 𝜓))
11	10	com12 32	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑢 ∈ 𝐷)) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜓))
12	1, 3, 5, 11	2ecoptocl 8757	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜃))
13	12	com12 32	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝜃))
14	13	3impib 1117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝜃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4588   × cxp 5630  [cec 8643   / cqs 8644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-cnv 5640  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ec 8647  df-qs 8651

This theorem is referenced by:  ecovass  8773  ecovdi  8774  ltsosr  11017  ltasr  11023