MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulclsr 11081
Description: Closure of multiplication on signed reals. (Contributed by NM, 10-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclsr ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โ†’ (๐ด ยทR ๐ต) โˆˆ R)

Proof of Theorem mulclsr
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 11053 . . 3 R = ((P ร— P) / ~R )
2 oveq1 7418 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) = (๐ด ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ))
32eleq1d 2816 . . 3 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R = ๐ด โ†’ (([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โˆˆ ((P ร— P) / ~R ) โ†” (๐ด ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โˆˆ ((P ร— P) / ~R )))
4 oveq2 7419 . . . 4 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R = ๐ต โ†’ (๐ด ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) = (๐ด ยทR ๐ต))
54eleq1d 2816 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R = ๐ต โ†’ ((๐ด ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โˆˆ ((P ร— P) / ~R ) โ†” (๐ด ยทR ๐ต) โˆˆ ((P ร— P) / ~R )))
6 mulsrpr 11073 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)), ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))โŸฉ] ~R )
7 mulclpr 11017 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P)
8 mulclpr 11017 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P)
9 addclpr 11015 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) โˆˆ P)
107, 8, 9syl2an 594 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) โˆˆ P)
1110an4s 656 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) โˆˆ P)
12 mulclpr 11017 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P)
13 mulclpr 11017 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P)
14 addclpr 11015 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) โˆˆ P)
1512, 13, 14syl2an 594 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) โˆˆ P)
1615an42s 657 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) โˆˆ P)
1711, 16jca 510 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) โˆˆ P โˆง ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) โˆˆ P))
18 opelxpi 5712 . . . . 5 ((((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) โˆˆ P โˆง ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) โˆˆ P) โ†’ โŸจ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)), ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))โŸฉ โˆˆ (P ร— P))
19 enrex 11064 . . . . . 6 ~R โˆˆ V
2019ecelqsi 8769 . . . . 5 (โŸจ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)), ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))โŸฉ โˆˆ (P ร— P) โ†’ [โŸจ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)), ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))โŸฉ] ~R โˆˆ ((P ร— P) / ~R ))
2117, 18, 203syl 18 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ [โŸจ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)), ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))โŸฉ] ~R โˆˆ ((P ร— P) / ~R ))
226, 21eqeltrd 2831 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โˆˆ ((P ร— P) / ~R ))
231, 3, 5, 222ecoptocl 8804 . 2 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โ†’ (๐ด ยทR ๐ต) โˆˆ ((P ร— P) / ~R ))
2423, 1eleqtrrdi 2842 1 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โ†’ (๐ด ยทR ๐ต) โˆˆ R)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โŸจcop 4633   ร— cxp 5673  (class class class)co 7411  [cec 8703   / cqs 8704  Pcnp 10856   +P cpp 10858   ยทP cmp 10859   ~R cer 10861  Rcnr 10862   ยทR cmr 10867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-ni 10869  df-pli 10870  df-mi 10871  df-lti 10872  df-plpq 10905  df-mpq 10906  df-ltpq 10907  df-enq 10908  df-nq 10909  df-erq 10910  df-plq 10911  df-mq 10912  df-1nq 10913  df-rq 10914  df-ltnq 10915  df-np 10978  df-plp 10980  df-mp 10981  df-ltp 10982  df-enr 11052  df-nr 11053  df-mr 11055
This theorem is referenced by:  dmmulsr  11083  negexsr  11099  sqgt0sr  11103  recexsr  11104  map2psrpr  11107  mulresr  11136  axmulf  11143  axmulrcl  11151  axmulass  11154  axdistr  11155  axrnegex  11159
  Copyright terms: Public domain W3C validator