Theorem axccd 44872

Description: An alternative version of the axiom of countable choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
axccd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ ω)
axccd.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
axccd	⊢ (𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥

Proof of Theorem axccd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axccd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ ω)
2		encv 8974	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ ω → (𝐴 ∈ V ∧ ω ∈ V))
3	2	simpld 493	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ω → 𝐴 ∈ V)
4		breq1 5148	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ≈ ω ↔ 𝐴 ≈ ω))
5		raleq 3312	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
6	5	exbidv 1917	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
7	4, 6	imbi12d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 ≈ ω → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)) ↔ (𝐴 ≈ ω → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))))
8		ax-cc 10469	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ≈ ω → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
9	7, 8	vtoclg 3533	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ≈ ω → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
10	1, 3, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≈ ω → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
11	1, 10	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
12		nfv 1910	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13		nfra1 3272	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
14	12, 13	nfan 1895	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
15		axccd.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
16	15	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
17		rspa 3236	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
18	17	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
19	16, 18	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
20	14, 19	ralrimia 3246	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
21	20	ex 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
22	21	eximdv 1913	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
23	11, 22	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  Vcvv 3462  ∅c0 4322   class class class wbr 5145  ‘cfv 6546  ωcom 7868   ≈ cen 8963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pr 5425  ax-cc 10469

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3949  df-un 3951  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-br 5146  df-opab 5208  df-xp 5680  df-rel 5681  df-en 8967

This theorem is referenced by:  axccd2  44873