Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axccd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axccd 44872
Description: An alternative version of the axiom of countable choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axccd.1 (𝜑𝐴 ≈ ω)
axccd.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
axccd (𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥

Proof of Theorem axccd
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axccd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ≈ ω)
2 encv 8974 . . . . 5 (𝐴 ≈ ω → (𝐴 ∈ V ∧ ω ∈ V))
32simpld 493 . . . 4 (𝐴 ≈ ω → 𝐴 ∈ V)
4 breq1 5148 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ≈ ω ↔ 𝐴 ≈ ω))
5 raleq 3312 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑥𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
65exbidv 1917 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑓𝑥𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
74, 6imbi12d 343 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) ↔ (𝐴 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))))
8 ax-cc 10469 . . . . 5 (𝑦 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
97, 8vtoclg 3533 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
101, 3, 93syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
111, 10mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
12 nfv 1910 . . . . . 6 𝑥𝜑
13 nfra1 3272 . . . . . 6 𝑥𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
1412, 13nfan 1895 . . . . 5 𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
15 axccd.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
1615adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
17 rspa 3236 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
1817adantll 712 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
1916, 18mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
2014, 19ralrimia 3246 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
2120ex 411 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
2221eximdv 1913 . 2 (𝜑 → (∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
2311, 22mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  Vcvv 3462  c0 4322   class class class wbr 5145  cfv 6546  ωcom 7868  cen 8963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pr 5425  ax-cc 10469
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3949  df-un 3951  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-br 5146  df-opab 5208  df-xp 5680  df-rel 5681  df-en 8967
This theorem is referenced by:  axccd2  44873
  Copyright terms: Public domain W3C validator