Theorem axccd 45223

Description: An alternative version of the axiom of countable choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
axccd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ ω)
axccd.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
axccd	⊢ (𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥

Proof of Theorem axccd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axccd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ ω)
2		encv 8926	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ ω → (𝐴 ∈ V ∧ ω ∈ V))
3	2	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ω → 𝐴 ∈ V)
4		breq1 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ≈ ω ↔ 𝐴 ≈ ω))
5		raleq 3296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
6	5	exbidv 1921	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
7	4, 6	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 ≈ ω → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)) ↔ (𝐴 ≈ ω → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))))
8		ax-cc 10388	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ≈ ω → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
9	7, 8	vtoclg 3520	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ≈ ω → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
10	1, 3, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≈ ω → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
11	1, 10	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
12		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13		nfra1 3261	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
14	12, 13	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
15		axccd.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
16	15	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
17		rspa 3226	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
18	17	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
19	16, 18	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
20	14, 19	ralrimia 3236	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
21	20	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
22	21	eximdv 1917	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
23	11, 22	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  Vcvv 3447  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  ωcom 7842   ≈ cen 8915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-cc 10388

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-rel 5645  df-en 8919

This theorem is referenced by:  axccd2  45224