Theorem axccd 43571

Description: An alternative version of the axiom of countable choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
axccd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ ω)
axccd.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
axccd	⊢ (𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥

Proof of Theorem axccd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axccd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ ω)
2		encv 8898	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ ω → (𝐴 ∈ V ∧ ω ∈ V))
3	2	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ω → 𝐴 ∈ V)
4		breq1 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ≈ ω ↔ 𝐴 ≈ ω))
5		raleq 3307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
6	5	exbidv 1924	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
7	4, 6	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 ≈ ω → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)) ↔ (𝐴 ≈ ω → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))))
8		ax-cc 10380	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ≈ ω → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
9	7, 8	vtoclg 3526	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ≈ ω → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
10	1, 3, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≈ ω → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)))
11	1, 10	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
12		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13		nfra1 3265	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
14	12, 13	nfan 1902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
15		axccd.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
16	15	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
17		rspa 3229	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
18	17	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
19	16, 18	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
20	14, 19	ralrimia 3239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)
21	20	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
22	21	eximdv 1920	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
23	11, 22	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  Vcvv 3446  ∅c0 4287   class class class wbr 5110  ‘cfv 6501  ωcom 7807   ≈ cen 8887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-cc 10380

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5111  df-opab 5173  df-xp 5644  df-rel 5645  df-en 8891

This theorem is referenced by:  axccd2  43572