Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axccd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axccd 40360
Description: An alternative version of the axiom of countable choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axccd.1 (𝜑𝐴 ≈ ω)
axccd.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
axccd (𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥

Proof of Theorem axccd
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axccd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ≈ ω)
2 encv 8251 . . . . . 6 (𝐴 ≈ ω → (𝐴 ∈ V ∧ ω ∈ V))
32simpld 490 . . . . 5 (𝐴 ≈ ω → 𝐴 ∈ V)
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
5 breq1 4891 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ≈ ω ↔ 𝐴 ≈ ω))
6 raleq 3330 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑥𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
76exbidv 1964 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑓𝑥𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
85, 7imbi12d 336 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) ↔ (𝐴 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))))
9 ax-cc 9594 . . . . 5 (𝑦 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
108, 9vtoclg 3467 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
114, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
121, 11mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
13 nfv 1957 . . . . . 6 𝑥𝜑
14 nfra1 3123 . . . . . 6 𝑥𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
1513, 14nfan 1946 . . . . 5 𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
16 axccd.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
1716adantlr 705 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
18 rspa 3112 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
1918adantll 704 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
2017, 19mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
2120ex 403 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) → (𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
2215, 21ralrimi 3139 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
2322ex 403 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
2423eximdv 1960 . 2 (𝜑 → (∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
2512, 24mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wex 1823  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  Vcvv 3398  c0 4141   class class class wbr 4888  cfv 6137  ωcom 7345  cen 8240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pr 5140  ax-cc 9594
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-br 4889  df-opab 4951  df-xp 5363  df-rel 5364  df-en 8244
This theorem is referenced by:  axccd2  40361
  Copyright terms: Public domain W3C validator